Исследовательская работа Многочлены. Исследовательская работа Многочлены
 Скачать 63.38 Kb.
|
|
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Основная школа №17 им. Т. Н. Хренникова» Исследовательская работа «Многочлены» Выполнил: Пойда Иван Олегович Руководитель: Васильева Татьяна Владимировна Учитель математики г. Елец-2023 Оглавление I.Введение………………………………………………………………………..3-4 II. Многочлены…………………………………………………………………….4 Действия с многочленами. Степень многочлена………………….……4-7 Многочлен и его стандартный вид…………………………………….......8 Проверка многочлена на тождественность……………………….…….8-9 III. Заключение……………………………………………………………..….…10 IV. Список литературы…………………………………………………………..11 Введение Актуальность исследовательской работы: Математика помогает человеку в решении задач жизнедеятельности и производства. Любая данная ситуация рассматривается нами как математическая модель. Математической моделью может быть уравнение, алгебраическое выражение, график и прочее. Из курса алгебры для более глубокого изучения я выбрал тему: «Многочлены». Эта тема, в отличие от большинства тем школьной программы представляет собой математический аппарат для решения задач более широкого содержания, прежде всего решения уравнений и вопросов делимости целых и натуральных чисел. Проблема исследовательской работы: в школьной программе отсутствует теория деления многочленов, однако это знание может помочь при решении алгебраических уравнений. Цель исследовательской работы: изучить теорию делимости многочленов и области ее применения. Объект исследования: многочлены в курсе 8 класса. Предмет исследования: методы решения задач по данной теме. Задачи исследовательской работы: 1.Необходимо изучить основные понятия, теоремы и алгоритмы теории многочленов. 2. Обобщить и систематизировать знания по данной теме. 3. Продемонстрировать применение основных методов решений на наглядных примерах. 4. Предоставить выводы по данной теме. Гипотеза исследования: алгоритм деления многочленов сокращает время на решение задач по разложению алгебраических выражений на множители. Методы исследовательской работы: моделирование, анкетирование, чтение учебной, литературы по проблеме исследования, поиск информации в глобальных компьютерных сетях. Многочлены. Общее понятие. Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, входящие в эту сумму, называют членами многочлена. В математике, многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида  где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно. Так х+у – это двучлен(бином), а 2x3q−qx2+7b – трехчлен(трином), многочлен (полином). В своей работе я буду использовать многочлены стандартного вида первой степени, второй, третьей и четвёртой. (Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов). В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом a·x+b, где a и b– некоторые числа, а x – переменная, а также с квадратным трехчленом a·x2+b·x+c, где a, b и c – некоторые числа, а x – переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1 и 2x-5, а вот примеры квадратных трехчленов: x2+3x−5 и 3х2–2x–5.Действия с многочленами. Степень многочлена Действия с многочленами. Сложение (вычитание) многочленов. Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов. На практике для нахождения суммы и разности многочленов используют правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс (знак минус). Пример:(2x+3y) + (-5x+3y-4)=2x+3y-5x+3y-4=-3x+6y-4; (4x-5y)-(-x-4y)=4x-5y+x+4y=5x-y. Умножение многочленов. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена полученные одночлены сложить. Пример:(-5a)(4-b-a2)=-20a+5ab+5a3; (2+b)(b2-4)=2b2-8+b3-4b. Деление многочленов В алгебре, деление многочленов столбиком — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную. Для любых многочленов f(x) и g(x),  , существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что ,причем r(x) имеет более низкую степень, чем g(x). Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного q(x) и остатка r(x) для заданных делимого f(x) и ненулевого делителя g(x). Пример: Покажем, что  Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов: а). Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой  . б). Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого  . в). Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой  . г). Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.  д). Повторяем шаг 4.  е). Конец алгоритма. Таким образом, многочлен q(x) = x2 − 9x − 27 частное деления, а r(x) = − 123 — остаток. Степень многочлена. Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право. Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов. Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду. Приводим многочлен к стандартному виду. Выбираем одночлен с наибольшей степенью. Рассмотрим на примере: Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2. Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые: 6x и x — подобные слагаемые 4xy2 и xy2 — подобные слагаемые Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2. Степень первого одночлена (7x) — 1. Степень второго одночлена (5xy2) — 3. Наибольшая из двух степеней — 3. Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен третьей степени. Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу. В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен. Пример: дан многочлен 6xx2 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x Приведем его к стандартному виду: 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x = 6x4 + 5x3 − 3x4 − 3x3 Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые: 5x3 и −3x3 — подобные слагаемые. 6x4 и −3x4 — подобные слагаемые. 6x4 + 3x3 − 3x4 − 3x3 = 3x4 − 2x3 6xx3 + 5xx2 − 3xx3 − 3x2x — многочлен четвертой степени. Многочлен и его стандартный вид Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности. Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов. Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее. К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью. Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду. Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x − xy2 Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими: 3x и x — подобные слагаемые. 5xy2 и −xy2 — подобные слагаемые. Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy2 + x − xy2 = 4x + 4xy2. Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида. Проверка многочлена на тождественность Решение задачи с многочленами порой растягивается на несколько строк. Каждое следующее преобразование должно быть тождественно равно предыдущему. Если возникают сомнения в правильности своих действий, то можно подставить произвольные значения переменных в исходное и полученное выражение. Если исходное и полученное выражение будут равны одному и тому же значению, то можно быть уверенным, что задача была решена правильно. Допустим, нам нужно вынести общий множитель за скобки в следующем многочлене: 2x + 4x2 В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 2x 2x + 4x2 = 2x(1 + 2x) Представим, что мы не уверены в таком решении. В этом случае нужно взять любое значение переменной x и подставить его сначала в исходное выражение 2x + 4x2, затем в полученное 2x(1 + 2x). Если в обоих случаях результат будет одинаковым, то это будет означать, что задача решена правильно. Возьмём произвольное значение x и подставим его в исходное выражение 2x + 4x2. Пусть x = 2. Тогда получим: 2x + 4x2 = 2 × 2 + 4 × 22 = 4 + 16 = 20 Теперь подставим значение 2 в преобразованное выражение 2x(1 + 2x) 2x(1 + 2x) = 2 × 2 × (1 + 2 × 2) = 4 × 5 = 20 То есть при x = 2 выражения 2x + 4x2 и 2x(1 + 2x) равны одному и тому же значению. Это значит, что задача была решена правильно. Тоже самое будет происходить и при других значениях переменных x. Например, проверим наше решение при x = 1 2x + 4x2 = 2 × 1 + 4 × 12 = 2 + 4 = 6 2x(1 + 2x) = 2 × 1 × (1 + 2 × 1) = 2 × 3 = 6 Заключение Можно сделать вывод, что применение алгебраических правил настолько универсальны, что могут применяться не только в точных науках, но и в повседневной нашей жизни Поэтому развитие науки, такой как алгебра, даёт нам огромную помощь в нашей жизни и продвижении вперёд вместе научно-техническим прогрессом. И хочется выразить огромную благодарность всем учёным, математикам, чей вклад был внесён в развитие этой науки. В этой работе я показал что такое многочлен, и объяснил как выполняются сложения, вычитание, умножение многочленов, способы разложение многочлена на множители. В этом проекте я подчеркнул значимость ШКОЛЫ. Продолжил развитие навыков самостоятельной, исследовательской деятельности. В этой работе я показал, как делить многочлен столбиком. Список литературы 1. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. И доп. – М. : Мнемозина, 2010. – 271 с. : ил. 2 . Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – 12-е изд., испр. И доп. – М. : Мнемозина, 2009. – 271 с. : ил. 3. М.Я. Выгодский Справочник по элементарной математике: - М., 1972., 416 стр. с илл. 4. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о делимости многочленов. 5. sbiryukova.narod.ru: статья о делимости многочленов. 4. www.ref.by/refs: статья о теореме Безу. 6. ega-math.narod.ru: статья о вычислениях многочленов. 7. http://math-oqe.sdamqia.ru/ |