Планиметрия. Базовые факты о треугольниках и углах. Параллельность прямых
 Скачать 2.85 Mb.
|
|
Часть 1. Базовые факты о треугольниках и углах. Параллельность прямых. 1. Сумма углов треугольника рав- на 180 ? : ? A + ? B + ? C = 180 ? 2. Внешний угол треугольника ра- вен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: ? BCD = ? A + ? B Признаки равенства треугольников. 1. Если две стороны и угол меж- ду ними одного треугольника соответ- ственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответствен- но равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Если три стороны одного треуголь- ника соответственно равны трем сто- ронам другого треугольника, то такие треугольники равны. 1 1 Равнобедренный треугольник треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья основанием. 1. Биссектриса, медиана и вы- сота, проведенные к основанию, совпадают. 2. Углы при основании равны: ? A = ? C Свойства и признаки параллельности прямых. Три свойства: если a k b и c секу- щая, то 1. ? 1 = ? 2 (накрест лежащие) 2. ? 1 = ? 4 (соответственные) 3. ? 1 + ? 3 = 180 ? (односторонние) Три признака: a k b при секущей c, если: 1. ? 1 = ? 2 (накрест лежащие) 2. ? 1 = ? 4 (соответственные) 3. ? 1 + ? 3 = 180 ? (односторонние) Биссектрисы односторонних углов при парал- лельных прямых взаимно перпендикулярны. 2 2 Биссектрисы смежных углов взаимно пер- пендикулярны. Теорема Фалеса Если на одной из сторон угла отложить последовательно отрез- ки и через их концы провести па- раллельные прямые, то эти пря- мые отсекут на второй стороне уг- ла отрезки, пропорциональные от- резкам на первой стороне: a a 0 = b b 0 = c c 0 1. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. 2. Верно и обратное: если точ- ка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектри- се. 3 3 Биссектриса угла треугольника де- лит противолежащую сторону на от- резки, пропорциональные прилежащим сторонам: x a = y b ? x y = a b Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины: AO : OA 1 = BO : OB 1 = CO : OC 1 = 2 : 1 Медиана треугольника, проведен- ная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: BM = 1 2 AC = AM = M C Таким образом, получаются два рав- нобедренных треугольника: 4ABM и 4CBM. 4 4 Признаки подобия треугольников. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны, лежащие против равных углов, относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом. 1. Если две стороны одного треуголь- ника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ни- ми равны, то такие треугольники по- добны. 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольни- ка, то такие треугольники равны. 3. Если три стороны одного треуголь- ника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треуголь- ники подобны. Средняя линия треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. 1. Средняя линия треугольни- ка параллельна третьей стороне: A 1 C 1 k AC 2. Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны: A 1 C 1 = 0, 5AC 3. Средняя линия треугольни- ка отсекает от треугольника подобный ему треугольник: 4A 1 BC 1 ? 4ABC 5 5 1. Высота из вершины прямого угла треугольника делит его на два треугольника, подобных исходному: 4ABC ? 4AHC ? 4BHC 2. Квадрат высоты из прямого угла треугольника равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу: CH 2 = AH · BH Теорема Пифагора Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c 2 = a 2 + b 2 Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника ра- вен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произве- дения этих сторон на косинус угла между ними: c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab · cos ? (a, b) 6 6 1. Катет, лежащий против угла 30 ? , равен поло- вине гипотенузы. 2. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла 30 ? 1 7 Часть 2. Базовые факты о четырехугольниках и о правильном шестиугольнике. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна 360 ? 1. Если у выпуклого четырехугольника две стороны параллельны, а две другие не параллельны, то такой четырехугольник называется трапеци- ей. 2. Если у выпуклого четырехугольника противоположные стороны по- парно параллельны, то он называется параллелограммом. 3. Если у параллелограмма все стороны равны, то он называется ромбом. 4. Если у параллелограмма хотя бы один угол прямой, то он называется прямоугольником. 5. Если у ромба хотя бы один угол прямой, то он называется квадратом ИЛИ если у прямоугольника все стороны равны, то он называется квад- ратом. 1 8 Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные сто- роны попарно параллельны. Признаки: четырехугольник является парал- лелограммом, если 1. противоположные стороны попарно равны. 2. две стороны равны и параллельны. 3. диагонали точкой пересечения делятся по- полам. Свойства: у параллелограмма 1. противоположные стороны попарно равны. 2. противоположные углы попарно равны. 3. диагонали точкой пересечения делятся пополам. Биссектриса AE параллелограм- ма ABCD отсекает от него рав- нобедренный треугольник, то есть AB = BE и ? BAE = ? DAE = ? BEA Ромб параллелограмм, у которого все стороны равны. Соответственно, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. Признаки: параллелограмм является ромбом, ес- ли 1. диагонали взаимно перпендикулярны. 2. диагонали являются биссектрисами его углов. Свойства: у ромба 1. диагонали взаимно перпендикулярны. 2. диагонали являются биссектрисами его углов. 2 9 Прямоугольник - параллелограмм, у которого хотя бы один угол пря- мой. Соответственно, прямоугольник обладает всеми свойствами параллело- грамма. Признаки: 1. Если у выпуклого четырехугольника все углы прямые, то он является прямоугольни- ком. 2. Если у параллелограмма диагонали рав- ны, то он является прямоугольником. Свойство: Диагонали прямоугольника равны. Квадрат прямоугольник, у которого все стороны равны. Альтернативное определение: квадрат это ромб, у которого хотя бы один угол прямой. Соответственно, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Свойства: 1. Все стороны равны. 2. Все углы прямые. 3. Диагонали точкой пересечения делятся попо- лам. 4. Диагонали равны. 5. Диагонали взаимно перпендикулярны. 6. Диагонали делят углы квадрата пополам. 3 10 Трапеция выпуклый четырехугольник, у которого две стороны па- раллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, а две другие боко- выми. Свойство: Сумма углов при боковой стороне равна 180 ? : ? A + ? B = ? C + ? D = 180 ? Равнобедренная трапеция трапеция, у которой боковые стороны равны. Если у трапеции: 1. углы при основании равны; ИЛИ 2. диагонали равны, то она является равнобедренной. У равнобедренной трапеции углы при основании равны и диагонали равны. Средняя линия трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. 1. Средняя линия трапеции па- раллельна основаниям трапеции. 2. Средняя линия трапеции рав- на полусумме оснований: M N = 1 2 (AD + BC) 4 11 Правильный многоугольник многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Важные факты: 1) Правильный (равносторонний) треугольник: все углы равны по 60 ? 2) Правильный четырехугольник это квадрат. 3) Правильный шестиугольник: все углы равны по 120 ? 4) Если у правильного многоугольника n углов (соответственно, и n сторон), то каждый его угол равен (n ? 2) · 180 ? n Подробнее о правильном шести- угольнике: 1) Большие диагонали делят его на 6 равных равносторонних тре- угольников. 2) Большая диагональ в два ра- за больше стороны. 3) Центры вписанной и описан- ной окружностей совпадают это точка пересечения больших диа- гоналей. 4) Радиус описанной окружно- сти равен стороне. 5 12 Часть 3. Теоремы о площадях и периметрах треугольников. Средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника: 4 1 = 4 2 = 4 3 = 4 4 Следовательно, площади этих треугольников равны: S 4 1 = S 4 2 = S 4 3 = S 4 4 Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равно- великих): S 4ABD = S 4CBD Все три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников: S 4AOM = S 4COM = = S 4COK = S 4BOK = = S 4BON = S 4AON 1 13 Площади треугольников, имеющих общий угол, относятся как произведе- ния сторон, образующих этот угол: S 4ABC S 4AB 0 C 0 = AB · AC AB 0 · AC 0 Площади треугольников, имеющих об- щую сторону, относятся как высоты, про- веденные к этой стороне: S 4ABC S 4ABC 1 = CH C 1 H 1 Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как основа- ния, к которым эта высота проведена: S 4ABC S 4ABC 1 = BC BC 1 2 14 Если прямые p и q параллельны, то S 4ABC = S 4A 1 BC = S 4A 2 BC Отношение площадей по- добных треугольников рав- но квадрату коэффициен- та подобия: S 4A 1 B 1 C 1 S 4ABC = k 2 Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: P 4A 1 B 1 C 1 P 4ABC = k 3 15 1. Формула Герона площади треугольни- ка: S 4 = p p(p ? a)(p ? b)(p ? c) 2. Площадь треугольника равна полупро- изведению основания на высоту: S 4 = a · h a 2 3. Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними: S 4 = 1 2 ab · sin ?(a, b) 4 1. Площадь треугольника равна произве- дению полупериметра на радиус вписан- ной окружности: S 4 = p · r = a + b + c 2 · r 2. Площадь треугольника равна произве- дению трех его сторон, деленному на учет- веренный радиус описанной окружности: abc S 4 = 4R 16 Часть 4. Базовые теоремы о площадях четырехугольников. Площадь выпуклого многоугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними: S = 1 2 d 1 d 2 · sin ?(d 1 , d 2 ) Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S = a · h a равна произведению соседних сторон на синус угла между ними: S = ab · sin ?(a, b) можно искать по формуле площади выпуклого многоугольника. 1 17 Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей (след- ствие формулы для площади выпуклого мно- гоугольника): S = 1 2 d 1 d 2 можно искать по формулам площади па- раллелограмма. Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон: S = ab можно искать по формуле площади выпук- лого многоугольника. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S = a 2 равна половине квадрата его диагонали (следствие формулы для площади ромба): S = 1 2 d 2 2 18 Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S = a + b 2 · h можно искать по формуле площади выпуклого многоугольника. 3 19 Часть 5. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике: I Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin ? = a c I Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипо- тенузе: cos ? = b c I Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg ? = a b I Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к про- тиволежащему: ctg ? = b a Важные формулы: sin 2 ? + cos 2 ? = 1 tg ? · ctg ? = 1 tg ? = sin ? cos ? ctg ? = cos ? sin ? 1 20 Внешний угол многоугольника угол, смежный с внутренним углом многоугольника. sin ? внеш = sin ? cos ? внеш = ? cos ? tg ? внеш = ? tg ? ctg ? внеш = ? ctg ? Замечание: Синус и острого, и тупого угла положительное число. Косинус, тангенс и котангенс острого угла положительные числа, а ту- пого угла отрицательные числа. (острый угол: 0 ? < ? < 90 ? , тупой угол: 90 ? < ? < 180 ? ) Пример: 1) Если sin 30 ? = 0, 5 , и мы знаем, что 30 ? +150 ? = 180 ? , то sin 150 ? = ?0, 5 ; 2) Так как tg 45 ? = 1 и 45 ? + 135 ? = 180 ? , то tg 135 ? = ?1 2 21 Часть 6. Теоремы об углах в окружности. Центральный угол это угол, вершина кото- рого совпадает с центром окружности. Он равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол это угол, вершина которо- го лежит на окружности, а стороны ее пересека- ют. Он равен половине дуги, на которую опира- ется. Центральный угол в два раза больше впи- санного угла, опирающегося на ту же дугу: ? ц = 2? в Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 ? Равные дуги окружности стягивают равные хорды. Равные хорды окружности стягивают равные дуги. ^ AB= ^ CD ? AB = CD 1 22 Угол между пересекающимися хордами окруж- ности равен полусумме дуг, заключенных меж- ду ними: ? = 1 2 ^ AB + ^ CD Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, за- ключенной между ними (или равен вписанно- му углу, опирающемуся на эту дугу): ? = 1 2 ^ AB= ? ACB Угол между секущими, проведенными из одной точки к окружности, равен полуразности дуг, заключенных меж- ду ними: ? = 1 2 ^ AB ? ^ CD 2 23 Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам. Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен. OR ? AB ? OR делит AB пополам Касательная к окружности перпендику- лярна радиусу, проведенному в точку каса- ния. Если прямая проходит через конец ради- уса и перпендикулярна ему, то она является касательной к окружности. OK ? a 3 24 Часть 7. Теоремы об отрезках в окружности. Квадрат касательной равен произведению се- кущей на ее внешнюю часть: OA 2 = OB · OC Для данной окружности произведение секущей на ее внешнюю часть величина постоянная: OA · OB = OC · OD Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны: OA = OB 1 25 Произведения отрезков пересекающихся хорд рав- ны: AO · OC = BO · OD 2 26 Часть 8. Подобные треугольники в окружности. Если OK касательная, где K точка касания с окружностью, OB секущая, A и B точки пересечения с окружностью, то 4OAK ? 4OBK (следствие: квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть) Если OA и OB секущие, пересекаю- щие повторно окружность в точках B 1 и A 1 соответственно, то 4OAB ? 4OA 1 B 1 (следствие: для данной окружности произведение секущей на ее внеш- нюю часть величина постоянная) При пересечении хорд в окружности образуются две пары подобных треугольников: 4ABC ? 4A 1 B 1 C 4AB 1 C ? 4A 1 BC (следствие: произведения отрезков хорд равны) 1 27 Часть 9. Вписанная окружность. Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла. Каждая точка биссектрисы угла равно- удалена от его сторон. LO ? биссектриса OA = OB Центр окружности, вписанной в треуголь- ник, лежит на пересечении биссектрис уг- лов треугольника. Заметим, что в общем случае точка каса- ния окружности со стороной треугольни- ка не совпадает с точкой пересечения бис- сектрисы со стороной треугольника. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сто- рон четырехугольника равны. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. a + c = b + d Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника. 1 28 Центр вписанной в многоугольник окружности лежит на пересече- нии биссектрис углов. Если в параллелограмм можно вписать окруж- ность, то он является ромбом. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей (рис 1). Если в прямоугольник можно вписать окруж- ность, то он является квадратом. Центр окруж- ности лежит на пересечении диагоналей (рис 2). 2 29 Часть 10. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около тре- угольника, лежит на пересечении середин- ных перпендикуляров к сторонам треуголь- ника. Заметим, что в общем случае серединный перпендикуляр к стороне треугольника не проходит через противоположную верши- ну треугольника. Теорема синусов. Отношение длины стороны треугольни- ка к синусу противолежащего угла ве- личина постоянная для каждого треуголь- ника и равна двум радиусам описанной около треугольника окружности: a sin ? = b sin ? = c sin ? = 2R 1 30 • Если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных уг- лов равна 180 ? (рис 1): ? + ? = 180 ? • Около четырехугольника можно описать окруж- ность, если выполнено одно из двух утверждений: сумма противоположных углов ? и ? равна 180 ? (рис 1); угол ? равен углу ? (рис 2). • Центр описанной окружности лежит на се- рединных перпендикулярах к сторонам четырех- угольника. Центр описанной около выпуклого многоугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам. 1) Если около параллелограмма можно описать окружность, то он яв- ляется прямоугольником. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей. 2) Если около ромба можно описать окружность, то он является квадра- том. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей. 3) Если около трапеции можно описать окружность, то она является рав- нобедренной. 2 31 Часть 11. Крутые теоремы. Середины M и N оснований трапеции, точка O пересечения диагоналей и точка P пересечения продолжений боковых сто- рон трапеции лежат на одной прямой. Теорема Вариньона. Середины сторон выпуклого четырех- угольника являются вершинами парал- лелограмма. P M N K параллелограмм. Теорема Менелая. Если прямая пересекает сторо- ны AB и BC в точках C 1 и A 1 со- ответственно, а также продолже- ние стороны AC в точке B 1 , то вы- полнено следующее соотношение: AC 1 C 1 B · BA 1 A 1 C · CB 1 B 1 A = 1 Как запомнить равенство? Если ввести терминологию: вершины A, B, C треугольника называть вершинами, точки A 1 , B 1 , C 1 точками, то для каждой дроби работает правило вершина-точка-точка-вершина. Про- ход по всем вершинам и точкам осуществляется в одном направлении, в нашем случае по часовой стрелке. 1 32 Теорема Чевы. Если AA 1 , BB 1 и CC 1 чевианы, пересекаю- щиеся в одной точке, то для них выполнено сле- дующее соотношение: AB 1 B 1 C · CA 1 A 1 B · BC 1 C 1 A = 1 Чевиана отрезок, соединяющий вершину тре- угольника с точкой на противоположной сто- роне. Метод запоминания данного соотношения такой же, как и для теоремы Менелая. Теорема Ван-Обеля. Если AA 1 , BB 1 и CC 1 чевианы, пересекаю- щиеся в одной точке, то для них выполнено сле- дующее соотношение: CO OC 1 = CA 1 A 1 B + CB 1 B 1 A Теорема Стюарта. p 2 = a 2 · x x + y + b 2 · y x + y ? xy 2 33 Свойство радикальной оси. M N линия центров окруж- ностей. AB радикальная ось (пря- мая, проходящая через точ- ки пересечения окружностей). OK 1 = OK 2 = OK 3 = OK 4 отрезки касательных. Радикальная ось перпенди- кулярна линии центров окруж- ностей. Отрезки касатель- ных, проведенных из любой точки радикальной оси к окруж- ностям, равны. 3 34 Часть 12. Векторы. Если A 1 (x 1 ; y 1 ) и A 2 (x 2 ; y 2 ) , O середина отрезка A 1 A 2 , то верны следующие формулы: A 1 A 2 = q (x 1 ? x 2 ) 2 + (y 1 ? y 2 ) 2 O x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2 Правило треугольника суммы векторов: от- ложить вектор ? ? b от конца вектора ? ? a , тогда ? ? a + ? ? b будет равен вектору, начало которо- го совпадает с началом вектора ? ? a , а конец совпадает с концом вектора ? ? b Правило параллелограмма суммы век- торов: отложить вектор ? ? b от начала век- тора ? ? a , построить на данных векторах параллелограмм. Тогда ? ? a + ? ? b вектор, совпадающий с диагональю параллелограм- ма, начало которого совпадает с началом векторов ? ? a и ? ? b 1 35 Пусть даны точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) Тогда вектор ?? AB имеет координаты: ?? AB = {x 2 ? x 1 ; y 2 ? y 1 } Если ?? AB = {a, b} , то его длина вычисля- ется по формуле: | ?? AB| = ? a 2 + b 2 Пусть даны два вектора ???? A 1 A 2 = {x 1 ; y 1 } и ???? B 1 B 2 = {x 2 ; y 2 } Тогда сумма этих векторов имеет ко- ординаты: ???? A 1 A 2 + ???? B 1 B 2 = {x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 } Скалярное произведение этих векторов можно вычислить по одной из двух формул: ???? A 1 A 2 , ???? B 1 B 2 = | ???? A 1 A 2 | · | ???? B 1 B 2 | · cos ? ( ???? A 1 A 2 , ???? B 1 B 2 ) ???? A 1 A 2 , ???? B 1 B 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 (·, ·) скалярное произведение. 2 36 |