|
|
Линал. шпора лин ал. 1. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Транспонирование матриц. Основные свойства этих операций. Сложение
1. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Транспонирование матриц. Основные свойства этих операций.
Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij + bij
Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
A + Θ = Θ + A = A, где Θ - нулевая матрица
A - A = Θ
Коммутативность: A + B = B + A
Произведением матрицы A на число k называется матрица B = k · A того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
bi,j = k · ai,j
1 · A = A 0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица
k · (A + B) = k · A + k · B (k + n) · A = k · A + n · A
(k · n) · A = k · (n · A)
Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:
aTij = aji
Если матрица A имеет размер n×m, то транспонированная матрица AT имеет размер m×n; (A^T)^T = A; (k · A)^T = k · A^T;
(A + B)^T = A^T + B^T; (A · B)^T = B^T · A^T.
|
2. Определители 2-го и 3-го порядка. Правило Саррюса. Миноры и алгебраические дополнения. Определение определителей n-го порядка. Основные свойства определителей.
Свойства определителя:
1)Определитель единичной матрицы равен 1.
2)Определитель матрицы равен нулю:
-с двумя равными строками (столбцами)
-с двумя пропор-ными строками (столбцами)
-содержащий нулевую строку (столбец)
- если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы
3)При транспонировании значение определителя матрицы не меняется.
4)Определитель обратной матрицы равен определителю матрице в степени - 1.
5)Определитель матрицы не изменится, если
-к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
-к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).
-поменять местами 2 строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
6) Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя.
7) Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:
det(A·B) = det(A)·det(B)
Минором Mij к элементу aij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.
Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij определителя n-го порядка называется число
Aij = (-1)i + j · Mij
|
3. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E: A·A-1 = A-1·A = E
Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.
Свойства обратной матрицы
●
|
|
●
|
(A·B)-1 = A-1·B-1
|
●
|
(A-1)T = (AT)-1
|
●
|
|
●
|
(A-1)-1 = A
|
Нахождение обратной матрицы с помощью союзной:
Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой:
Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.
|
5. Понятие ранга матрицы. Элементарные преобразования матриц. Сохранение ранга матриц при элементарных преобразованиях.
Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.
Свойства матрицы связанные с рангом:
Ранг матрицы не изменится, если к ее строкам (столбцам) применить элементарные преобразования.
Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.
Метод эквивалентных преобразований
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.
Метод окаймления миноров
Если в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Если среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, то вся процедура повторяется.
Элементарные преобразования — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений СЛАУ, которую представляет эта матрица.
Матрицы A и B называют эквивалентными матрицами если от матрицы A к матрице B перешли с помощью элементарных преобразований над строками и обона-ют A B.
Элементарными преобразованиями называют:
перестановку местами любых 2 строк матрицы;
умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;
прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.
|
6. Основные понятия теории систем линейных уравнений. Системы однородные и неоднородные, совместные и несовместные, определенные и неопределенные. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
СЛАУ — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.
СЛУ является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю.
СЛУ является неоднородной, если свободный член хотя бы одного ур-ния системы равен 0.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
Если rangA=rangA˜
Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является совместной определённой (имеет ровно одно решение).
Ме́тод Га́усса — классический метод решения (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.
|
7. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о существовании нетривиального решения однородной системы. Фундаментальная система решений. Общее решение системы линейных уравнений.
Т Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности СЛУ:
СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Критерий существования нетривиального решения ОСЛУ:
Для того, чтобы ОСЛУ имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся 0.
Фундаментальная система решений представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
|
8. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам на плоскости и по трем некомпланарным векторам в пространстве. Понятие базиса.
Сложение векторов a + b есть операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:
сi = ai + bi
В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · a = {k · ax ; k · ay}
Базисом системы векторов называется ее непустая линейно независимая подсистема, через которую можно выразить любой вектор системы.
|
9. Скалярное произведение векторов, свойства, координатное выражение.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
a · b = |a| · |b| cos α
Свойства скалярного произведения векторов
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля: a · a ≥ 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору: a · a = 0 <=> a = 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля: a · a = |a|2
Операция скалярного умножения коммуникативна a · b = b · a
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны: a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Скачать 451.75 Kb.