лабораторнаю. Контрольная работа 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения тема обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Контрольная работа № 9 Обыкновенные дифференциальные уравнения ТЕМА 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. - СПб.: Иван Федоров, 2003. - 287 с. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. - 8-е изд., стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 486 с. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. - 7-е изд., доп. - СПб.: Лань, 2002. - 431 с. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с. Решение типового варианта контрольной работы. Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений. а)  .Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:  , разнесем слагаемые:  ; выражая  из полученного уравнения убедимся в том, что и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные.  .Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным:  .Получим  ,   .Таким образом, мы убедились в том, что  - общий интеграл заданного уравнения.Ответ: .б)  .Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на x.  - Убедимся в том, что производная в представленном уравнении зависит только от отношения  , то есть и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.Введем новую переменную  . ; ; ; проинтегрируем выражение ; ; ; ; - общее решение уравнения.Ответ: .в)  .Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида:  . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены:  . ; ; ; ; ; ; ; ; ; - общее решение уравнения.Ответ: .Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям  .Решение.  - неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения  и частного решения неоднородного уравнения  , которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания . Составим характеристическое уравнение:  .Следовательно, общее решение однородного уравнения:  . будем искать в виде  . - частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А.  . . Значит  . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения  . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий: ;   ; ;   Ответ:  .Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений   .Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:  и заменим  воспользовавшись для этого вторым уравнением системы: . Окончательно  . - однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: .Следовательно, решение:  . Из первого уравнения  , поэтому  ; .Ответ: ; . Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку  , для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).Решение. Пусть  искомое уравнение кривой. Проведем касательную MNв произвольной точке M(x;y) кривой до пересечения с осью Оу в точкеN. Согласно условию, должно выполняться равенство , но  , а  найдем из уравнения  , полагая X=0, то есть .Итак, приходим к однородному уравнению  . Полагая y=tx (y’=t’x+t), получим  или  , откуда  – данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу.Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим  ; из двух значений С=0 и С=2 нас устраивает лишь второе, так как при С=0 парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение  , или  .Ответ: .Задание 5. а) Найти общее решение дифференциального уравнения  .Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования:  .Ответ.  .б) Найти общее решение дифференциального уравнения  .Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной  , то замена   позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными  .  ; . Учтя, что  – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить:  .Ответ. .в) Найти общее решение дифференциального уравнения  .Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной  , будем получать его решение с помощью введения новой переменной  , откуда  , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид:  . Решение  является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем:  . Оставшееся уравнение  является уравнением в разделяющихся переменных:  . Интегрируя последнее равенство, получим  . Выразим теперь функцию  :  . Делая вновь обратную замену , получим:  . В данном уравнении можно разделить переменные:  . Интегрируя последнее выражение, получим  . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения. |