Лекция№20. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха
 Скачать 48.05 Kb.
|
|
§ 2. Выпуклые множества и выпуклые  функционалы.Теорема Хана — Банаха Выпуклые множества и выпуклые тела. В основе многих важных разделов теории линейных пространств лежит понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические представления, но вместе с тем допускает и чисто аналитическую формулировку. Пусть  некоторое линейное действительное пространство и  — две его точки. Назовем замкнутым отрезком в  , соединяющим точки  и  , совокупность всех элементов вида , где  .Отрезок без концевых точек и называется открытым отрезком.Множество  называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками и содержит и соединяющий их отрезок.Назовем ядром  произвольного множества  совокупность таких его точек , что для каждого  найдется такое число  , что  при  .Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом. Примеры. 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве — выпуклые множества, но не выпуклые тела. 2. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке  множество функций, удовлетворяющих условию  . Это множество выпукло; действительно, если  и  , то при   Упражнение. Проверить, является ли это множество выпуклым телом. 3. Единичный шар  , т. е. совокупность таких точек  что  есть выпуклое тело. Его ядро состоит из точек , удовлетворяющих условию  4. Основной параллелепипед  в — выпуклое множество, но не выпуклое тело. В самом деле, пусть  ; это означает, что  для всех  . Положим  . Пусть  , т. е.  ; тогда откуда  , т. е. ядро множества пусто.Упражнения. 1. Пусть  совокупность точек  из , удовлетворяющих условию  .Доказать, что  выпуклое множество, но не выпуклое тело.2. Доказать то же самое для множества точек в , каждая из которых ймеет лишь конечное число отличных от нуля координат.Если  выпуклое множество, то его ядро  тоже выпукло. Действительно, пусть  и  Тогда для данного  найдутся такие  и  , что при  , точки  и  принадлежат множеству  , следовательно, ему принадлежит и точка  при  т. е.  Установим следующее важное свойство выпуклых множеств. Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество. Доказательство. Пусть  и все  — выпуклые множества. Пусть, далее, и — две произвольные точки из .Тогда отрезок, соединяющий точки и принадлежит каждому , а следовательно, и . Таким образом, действительно выпукло.Заметим, что пересечение выпуклых тел (будучи выпуклым множеством) не обязано быть выпуклым телом (приведите пример). Для произвольного множества  в линейном пространстве существует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих (по крайней мере одно выпуклое множество, содержащее , существует — это все ). Минимальное выпуклое множество, содержащее , мы назовем выпуклой оболочкой множества .Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки. Пусть  — точки некоторого линейного пространства. Мы скажем, что эти точки находятся в общем положении, если векторы  линейно независимы. (Этo равносильно тому, что из  и  вытекает, что  ). Выпуклая оболочка точек находящихся в общем положении, называется п-мерным симплексом, а сами точки — его вершинами. Нульмерный симплекс — это одна точка. Одномерный симплекс — отрезок, двумерный — треугольник, трехмерный — тетраэдр.Если точки находятся в общем положении, то любые  из них ( ) также находятся в общем положении и, следовательно, порождают некоторый  - мерный симплекс, называемый - мерной гранью данного  -мерного симплекса. Например, тетраэдр с вершинами  имеет четыре двумерные грани, определяемые соответственно тройками вершин  шесть одномерных граней и четыре нульмерных.Теорема 2. Симплекс с вершинами есть совокупность всех точек, которые можно представить в виде (1)Доказательство. Легко проверить, что совокупность  точек вида (1) представляет собой выпуклое множество, содержащее точки .С другой стороны, всякое выпуклое множество, содержащее эти точки, должно содержать и точки вида (1); следовательно, является наименьшим выпуклым множеством, содержащим точки .2. Однородно-выпуклые функционалы. С понятием выпуклого множества тесно связано важное понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть —действительное линейное пространство. Определенный на функционал  называется выпуклым, если (2) для всех  и  .Функционал называется положительно-однородным, если для всех  и всех  . (3)Для выпуклого положительно-однородного функционала выполнено неравенство:  ( )Действительно  . Легко понять, что условие ( ) вместе с условием (3) обеспечивает выпуклость функционала . Положительно-однородный выпуклый функционал мы будем называть короче однородновыпуклым. Укажем некоторые простейшие свойства однородно- выпуклых функционалов.Полагая в равенстве (3)  , получае (4)Из ( ) и (4) следует, что для всех  (5)Это неравенство означает, в частности, что если  , то обязательно  . Таким образом, ненулевой однородно- выпуклый функционал может быть всюду неотрицателен, но если всюду  , то  .При любом   .При это следует из (3), при  — из (4); если же  , то в силу (5) получаем т. е.  .Примеры. 1. Всякий линейный функционал является, очевидно, однородно-выпуклым. Однородно-выпуклым будет и функционал  , если  линеен.Длина вектора в п-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый функционал. Здесь условие (2') означает, что длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (3) непосредственно следует из определения длины вектора в  .Пусть  — пространство ограниченных последовательностей  . Функционал — однородно-выпуклый. 3. |