Числовая послед.
Пусть кажд. ч-лу n поставлено в соответствие некое вещ. ч-ло xn. Тогда говорят, что определена числ. послед. {xn}. xn- общий эл-т послед. Послед. также запис. в виде x1, x2,… xn…
Предел послед.
Ч-ло а наз. пределом послед. {xn}, если для >0 N такой, что при всех n>N выполнено нер-во |xn-а|<. Послед. наз. сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся – если не имеет. Из определения предела послед. и -окрест. числа а вытекает след. факт: число а явл. пределом послед. {xn}, если, какой бы ни была -окр. Числа а , все эл-ты послед., начиная с некоторого номера, попадут в эту окр. ( так что вне ее может остаться лишь конечное число этих эл-тов). Точка а на числ. оси явл. точкой сгущения точек изобр. знач. xn. ОБОЗН: limnxn=a или а при n.
Сход.:xn=(n-1)/n. Расход.:xn=(-1)n. =1/2, Должно:|(-1)n-a|<1/2 для всех n>N. Но числа (-1)n поочер. прин. знач. 1 и –1 одновр. должны вып. нер-ва |1-a|<1/2 и |-1-a| = |1+a|<1/2.
( | x + y | <= | x | + | y |, | x + y | > | x | - | y | )
2=|1-a+1+a|<=|1-a|+|1+a|<1/2+1/2=1. Противоречие.
Геом. прогр.
Ряд геод. прогр.: 1+q+q2+…+qk+…=qk-1. N-я частичная сумма Sn этого ряда при q1 имеет вид Sn=1+q+…+qn-1 =(1-qn) / (1-q) = =[1/(1-q)]-[qn/(1-q)]. Видно, что при |q|<1 послед. сходится и имеет предел 1/(1-q). При |q|>1 из равенства (Sn) видно, что послед. Sn расходится.
Теорема о пределе промеж. послед.
Если limnxn=a, limnzn=a и справедливо нер-во xn<=yn<=zn, то limnyn=a.Д-во: дост. док-ть, что послед. {yn-a} явл. б.м. Обозначим через N номер, начиная с которого, вып. нер-ва из условия. Тогда начиная с этого номера, будут выполняться также нер-ва xn-a<=yn-a<=zn-a. Отсюда следует, что при n>N эл-ты послед. {yn-a} удовл. нер-ву: |yn-a| <= max{ |xn-a| , |zn-a| }
Число е как предел промеж. послед
Применим т-му о сущ. предела монотонной послед. для док-ва сущ. предела послед. {xn}, эл-т xn которой определяется ф-лой xn=(1+1/n)n. Докажем, что эта послед. возрастает и ограничена сверху. Применив ф-лу бинома Ньютона, найдем: xn=1+ +n*1/n+n(n-1)/2!*1/n2+…+(n(n-1)…(n-n+1))/n!*1/nn=2+1/2!(1-
-1/n)+…+1/n!*(1-1/n)…(1-(n-1)/n). Для n xn>2. 1-((k-1)/n)<1 и 1/k!<=1/(2k-1) для k=2,3,…,n, то получим xn< 2+1.2+…+1/2n-1< <1+(1+1/2+…+1/2n+…)=1+1/(1-1/2)=3. Итак 2 < xn < 3 дляn. Для док-ва возр. {xn} подставим вместо n n+1 и увидим, что xnn+1, т.е. послед возр. По т-ме о сущ. предела монотонной послед. {xn} имеет предел. Значит по опр., e = limn(1+1/n)n.
Предел ф-ции в точке
Пусть ф-ция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Число А наз пределом ф-ции в точке x0, если для >0 найдется такое >0, что для всех xx0, удовл. нер-ву
|x-x0|<, вып. нер-во |f(x) - A|<. limxx0f(x) = A.
Т-ма о пределе суперпозиции
limxx0(x) =u0
limuu0f(u) =A
1)2) limxx0f(x) =A
Из 1 следует, что для{xn} limnxn=x0 и тогда limn(xn)=u0 (по опр предела). Из (2) следует, что для {un}=limnun =u0 limnf(un)=A, т.к. {un}- любая, то в частности за нее можно взять un=(xn). Для{xn}:limnxn=x0{(xn)=yn}:limnyn=A
Следствие: эл-тарная ф-ция непрерывна во всех внутр. точках своей о.о.ф.
Т-ма о пределе промеж. ф-ции
Пусть limxx0 1(x) =А, limxx0 2(x) =А(10), x: 1(x)<=(x)<=2(x)(20), limxx0(x) =А.
1-й замечательный предел
limx0 sinx/x =1
Непрерывность ф-ции в точке
Пусть ф-ция y = f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки. *Ф-ция y = f(x) наз. непрерывной в точке x0, если существует предел ф-ции в этой точке и он равен значению ф-ции в этой точке ,т.е. limxx0f(x) = f(xo). Это рав. Озн. Вып-е 3-х усл.: 1)f(x) определена в точке x0 и в ее окрест. 2)f(x) имеет предел при xx0 3)предел ф-ции в точке x0 равен знач. ф-ции в этой точке, т.е. вып. равенство limxx0f(x) = f(xo). Т.к. limxx0x0 = x0, то limxx0f(x) = =f(limxx0x)= f(x0). **Ф-ция y = f(x) наз. непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и ее окрестности и вып. рав-во limx0y =0, т.е. беск. малому приращ. арг. соотв. беск. малое приращ. ф-ции.
Непрерывность сложной ф-ции в точке
Если ф-ция x = (t) непрер. в точке а, а ф-ция y = f(x) непрер. в соотв. точке b=(a), то сл. ф-ция у=f[(t)] непрер. в точке а.
Односторонние пределы
Число А1 наз. пределом ф-ции у=f(x) слева в точке x0, если для любого числа >0 сущ. число =()>0 такое, что при x (x0-;x0), вып. нер-во |f(x)-A|<. ОБОЗН: limxx0-0f(x)=A1 или f(x0-0)=A1. Аналог предел справа: (>0 () x(x0;x0+) |f(x)-A2|<)limxx0+0f(x)=A2. Если limxxof(x)=А, то оба одностор. предела, причем A=A1=A2. Если A1A2, то limxx0f(x) не сущ.
Точки разрыва
Точки, в которых нарушается непрерывность ф-ции, наз. точками разрыва этой ф-ции. Если x=x0-точка разрыва ф-ции y=f(x), то в ней не выполняется хотя бы одно из условий 1-го определения непрер. ф-ции: 1) ф-ция опред. в окр. x0, но не опред. в самой x0. 2)ф-ция опред. в x0 и ее окр., но не сущ. предела f(x) при xx0. 3)ф-ция опред. и limxxof(x), но limxxof(x)f(x0). В точке разрыва 1-го рода x0 сущ. одностор. пределы, т.е. limxx0-0f(x)=A1 limxx0+0f(x)=A2 , при этом: а)А1=А2 x0 – точка устранимого разрыва.
б) А1А2 x0 – точка конечного разрыва. |А1-А2|- скачок ф-ции
В точке разрыва 2-го рода x0 хотя бы один одностор. предел не сущ. или равен .
Предел ф-ции на бесконечности
Пусть ф-ция y=f(x) определена в промежутке (- ; ). Число А наз. пределом ф-ции f(x) при x, если (>0 М()>0, x: |х|>М |f(x) - А| < ) limx f(x)=А.
Наклонные и горизонтальные асимптоты
Асимптота – прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. Ур-е наклонной асимптоты будем искать в виде y = kx+ b. Пусть М(х;у) – произвольная точка кривой. По ф-ле расст. от точки до прямой находим: d = |(kx-y+b)/ k2 +1|. d0 limx(kx-y+b) = 0 limx(y/x) = limx(k+b/x(0)) k = limx(y/x) b= limx(y-kx). Если k=0, то b – гориз. асимптота.
Геометрический смысл диф: приращение ординаты касательной. Dy=f’(x0)dx; f’(x0)=tg
|
Вертикальные асимптоты
Прямая x=a явл. вертик. асимптотой y=f(x), если limxa f(x)= , или limxa-0 f(x)= limxa+0 f(x)= .
Б.Б.Ф.
Ф-ция y=f(x) наз. ббф
1) при xx0, если (М>0 >0 x:|x-x0|<, xx0 |f(x)|>M) limxx0f(x) =
2) при x, если (М>0 N>0 x:|x|>N |f(x)|>M) limxf(x) = . ббф в окрестности точки x0 явл. неогранич.
Б.М.Ф.
Ф-ция y=f(x) наз. бмф при xx0, если limxx0f(x)=0 (>0 >0 x: 0< |x-x0| < |f(x)|< ). При x x0 0, x f(x) 0
Теорема о связи Б.Б.Ф. и Б.М.Ф.
Если (x)-бмф(0), то ф-ция 1/(x)-ббф и наоборот.
Д-во: пусть (x) – бмф при x x0, т.е. limxx0(x)=0. Тогда
(>0 >0 x: 0< |x-x0| < |(x)|< ), т.е. |1/(x)|>1/(=М).
Т. о связи функций и ее предела: чтобы тело и являлось бы (lim(xa)f(x)=A)(f(x)-A=(x)) была бы бесконечно малой функциеей при xa
Бесконечно большие функции: функция y=f(x) называется бесконечно большой при xa если lim(xa)f(x)=
Сравнение роста Б.Б.: u(x) v(x) – Б.б. при xa
lim(xa)n(x)/v(x) (1*)
(1*)= u(x)-более высокого порядка роста чем v(x)
(1*)=0 v(x)-Б.б. более высокого порядка роста
(1*)=const u(x) и v(x) – одного порядка роста
(1*)=1 u(x)v(x) при xa
если не сущ lim(xa)(x)/(x) – не сравниваются
Бесконечно малые функции: y=f(x)-Б.м. при xa если ее придел при xa=0
Сравнение роста Б.м.: u(x),v(x)-б.м. при xa lim(xa)u(x)/v(x)(*)
(*)=0 u(x)-б.м. более высокого порядка чем v(x)
(*)= - v(x)-б.м. более высокого порядка
(*)=const u(x) и v(x) – одного порядка малости
(*)=1 u(x)v(x) xa
Если m>0 что lim(xa)u(x)/[v(x)]m=k u(x)-б.м. порядка m по сравнению с v(x)
Если (*) не сущ то u(x) и v(x) не сравнив
Эквивалентность бесконечно малых:
Если lim(xa)(x)/(x)=1 то (x)(x) xa
Основные эквивалентности 1 зам. предела:
sinxx tgxx arcsinxx arstgxx 1-cosxx2/2
Эквивалентность бесконечно больших:
lim(xa)u(x)/v(x)=1 u(x)v(x) xa
Основные эквивалентности 2 зам. предела:
ex-1x ax-1xlna ln(1+x)x (1+x)n-1nx
Предел функции: говорят что существует lim(xa)f(x)=A когда существует окр-ть (;A) такая что окр-ти(;A) окр-ть(0) (;A) xокр-ть(0) (;A)f(x)окр-ть(;A)
Т о втором замечательном пределе:
lim(x)(1+1/x)x=e
lim(y0)(1+y)1/y=e
Т. о разности эквивалентных Б.м.(+):
Если (x)(x); (x),(x)-б.м. при xa то
(x)-(x) – б.м. более высокого порядка чем каждая из них
.(д-во):
Для того чтобы (x)(x) необходимо и достаточно чтобы -=o((x))
Д-во:
Необх: (x)(x)lim(xa)((x)/ (x))=1/-1=; -б.м при xa-=*- б.м. более высокого порядка.
Дост: -=o( (x)); /-1=o()/(перейдем к пределу) lim(xa)[(x)/ (x)-1]= lim(xa)[ o( (x))/ (x)]=0 по опр б.м. более высокого порядка.
Т. о замене эквивалентных в пределе отношения(+):
(x)1(x);(x)1(x)lim(xa)(x)/(x)= lim(xa)1(x)/1(x) при xa
Д-во:
(x)1(x); (x)1(x) при xa lim(xa)(x)/(x)= lim(xa)(x)1(x) 1(x)/(x)1(x)1(x)= [lim(xa)(/1)] 1 lim(xa)(1/1)[lim(xa)(1/)]1
Непрерывность функции на отрезке: функция y=f(x) наз-ся непрерывной на [a,b] если она удовлетворяет определению непрерывности в каждой внутр точки этого отрезка внутри а также сущ lim(xa+)f(x)=f(a) и
lim(xb-)f(x)=f(b)
Т. о нуле функции: пусть f(x) непрерывна на [a,b] тогда если значение f(x) на концах разных знаков т.е. f(a)*f(b)<0 тогда сущ c(a,b) что f(c)=0
Т. о наибольшем и наименьшем значении: пусть f(x) непрерывна на [a,b] тогда сущ x1 x2[a,b] что в т x1, f(x)-min знач [a b] в т x2 f(x) – max знач [a b]
Т.о промежуточных значениях: если f(x) непрерывна то для любого числа z, заключенного между min и max найдется такая т x0 на [a b] что знач в этой точке = с
Производная числа (x0) наз-ся число f’(x0)=lim(x0)(f(x0+x)-f(x0))/ x
Геометрический смысл: производная в точке равняется tg угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Механический смысл: S`(t)=v(t)
Производная частного двух функций:
[u/v]’=(u’v-v’u)/v2
Производная суммы: [u+v]’=u’+v’
Производная произведения:
[u*v]’=u’v+v’u
Функция xn: xa=axa-1
y=(x+x)a-xa=xa[(1+x/x)a-1]=xa[eln(1+x/x)^a-1]=xa[ealn(1+x/x)-1]xa[ea(x/x)-1]xa*a*(x/x)
lim(x0)y/x= lim(x0)(xaax)/(xx)=a*xa-1
Функция sin(x): sin(x)=cos(x)
y=sin(x+x)-sinx=2*sin[(x+x-x)/2]* cos[(x+x+x)/2]= 2sin(x/x)*cos(x+x/2)
lim(x0) [(2sinx/2*cos(x+x/2))/x= lim(x0)(2*x/2*cos(x*x/2)/ x)=cosx
Функция cos: cosx=-sinx Формула cos(x)-cos(y)=-2sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]
Функция tgx: tgx=1/cos2x
y’=(sinx/cosx)’=[((sinx)’cosx-sinx(cosx)’)/cos2x =(cos2x+sin2x)/cos2x
Функция ctg(x): ctg(x)=-1/sin2x см tg(x)
Функция ex ax: ex=ex ax=axlna
y=ex+x-ex=ex(ex-1)exx
lim(x0)exx/x=ex
y=ax y=elna^x=exlnay’=axlna
Функция log(x) ln(x): lnx=1/x logx=1/x*lna
y=ln(x+x)-ln(x)= ln[(x+x)/x]=ln(1+x/x) x/x
lim(x0) (x/x*x)=1/x
y’=(logax)’=(lnx/lna)’=1/xlna
Вычисление производной от функции, умножен на число: [c*u(x)]’=c*u’(x)
Т.о производной сложной функции: пусть y=f(u(x))-сложная функция и пусть u(x) – диф в т x а f(u) – диф в т u тогда:
y=f(u(x)) – так же диф в т x а ее производная вычисляется по формуле: y’=f’u(u)*u’x(x)
Т. о производной обратной функции:
Пусть y=f(x) диф и монотонна на (a b). Пусть т x0(a b) и f’(x0)0. Тогда в т y0=f(x0) определена диф функция g(y) которую называют обратной к f(x) а ее производная вычисляется по формуле: (g(y))’=1/f’(x0)
Функция arcsin(x): y’=1/(siny)’=1/cosy=1/(1-sin2y)=1/(1-x2) arcos – аналогично
Способ диф функции вида [U(x)]V(x): lny=ln[U(x)]V(x); lny=V(x)ln(U(x)); ln(y)’=(V(x)ln(u(x))]’; 1/y*y’=V’(x)ln(U(x))+V(x)*1/U(x)*U’(x); y’(x)=Uv[V’ln(U)+V/U*U’]
Связь диф с непрерывностью: если функция диф в т x0 то она непрерывна в этой точки.
Д-во: f=Ax+o(y); lim(x0) f= lim(x0) (Ax+o(x))=0 f – БМ при x0 !!!!Из диф следует непрерывность!
Дифференциал: диф. функции y=f(x) в данной т. x соответствующим приращением x называют главную относительную x часть приращения этой функции в т.x
Инвариантность:
с=const dc=(c)’dx=0
2.U(x),V(x)D(x) d[u(x)+(v(x)]= du(x)+ dv(x)
3.d(u(x)v(x))=v(x)u(x)+u(x)dv(x)
4.d(u/v)=[(vdu-udv)/v2]
Парам задание функции: x=x(t)
y=y(t)
Порядок нуля: y=f(x) имеет в т. x1-нуль порядка кратности k если: f(x1)=0; f’(x1)=0; f’’(x1)=0…fn(x1)=0…fk(x1)0
Теорема Ферма.
Если функция непрерывна на отрезке и достигает на нём свой max то производная в этой точке равна 0.
Теорема Лагранжа. F(X) определ, непрерыв,дифф,на [a,b] Тогда сущ. Точка С принадл. [a,b],такая что
f(b)-f(a) =f ‘ (c)
b-a
Теорема Лагранжа д-во: Построим q(x)=f(x)-hx и этот “h” введём так чтобы для q(x) выполнялось усл. Т.Ролля.
q(a )= q(b),f(a)-ha=f(b)-hb тогда f(b)-f(a) =h, т.к.
b-a
q(x) удв усл. Т. Ролля то найдётся точка
принадл. [a,b];q’ (c)=0. q’ (x)=f ‘ (x) – h.Тогда есть q’ (c)=f ‘ (c)-h=0,тоесть сущ. Т. С:f ‘ (c)=h
Тогдаf (b)-f(a) =f ‘ (c)
b-a
Геом.смысл теоремы Лагранжа:Если F (x) удв. усл. т.Лагранжа то сущ.хоть 1 точка С такая что касательная в этой точке || стягивающей хорде.
|
Теорема Ролля.
F(X) определ,непрерыв,дифф,на [a,b].f(a)=f(b).Тогда сущ. Точка С принадл. [a,b] и f ‘(c)=0.
Геом. cмысл т Ролля: Если функция удв условиям теор. Ролля то сущ. Точка С на [a,b];касательная в этой точке параллельна оси X.
Теорема Коши. Пусть на [a,b] определены f(x) и g(x)
и они непрерыв,дифф,на [a,b].g’ (x) не =0. Тогда
сущ. Точка С принадл. [a,b],такая что f(b)-f(a) =
f ‘ (c) g(b)-g(a)
g ‘ (c)
Теорема Коши д-во: построим вспомогат. Функцию q(x) = f(x)-hg(x) (q(x) удв. Теореме Ролля) q(a)=q(b);
f(a)-hg(a)=f(b)-hg(b) тоесть h(g(b)-g(a))=f(b)-f(a); подберём h так чтобы h=f(b)-f(a)
g(b)-g(a)
По теореме Ролля для q(x) следует что сущ. точка С на [a,b],q’(c)=0’;q’(x)=f ‘(x)-hg’(x)
Тоесть q’(c)=f ‘(c)-hg’(c)=0 следовательно f(b)-f(a) = f ‘ (c) g(b)-g(a) g ‘ (c)
Правило Лопиталя.
Пусть на [a,b] определены f(x) и g(x) и они непрерыв,дифф,на [a,b].g (x) не =0,тогда(x стремится к “a”) lim f(x)=limf ‘(x)
g(x) lim g‘ (x)
Производные высших пор-ков
Производной n-го пор-ка наз. производная от производной (n-1)-го пор-ка. y(n)=(y(n-1))' Для ф-ции, заданной неявно: пусть y=f(x) задана неявно в виде ур-я F(x;y)=0. Продифф. это ур-е по х и разрешив получ. ур-е относ. у', найдем произв. 1-го пор-ка. Продифф. по х 1-ю произв., получим 2-ю от неявной ф-ции. В нее войдут х,у и у'. Подст. Уже найденное знач. у' в выр-е 2-й произв., выразим у'' через х и у. Для ф-ции, зад. параметр.: x=x(t), y=y(t), yx’= yt’/xt’, yxx’’=( yx’)t’/ xt’
Многочлен Тейлора
Пусть ф-ция f(x) есть м-н Pn(x) степени n: f(x) = Pn(x)=a0+a1x+…+anxn=A0+A1(x-x0)+…+An(x-x0)n. Для нахож. коэфф. An продиф. Pn(x) n раз. Pn(n)(x) = n(n-1)(n-2)…2*1*An. При x = x0 получим Pn(x) = Pn(x0) + (P’n(x0)/1!)(x-x0) +…+ (P(n)n(x0)/n!)(x-x0)n
Ф-ла Тейлора
f(x) = f(x0) + (f’(x0)(x-x0)/1!) +…+(f(n)(x0) (x-x0)n/n!)+Rn(x)
Rn(x) – остат. член ф-лы показ. погреш. рав-ва f(x) Pn(x)
Rn(x) в форме Лагранжа: f(n+1)(x0+(x-x0))(x-x0)(n+1)/(n+1)!
Rn(x) в форме Пеано: ((x-x0)n) при xx0
Д-во: Rn+1(х)→0 при х→х0,Э,причем быстрее чем (х-х0)n, Rn+1(х)=f(x)-γn(x)?
ξ(t)=f(x)-[f(t)+f’(t)*(x-t)/1!+ f’’(t)*(x-t)2/2!+…+f(n)’(t)*(x-t)n/n!]-(x-t)pQ(x)
Q(x)= Rn+1(х)/(x-x0)p, где p>0, любое p
Пусть x>x0 Если t=x ξ(x)=0, Если t=x0, то ξ(x0)=f(x)-γn(x)- Rn+1(х)=0
Т. единственности
Представление ф-ции по ф-ле Тейлора единственно.
Т. Единственности д-во: y=f(x), ai bi (i=1,2…)
f(x) = ai(x-a)i + (xn) = bi(x-a)i + (xn). Пок-м противоречие:
f(x) - f(x) = (ai - bi)(x-a)i + (xn) =0, ai - bi=ci, т.к. все произв. от нуля равны нулю, то ci =0, ai - bi=0 ai = bi
Ф-ла Маклорена
При x0=0 получаем частный случай Тейлора – ф-лу Маклорена f(x)=f(0)+f’(0)x/1!+f’’(0)x2/2!+.+f(n)(0)(xn)/n!+f(n+1)(c)(xn+1)/(n+1)!
f(x)f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!
1)ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+ecxn+1/(n+1)!
2)sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n(x2n+1)/(2n+1)!+(-1)n+1(x2n+3)/(2n+3)!*cosc
3)cosx=1-x2/2+x4/4-…+(-1)nx2n/(2n)!+(-1)n+1x2n+2/(2n+2)!*cosc
4)ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+…+(-1)n-1xn/n+(-1)nxn+1/(n+1)(1+c)n+1
5)(1+x)k=1+kx+k(k-1)x2/2!+…+k(k-1)…(k-n+1)xn/n!+
+k(k-1)…(k-n)(1+c)k-n-1xn+1/(n+1)!
Локальный экстремум ф-ции 1-й переменной
Если произв. ф-ции y=f(x) в точке х0 не определена или равна нулю, то х0- точка экстремума ф-ции.
Точки перегиба
Точка х0 наз. точкой перегиба графика ф-ции y=f(x), если -окр. точки х0 такая, что в ее левой (х< х0) и правой (х> х0) половине график ф-ции у= f(x) имеет разные направления выпуклости.
Ф-ция нескольких переменных.
Пусть даны два мн-ва DR2 и FR1 и пусть указано правило, по которому каждой точке (x;y)D соответствует некоторое число zF. Вэтом случае говорят, что задана ф-ция z = f(x,y) с областью определения D и областью значений в F. При этом х и у называют независ. перемен., а z – зависимой переменной. Ф-ция двух перем. допуск. геометр. истолкование. Каждой точке М0(х0,у0) области D в системе координат Oхуz соотв. точка М0(x0,y0,z0), где z0-аппликата точки М. Совокупность всех этих точек есть некоторая поверхность, которая и будет геометрически изображать данную ф-цию z = f(x,y).
Непрерывность ф-ции неск. переменных
*Ф-ция z = f(x;y) наз. непрерывной в точке М(x0;y0), если она: 1) определена в точке М(x0;y0) и некоторой ее окрестности,
2) имеет предел limMMof(M),
3) этот предел равен знач. ф-ции z в точке М0, т.е. limMMof(M) = f(M0) или limx,yxo,yof(x,y)=f(x0,y0). Ф-ция, непрерывная в каждой точке некоторой области, наз. непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, наз. точками разрыва этой ф-ции. Точки разрыва z = f(x;y) могут образовывать целые линии разрыва.**x = x - x0, y=y-y0, z = f(x;y) - f(x0;y0). x,y- приращения аргументов x и y, a z-полным приращением ф-ции f(x;y) в точке М(x0;y0). Ф-ция z = f(x;y) наз. непрерывной в точке М(x0;y0) D, если вып. рав-во limx,y0z=0.
Предел ф-ции неск. переменных
Число А наз. пределом ф-ции z=f(x,y) при xxo, yyo, если для >0 >0 такое, что для всех хх0 и уу0 и удовл. нер-ву (x-x0)2+(y-y0)2 < выполн. нер-во |f(x,y)-A|<. А = limx,yxo,yof(x;y) = limMMof(M)
Частные производные первого порядка:
Часной производной по X : Zx=Dz/Dx=lim dxZ/dx (d стремится к 0)
по Y: Zy=Dz/Dy=lim dyZ/dy (d стремится к 0)
Геом смысл: Пусть P находится на XOY ,мы берём точки из области D,и каждой точке из D мы
Ставим в соответствие апликату Z,и множество этих точек образует поверхность в пространстве.
Частные производные второго порядка
Часной производной по X :(Dz/Dx)x’= (Dквz/Dxкв),по Y: Dz/Dy)y’= (Dквz/Dyкв
Т. о равенстве частн произв: вторые смешаные часные произведения равны.
(Dz/Dx)’y=Dквz/DxDy (по Y) (Dz/Dy)’x=Dквz/DyDx (они равны)
Дифференциалом функции Z называется главная линейная часть приращения функции
Adx + Bdy = (Dz/Dx)dx + (Dz/Dy)dy Из условия дифф. Функции в Р0 следует сущ. касат.
плоскости к поверхности Z = f(x,y)
Локал. экстр. Функции нескольких перемен:
Р- min Z = f(P) если для любых P принад. окресн. Р0 следует:Z(p)>Z(Р0)
Р- max Z = f(P) если для любых P принад. окресн. Р0 следует:Z(p)
Необх. Условие.(т. Ферма) Часные производные первого порядка = 0
Т. Ферма д-во: f(x) опр на [a,b],f(x) непр [a,b],f(x0 достиг экстр. в С на [a,b] – Тогда f ‘(c)=0
Пусть С точка локальный max,придадим точке С приращ. (C+dC),тогда функция получит приращение f(C+dC)-f(C).По определению лок. мax значение в любой точке f(C+dC)
Тогда dF<=0. Тогда отношение dF к dC будет: >=0 при dC<0,и,<=0 при dC>0.
Т.к. f(x) дифферен, то сущ. F ‘(C)
Пред. отн. dF к dC <=0 (dC стр. к 0 справа).Пред. отн. dF к dC >= 0 (dC стр. к 0 слева).
Но!!! Сущ. Пред. dF к dC =0 (dC стр к 0).
Стационарные точки это точки в которых выполняются необходимые условия экстремума.
Т-ма о пределе промежуточной функции, д-во.
Док-во: из ровенств вытекает, что >0 сущ. 2 окрест. 1,2 точки x0, в одной из которых выполн. нер-во |1(x)-А|<, т.е. -<1(x)-A<(30), а в другой |2(x)-А|<, т.е. -<2(x)-A<(40). Пусть -меньшее из 1 и 2. Тогда в -окрестности точки x0 выполняются оба нер-ва(30,40). Из нер-в(20) находим, что 1(x)-А<=(x)-А<=2(x)-А(50). С учетом нер-в(30,40) из нер-ва (50) следуют нер-ва -<(x)-A< или |(x)-A|<. Мы доказали, что >0 найдется такое >0, что для всех x, удовл. нер-ву 0<|x-x0|< |(x) - A|<, т.е. limxx0(x) = A.
Локальный экстремум ф-ции 1-й переменной д-во:
(необх) Если дифф. Ф-ция y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее произв. в этой точке равна нулю: f’(x0)=0.
(дост) Если непрерывная ф-ция y=f(x) дифф. В некоторой -окр. критич. точки х0 и при переходе через нее(слева направо) произв. f’(x) меняет знак с плюса на минус, то х0 есть хmax, с минуса на плюс, то хmin
|
Скачать 148 Kb.