Чтобы получить симметрическое расширение заданного оператора а нужно найти изометрическое расширение его преобразования Кэли V
 Скачать 1.1 Mb.
|
|
Размещено на http://www.allbest.ru/ СОДЕРЖАНИЕ Введение Индексы дефекта Преобразование Кэли и формулы Неймана Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора Литература ВВЕДЕНИЕ Чтобы получить симметрическое расширение заданного оператора А нужно найти изометрическое расширение его преобразования Кэли V. Для этого выберем в дефектных подпространствах  ,  два подпространства, F и G, равных размерностей и построим произвольный изометрический оператор V1 c областью определения F и областью значений G.Определим, далее, линейный оператор  с областью определения  и областью значений  формулами п  ри  .Очевидно, есть изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V1 мы получим все изометрические расширения оператора V и каждое по одному разу.Итак, чтобы найти некоторое симметрическое расширение  оператора А, следует перейти к преобразованию Кэли оператора А, найти по описанному выше методу некоторое расширение оператора V и, наконец, вернуться к , выполнив преобразование Кэли над . 1. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА Определение: Всякую функцию  , которая каждому элементу  относит некоторый элемент  , называют оператором в пространстве Н с областью определения  и областью значений  , состоящей из всех  , где  пробегает все .Тождественный оператор, т.е. оператор, переводящий каждый вектор сам в себя, будем обозначать  . Область определения и область значение оператора будем обозначать  , соответственно.Если оператор двум различным элементам из относит различные элементы, то имеет обратный оператор, который элементам из относит элементы из . Обратный оператор обозначают символом  , таким образом,  ,  .Определение: Оператор называется непрерывным в точке  ( ), если  ( ); это означает, что при любом  существует такое  , что из  ,   .Если область определения  оператора шире области определения  оператора  , т.е.  , и если  для любого элемента  , то оператор называют расширением оператора ( ).Определение. Оператор Т называется линейным, если его область определения D есть линейное многообразие и  для любых  и любых комплексных  .Определение. Оператор V, заданный на всем пространстве Н1(DV=H1) и отображающий его на все пространство Н2 (  ), называется изометрическим, если для любых   .Определение. Линейный оператор А называется симметрическим, если область определения DA плотна в Н и для любых двух элементов f, g из DA имеет место равенство  Определение. Значения параметра  , для которых обратный оператор  существует, определен всюду в  и ограничен, называют регулярными значениями оператора Т. Все остальные точки комплексной плоскости образуют спектр оператора Т.Определение. Резольвентой оператора Т называют зависящий от параметра оператор  , рассматриваемый на множестве всех тех значений , для которых он существует и для которых его область определения, т.е.  плотна в Н.Пусть - произвольный линейный оператор.Определение: число назовем точкой регулярного типа оператора , если существует такое  , что при всех  .Поэтому собственные значения оператора не являются для него точками регулярного типа.Если точка регулярного типа оператора , то оператор существует и ограничен, и обратно, если оператор существует и ограничен, то есть точка регулярного типа.Если  есть точка регулярного типа, то при  и любом имеет место неравенство .Оно показывает, что множество точек регулярного типа всегда открыто. Это множество точек называется полем регулярности оператора .Если  есть симметрический оператор и   , то при любом   .Отсюда видно, что верхняя и нижняя половины  -плоскости являются связными компонентами поля регулярности любого симметрического оператора.Теорема: если  есть связная компонента поля регулярности линейного оператора , то размерность подпространства  одинакова для всех  .Условимся называть дефектным числом линейного многообразия  размерность его ортогонального дополнения  и будем писать  .Определение: дефектное число линейного многообразия  для точек , принадлежащих данной связной компоненте поля регулярного оператора , называется дефектным числом оператора в этой компоненте поля регулярности. При этом  называется дефектным подпространством оператора для точки , а любой отличный от нуля элемент дефектного подпространства называется дефектным элементом.Каждый симметрический оператор имеет два дефектных числа, а именно одно ( ) в нижней, другое ( ) в верхней полуплоскости. Их называют также индексами дефекта оператора :  Индексы дефекта симметрического оператора образуют упорядоченную пару чисел  .Из приведенной выше теоремы вытекают следующие три предложения. 1°. Если симметрический оператор имеет вещественную точку регулярного типа, то его дефектные числа равны:  . То же справедливо относительно изометрического оператора, если он имеет точку регулярного типа на единичной окружности.2°. Если - симметрический оператор, то любое невещественное число является для сопряженного оператора  собственным значением: кратности , если  , и кратности , если  .3°. Дефектные числа изометрического оператора  могут быть определены с помощью следующих равенств: 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ И ФОРМУЛЫ НЕЙМАНА Пусть - какое-нибудь вещественное число, а  пробегает  . Будем полагать, что |