математика. Документ Microsoft Word (10) (1). min, при этом x
 Скачать 190.19 Kb.
|
|
Задание №1. F = -x1+2x2 → min, при этом x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, 7x1+2x2≤14, 2x1-x2≤8, 5x1+8x2≤40 Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).  Или  Границы области допустимых решений. Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.  Рассмотрим целевую функцию задачи F = -x1+2x2 → min. Построим прямую, отвечающую значению функции F = -x1+2x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (-1;2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.  Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x2=0 7x1+2x2=14 Решив систему уравнений, получим: x1 = 2, x2 = 0 Откуда найдем минимальное значение целевой функции: F(X) = -1*2 + 2*0 = -2 Задание № 3. F = 3x1+x2+2x3+2x4 2x1+3x2+x3+2x4≥2 x1+2x2+x3+3x4≥8 x1+x2+x3+4x4≥5 Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x6 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x7 со знаком минус. 2x1+3x2+x3+2x4-x5 = 2 x1+2x2+x3+3x4-x6 = 8 x1+x2+x3+4x4-x7 = 5 Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований. 1. В качестве базовой переменной можно выбрать x5. Получаем новую матрицу:
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x6. Получаем новую матрицу:
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x7. Получаем новую матрицу:
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (5,6,7). Выразим базисные переменные через остальные: x5 = 2x1+3x2+x3+2x4-2 x6 = x1+2x2+x3+3x4-8 x7 = x1+x2+x3+4x4-5 Подставим их в целевую функцию: F(X) = 3x1+x2+2x3+2x4 Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным. Вместо переменной x6 следует ввести переменную x4. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
Выразим базисные переменные через остальные: x5 = 4/3x1+5/3x2+1/3x3+2/3x6+31/3 x4 = -1/3x1-2/3x2-1/3x3+1/3x6+22/3 x7 = -1/3x1-5/3x2-1/3x3+4/3x6+52/3 Подставим их в целевую функцию: F(X) = 3x1+x2+2x3+2(-1/3x1-2/3x2-1/3x3+1/3x6+22/3) или F(X) = 7/3x1-1/3x2+4/3x3+2/3x6+51/3 -4/3x1-5/3x2-1/3x3+x5-2/3x6=31/3 1/3x1+2/3x2+1/3x3+x4-1/3x6=22/3 1/3x1+5/3x2+1/3x3-4/3x6+x7=52/3 При вычислениях значение Fc = 51/3 временно не учитываем. Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
|