Математическая статистика. Вариант №8. ВЗФЭИ. 2019.. Для проверки качества поступившей на элеватор партии зерна по схеме собственно случайной бесповторной выборки произведено 10%ное обследование

• Название: Для проверки качества поступившей на элеватор партии зерна по схеме собственно случайной бесповторной выборки произведено 10%ное обследование
• Дата: 22.02.2023
• Размер: 0.58 Mb.
• Имя файла: Математическая статистика. Вариант №8. ВЗФЭИ. 2019..doc
• Тип: Задача; #950201
• страница: 1 из 2

Задача №1
Для проверки качества поступившей на элеватор партии зерна по схеме собственно случайной бесповторной выборки произведено 10%-ное обследование. В результате анализа 160 проб зерна получены следующие данные о проценте влажности:

12,8	25,2	30,5	16,5	18,9	26,2	16,8	18,7	15,8	17,6
19,4	12,1	19,3	15,1	21,2	20,5	6,8	19,4	15,8	18,1
23,4	7,7	21,6	20,4	17,5	10,1	17,4	15,9	25,7	17,3
16,6	18,5	17,5	11,1	14,2	20,6	13,7	20,6	18,5	16,3
10,2	15,6	17,6	7,7	18,3	17,0	15,7	22,1	17,2	12,2
16,3	22,2	15,5	25,6	16,9	26,1	23,9	20,3	16,3	24,2
17,5	11,6	17,5	11,0	24,1	19,2	13,5	17,5	19,0	22,1
20,8	23,1	17,3	14,4	25,7	18,5	15,0	7,3	20,5	12,8
15,9	19,2	17,4	14,3	19,3	19,1	9,3	20,3	20,3	23,2
19,5	18,2	19,0	18,4	17,7	5,9	18,2	18,3	25,7	20,6
24,1	2,2	23,9	16,5	18,7	15,0	13,0	17,8	20,1	25,2
17,9	10,1	8,2	15,1	8,8	19,9	17,0	13,8	14,5	16,0
20,5	15,5	14,3	16,1	12,1	18,6	14,3	13,8	25,2	15,9
16,1	11,9	15,6	29,4	15,0	18,3	30,1	23,8	10,1	16,0
18,0	25,3	19,9	28,7	16,4	23,5	16,3	18,9	17,5	24,3
24,2	18,9	15,1	13,7	13,8	13,9	24,6	24,2	21,9	20,7

1. Составить интервальный вариационный ряд. Построить гистограмму и полигон частот (на одном графике), эмпирическую функцию распределения (кумуляту).

2. По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду и медиану.

3. Используя ²-критерий Пирсона, на уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина ξ – процент влажности зерна – распределена по нормальному закону. Построить на чертеже, содержащем гистограмму эмпирического распределения, соответствующую нормальную кривую.

4. Предположив нормальность распределения процента влажности зерна, на 5%-ном уровне значимости проверить следующие гипотезы:

а) о числовом значении математического ожидания, приняв в качестве нулевой гипотезы H₀: a  a₀ , где a₀ – средняя арифметическая, при альтернативной гипотезе H₁: a  a₀;

б) о числовом значении дисперсии, приняв в качестве нулевой гипотезы H₀:  ²  ₀² , где в качестве ₀² взять исправленную выборочную дисперсию, при альтернативной гипотезе H₁:  ²  ₀²;

в) о числовом значении вероятности события, состоящего в том, что процент влажности зерна составляет в пределах не более 16%, приняв в качестве нулевой гипотезы H₀: p  p₀  , где  – соответствующая выборочная доля, вычисленная по не сгруппированным данным, при альтернативной гипотезе H₁: p  p₀ .

5. Предположив нормальность распределения процента влажности зерна, требуется:

а) построить 95%-ные интервальные оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения и вероятности события, рассмотренного в п. 4в;

б) определить вероятности  того, что генеральная средняя, генеральное среднее квадратическое отклонение и генеральная доля, рассмотренная в п. 4в, отличаются от соответствующих им выборочных числовых характеристик не более чем на 5%, т.е. оцениваемый параметр генеральной совокупности t накрывается интервалом 0,9 ; 1,05, где  – соответствующая выборочная оценка;

в) определить объемы выборок, чтобы те же границы для генеральной средней и генеральной доли (п. 5б), гарантировать с вероятностями, большими, чем полученные в п. 5б, на 50% от (1 – ).

Решение:
1. Составим интервальный ряд распределения с равными интервалами и оптимальным числом групп.

Определим длину интервала:



n = 1 + 3,322∙lgN

n = 1 + 3,322∙lg160 = 8

= 3,54%

Результаты представим в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Распределение проб зерна по влажности

Влажность, %	Число проб,	Накопленные частоты, S
2,20 – 5,74	1	1
5,74 – 9,28	7	8
9,28 – 12,81	14	22
12,81 – 16,35	38	60
16,35 – 19,89	51	111
19,89 – 23,43	24	135
23,43 – 26,96	21	156
26,96 – 30,50	4	160
∑	160	–

Построим гистограмму и полигон распределения (рис. 1.1).



Построим кумуляту распределения (рис. 1.2).



2. По сгруппированным данным определим выборочные числовые характеристики.

а) среднее арифметическое.



Промежуточные расчеты представим в табл.1.2.

Таблица 1.2

Промежуточные расчеты

Влажность, %		Расчетные показатели
2,20 – 5,74	1	3,97	3,97	192,17	-2663,99	36929,85
5,74 – 9,28	7	7,51	52,54	746,25	-7705,12	79556,11
9,28 – 12,81	14	11,04	154,61	645,00	-4377,99	29716,02
12,81 – 16,35	38	14,58	554,09	401,40	-1304,58	4240,00
16,35 – 19,89	51	18,12	924,06	4,21	1,21	0,35
19,89 – 23,43	24	21,66	519,75	351,12	1343,00	5136,84
23,43 – 26,96	21	25,19	529,07	1138,31	8380,68	61701,99
26,96 – 30,50	4	28,73	114,93	475,28	5180,70	56471,75
∑	160	–	2853,01	3953,73	-1146,10	273752,89

= 17,83%

Средний процент влажности зерна в выборке составит 17,83%.

б) исправленная выборочная дисперсия.





= 24,71



в) среднее квадратичное отклонение.

4,97%

г) коэффициент вариации.



29,7%

Совокупность проб зерна в выборке по влажности однородна, т.к. V < 33%.

д) асимметрия и эксцесс.









В распределении присутствует небольшая левосторонняя асимметрия.





= 1710,96



Распределение плосковершинное.

е) мода и медиана.



= 17,50%

В выборке преобладают пробы зерна с влажностью 17,50%.

Ме =

Ме = = 17,74%

В выборке 50% проб зерна имеют влажность менее 17,74%, а 50% проб – более 17,74%.

3. : Случайная величина ξ – процент влажности зерна – распределена по нормальному закону.

Определим теоретические вероятности и теоретические частоты.

, где .

= 160∙

Промежуточные расчеты представим в табл.1.3.

Таблица 1.3

Промежуточные расчеты

Интервал
–	5,74		-2,43	-0,5000	-0,4925	0,0075	1,20
5,74	9,28	-2,43	-1,72	-0,4925	-0,4573	0,0352	5,63
9,28	12,81	-1,72	-1,01	-0,4573	-0,3438	0,1135	18,16
12,81	16,35	-1,01	-0,30	-0,3438	-0,1179	0,2259	36,14
16,35	19,89	-0,30	0,41	-0,1179	0,1591	0,2770	44,32
19,89	23,43	0,41	1,13	0,1591	0,3708	0,2117	33,87
23,43	26,96	1,13	1,84	0,3708	0,4671	0,0963	15,41
26,96	–	1,84		0,4671	0,5000	0,0329	5,26
∑		–	–	–	–	1	160

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.



Объединим малочисленные частоты и соответствующие им теоретические частоты ( + = 1 + 7 = 8; + = 21 + 4 = 25), ( + = 1,20 + 5,63 = 6,83; + = 15,41 + 5,26 = 20,67).

Промежуточные расчеты представим в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Промежуточные расчеты

i			–
1	8	6,83	1,17	1,36	0,20
2	14	18,16	-4,16	17,31	0,95
3	38	36,14	1,86	3,44	0,10
4	51	44,32	6,68	44,62	1,01
5	24	33,87	-9,87	97,46	2,88
6	25	20,67	4,33	18,73	0,91
∑	160	160	-	-	6,04

= 6,04

По таблице критических точек распределения Пирсона при a=0,05 и числу степеней свободы k = l – m – 1 = 6 – 2 – 1 = 3 находим:

7,82

Тат как < , то гипотезу о нормальном распределении случайной величины ξ принимаем.

Построим на одном чертеже гистограмму распределения и соответствующую нормальную кривую (рис. 1.3).


4. Предположив нормальность распределения процента влажности зерна, на 5%-ном уровне значимости проверим следующие гипотезы:

а) : .

: .

Вычислим наблюдаемое значение критерия:



Пусть = 17%.

4,99%

= 2,10

По таблице критических точек распределения Стьюдента:

1,97

Так как > , то отвергаем. Другими словами, выборочная средняя значимо отличается от гипотетической генеральной средней .

б) : .

: .

Вычислим наблюдаемое значение критерия:



Пусть = 24.

= 164,76

По таблице критических точек распределения Пирсона:

= 189,42

Так как < , то принимаем. Другими словами, различие между исправленной дисперсией и гипотетической генеральной дисперсией незначимо.

в) : .

: .

Вычислим наблюдаемое значение критерия:



= 0,338

Пусть = 0,35.



По таблице распределения Лапласа:



= 1,65

Так как │ │ < , то принимаем. Другими словами, наблюдаемая относительная частота незначимо отличается от гипотетической вероятности.

5. Предположив нормальность распределения процента влажности зерна:

а) построим 95%-ные интервальные оценки:

• 
  математического ожидания.
  

- ≤ ≤ +

= t∙

По таблице Лапласа t = 1,96 при Р = 0,95.

Так как n = 160 достаточно велико, то:

=

= %

= 1,96∙0,37 = 0,73%

17,83 - 0,73 ≤ ≤ 17,83 + 0,73

17,10 ≤ ≤ 18,56

С вероятностью 0,95 средний процент влажности зерна в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 17.10 до 18,56%.

• 
  дисперсии.
  

По таблице Пирсона:

• 
  среднего квадратичного отклонения.
  

• 
  вероятности события, рассмотренного в п. 4в.
  

w - ≤ р ≤ w +

= t∙

Так как n = 160 достаточно велико, то:

=

=

= 1,96∙0,035 = 0,070

0,338 - 0,070 ≤ p ≤ 0,338 + 0,070

0,268 ≤ p ≤ 0,408

С вероятностью 0,95 доля зерна влажность которого не более 16% в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 0,268 до 0,408.

б) определим вероятности  того, что генеральная средняя, генеральное среднее квадратическое отклонение и генеральная доля, рассмотренная в п. 4в, отличаются от соответствующих им выборочных числовых характеристик не более чем на 5%.



= 17,83∙0,05 = 0,89%

= 2Ф(2,41) = 2∙0,4920 = 0,9840

Вероятность того, что средняя влажность зерна в генеральной совокупности отличается от средней влажности зерна в выборке не более чем на 0,89% (по абсолютной величине) равна 0,9840.



= 0,338∙0,05 = 0,017
0,3758

Вероятность того, что доля зерна с влажность не более 16% в генеральной совокупности отличается от доли зерна в выборке не более чем на 0,017 (по абсолютной величине) равна 0,3758.

















По таблице Пирсона:









в) определим объемы выборок, чтобы те же границы для генеральной средней и генеральной доли (п. 5б), гарантировать с вероятностями, большими, чем полученные в п. 5б, на 50% от (1 – ).





P =

t = 2,65

= 193 проб зерна

С вероятностью 0,9920, чтобы гарантировать те же границы для генеральной средней требуется отобрать 193 пробы зерна.



P =

t = 1,05

= 557 проб зерна

С вероятностью 0,6879, чтобы гарантировать те же границы для генеральной доли требуется отобрать 557 проб зерна.