Зонная теория твердых тел

• Название: Зонная теория твердых тел
• Дата: 22.05.2022
• Размер: 0.95 Mb.
• Имя файла: referatbank-22145.rtf
• Тип: Документы; #543569
• страница: 3 из 5

Выводы

1. Эффективные массы: германий
кремний

т.е. в валентной зоне германия и кремния имеются тяжелые и легкие дырки. Валентные зоны состоят из трех подзон.

2. Поверхность Ферми есть поверхность постоянной энергии в пространстве. Поверхность Ферми при абсолютном нуле отделяет заполненные электронами состояния от незаполненных состояний. Сфера Ферми. Все состояния с К<К_F являются занятыми.



3. Разнообразие свойств твердых тел и есть свидетельство разнообразия квазичастиц.

4. До последнего времени считалось, что электроны похожи друг на друга. Когда хотят подчеркнуть отличие электронов железа от электронов меди, то говорят, что они обладают различными поверхностями Ферми.

На всемирной выставке в Брюсселе здание отдает дань веку физики. Представляет правильную систему связанных между собой сфер, внутри которых выставочные помещения. Каждая из которых (сфера) представляет ион железа, потерявший одни электрон. Это поверхность уровня Ферми.

У каждого металла только своя ему присущая форма поверхности Ферми, она ограничивает область импульсного пространства, занятого электронами проводимости при абсолютном нуле. Это визитные карточки различных металлов.

5. Свойства металлов определяются электронами на поверхности Ферми или вблизи нее.

6. Движение волнового пакета, связанного с волновым вектором описывается уравнением



Групповая скорость


§ Энергетический спектр энергии для свободных электронов в периодическом поле
На рисунке заштрихованные области запрещенных значений энергии (энергетические щели).

Волновая функция имеет вид:





Энергия не является теперь непрерывной функцией квазиимпульса , она непрерывна только в зонах разрешенных энергий и претерпевает разрывы на границах зон Бриллюэна. Энергетические зоны являются следствием периодической структуры кристалла и представляют собою фундаментальные характеристики электронной структуры твердого тела. – граница зоны, это вектор обратной решетки.

Области значений , при которых энергия электронов изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв, называются зонами Бриллюэна.

Энергетический спектр электронов и дырок в координатах Е – К. В германии и кремнии зона проводимости описывается двумя значениями масс.

§ Механизм электропроводности собственного полупроводника

Содержащую электроны зону с наибольшей энергией, называют валентной зоной. Первую зону с незанятыми энергетическими уровнями называют зоной проводимости, так как электроны в этой зоне участвуют в переносе заряда. В проводниках валентная зона и зона проводимости либо совпадают, либо перекрываются. В изоляторах и полупроводниках эти зоны отделены друг от друга.

Если материал находится не в состоянии основном, а обладает дополнительной энергией – тепловым возбуждением. Эта энергия играет важную роль в свойствах электропроводности.
Проводник в основном состоянии, если отсутствует тепловая энергия т.е. Т = 0. Зависимость вероятности заполнения электронами энергетических уровней при КТ = 0 от энергии e отсчитывается от дна зоны.



для всех значений энергии, соответствующих заполненным уровням.

Энергия, отсчитываемая от дна зоны, при которой величина f(E) скачком изменяется от 1 до 0, называется энергией Ферми e_F В данном случае т.е. работе выхода

При наличии тепловой энергии некоторые электроны возбудятся и перейдут из первоначальных состояний на свободные энергетические уровни. Для электронов с энергией вблизи e_F такие переходы более вероятны, так как требуется меньшая энергия возбуждения. Соответственно, и вероятность заполнения состояний уменьшается с ростом их энергии. Если электроны не подчиняются принципу Паули, то их распределение по энергии описывается классическим распределением Максвелла – Больцмана

Распределение, учитывающее принцип Паули, называется распределением Ферми – Дирака



Распределение Ферми – Дирака при различных значениях КТ показано на рисунке. Здесь энергия Ферми имеет смысл энергии уровня, которому отвечает 50%-ная вероятность заполнения.

Число свободных уровней (вакансий) ниже уровня Ферми, и их распределение относительно e_F совпадает с числом и распределением заполненных состояний выше уровня Ферми. Эти состояния отвечают тепловому возбуждению электронной системы и обеспечивают появление кинетической энергии направленного движения. С ростом температуры (увеличение КТ) уменьшается наклон кривой f(e) вблизи e_F и увеличивается вероятность заполнения состояний с большими энергиями.

Из выражений для f(E, K, T) видно, что проводимость материалов сильно зависит от температуры.

В полупроводниках положение уровня Ферми соответствует формально потолку валентной зоны, но это неверно. Пусть с потолка валентной зоны (с энергией e_V) отдельный электрон от возбуждения перешел на дно (с энергией e_C) пустой зоны проводимости.

e_V – потолок валентной зоны

e_C – дно зоны проводимости.

На рисунке уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны, учитывая симметрию распределения Ферми – Дирака относительно энергии Ферми e_F и очевидную симметрию функции f(E) в промежутке между потолком валентной зоны и дном зоны проводимости.

* Определим вероятность перехода электрона в зону проводимости для алмаза, ширина запрещенной зоны e_g»5,5 эв. при комнатной температуре КТ = 0,026 эв. для дна зоны проводимости



Таким образом, вряд ли даже один из каждых 10⁴⁴ электронов в валентной зоне будет иметь энергию, достаточную для перехода в зону проводимости при комнатной температуре. Поскольку каждый моль вещества содержит около 10²⁴ атомов. Следовательно, алмаз – хороший изолятор.

Определим для вероятность при КТ = 0,026 эв. (комнатная)



В этом случае приблизительно один валентный электрон из миллиона может при возбуждении перейти на дно зоны проводимости и в зоне проводимости можно найти электроны.

Их будет значительно меньше, чем в случае проводника, у которого f(e) в зоне проводимости составляет порядка единицы. Однако в зоне проводимости полупроводника все же имеется достаточно электронов и они вносят вклад в электропроводность полупроводника. В полупроводниках f(e) сильно зависит от температуры. Возрастание температуры на 10⁰К относительно комнатной (300⁰К) т.е. всего на 3% вероятность перехода электронов в зону проводимости увеличивается приблизительно на 30%. С уменьшением ширины запрещенной зоны чувствительность полупроводников к температуре возрастает.

Возбуждаясь с переходом в зону проводимости, электроны оставляют после себя в валентной зоне незанятые состояния или «дырки». Заполненная первоначально валентная зона становится частично заполненной и, следовательно, в ней возможны энергетические возбуждения электронов, хотя очень небольшого числа. Дырка ведет себя подобно положительно заряженной частице, которая может участвовать в электрической проводимости. Реальному движению электронов соответствует более или менее свободной фиктивное движение дырок в направлении внешнего электрического поля.
Дырки реагируют на внешнюю силу (например, на внешнее электрическое поле) не так, как свободные электроны, поэтому, чтобы учесть влияние других атомов на подвижность дырок, им приписывают эффективную массу m*, которая немного больше эффективной массы электрона.

Плотность тока электронов и дырок


где n – концентрация электронов,

р – концентрация дырок,

m_n – подвижность электронов,

m_p – подвижность дырок.

Под действием внешнего электрического поля электроны и дырки приобретают скорости направленного движения, дрейфовые скорости



m_n и m_др - подвижности

Для собственных полупроводников n=p



или

где , s - коэффициент

n – сильно зависит от температуры в зоне проводимости, в то время как подвижности слабо зависят от температуры





Если концентрация электронов в зоне проводимости мала, то вероятность заполнения каждого уровня мала по сравнению с единицей в знаменателе, то ею можно пренебречь.

и следовательно , или

Электропроводность собственных полупроводников возрастает с температурой, у проводников уменьшается.



Если прологарифмировать и построить график зависимости lns от , то получим прямую линию, угловой коэффициент которого равен

Это дает возможность, измеряя электропроводность полупроводника при различных температурах, определить опытным путем ширину запрещенной зоны для данного полупроводника

Для металлов с ростом температуры сопротивление увеличивается



R₀ –сопротивление при t = 0⁰С

R_t – сопротивление при t⁰С

a – термический коэффициент сопротивления, равный 1/273
Для металлов

Для полупроводников сопротивление с ростом температуры быстро уменьшается или где КВ=Е_a, то

где E_a – энергия активизации, она различна для разных интервалов температур.

Наличие энергии активации E_a означает, что для увеличения проводимости к полупроводниковому веществу необходимо подвести энергию. Полупроводники – это вещества, проводимость которых сильно зависит от внешних условий: температуры, давления, внешних полей, облучения ядерными частицами.

Полупроводники – это вещества, имеющие при комнатной температуре удельную электрическую проводимость в интервале от 10^-8 до 10⁶ Сим м^-1, которая зависит сильно от вида и количества примеси, и структуры вещества, и от внешних условий.

* В полупроводнике с собственной проводимостью число электронов равно числу дырок, каждый электрон создает единственную дырку.

Число возбужденных собственных носителей экспоненциально зависит от , где Е_g – ширина энергетической запрещенной зоны.











Если m_C=m_h, то т.е. уровень Ферми лежит в середине запрещенной зоны.

Индекс I (intrinsic – собственность)



Не содержит уровня Ферми.

Это закон действующих масс, который утверждает, что расстояние уровня Ферми от краев обеих зон должно быть велико по сравнению с КТ = 0,026 эв. При 300⁰К (комнатная температура), при условии m_e = m_h = m, произведение n_iP_i

для германия 3,6 × 10²⁷ см^-6,

для кремния 4,6 × 1019 см^-6.

Энергия активации E_a для собственного полупроводника равна половине ширины запрещенной зоны

Примесные полупроводники
Расположение зарядов в решетке кремния. Четыре электрона A_s образуют тетраэдрические ковалентные связи, подобные связям Si, а пятый электрон A_s осуществляет проводимость. Мышьяк (As) имеет пять валентных электронов, а кремний (Si) – только четыре. Атом мышьяка называется донором, он отдает при ионизации электрон в зону проводимости.

Добавка примеси к полупроводнику называется легированием.

E_d = 0,020 эв., энергия ионизации

При К_ВТ<< E_d (низкая концентрация электронов проводимости)

где

N_d - концентрация доноров