Курсовая. для курсача1. Курсовая работа. Методика обучения учащихся доказательству теорем студентка 141 гр
 Скачать 179.5 Kb.
|
|
| Название суждения | Обозначение | Запись суждения на языке формальной логики | Запись суждения на языке логики предикатов |
| Общеутверди-тельное | A | Все S суть P | Каков бы ни был объект x, если он обладает свойством S , то обладает также свойством P |
| Частноутвер-дительное | I | Некоторые S суть P | Существует такой объект x, обладающий свойством S, который также обладает и свойством P. |
| Общеотрица-тельное | E | Никакое S не суть P (Все S суть не P) | Каков бы ни был объект x, если он обладает свойством S , то он не обладает свойством P |
| Частноотри-цательное | O | Некоторые S не суть P | Существует такой объект x, который обладает свойством S и не обладает свойством P. |
Приведем примеры категорических суждений. Общеутвердительными являются следующие суждения: «Все прямоугольники являются параллелограммами», «Все поля есть кольца». К частноутвердительным суждениям относятся: «Некоторые функции – периодические», «Некоторые простые числа четны». Общеотрицательные суждения: «Никакой эллипс не есть алгебраическая линия первого порядка», «Никакой треугольник не является окружностью». Частноотрицательные суждения: «Некоторые функции – непериодические», «Некоторые треугольники – неравнобедренные».
Наиболее часто в математике встречаются теоремы, имеющие вид общеутвердительного суждения. В математике вместо термина «суждение» часто используется термин «утверждение». Рассмотрим строение таких теорем.
Теорема вида (1) состоит из трех частей:
Разъяснительная часть , в которой описывается множество M объектов, о которых идёт речь в теореме.
Условие теоремы – предикат , заданный на множестве M.
Заключение теоремы – предикат , заданный на том же множестве M.
Предикат называют необходимым условием для предиката , а предикат – достаточным условием для .
Пример: «Пусть дана функция, заданная на отрезке [а, b] (разъяснительная часть). Тогда, если она непрерывна на этом отрезке (условие теоремы), то она принимает на нем свое наибольшее и наименьшее значение (заключение теоремы)».
При записи теорем разъяснительная часть часто опускается. В математике для словесной формулировки теоремы используются две основные формы записи суждений:
1. Категорическая.
Примеры: «Вертикальные углы равны», «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме».
2. Условная(импликативная).
Пример: «Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный», «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».
Теорему вида называют прямой теоремой. С ней связаны теоремы другого вида. Рассмотрим их. Если в теореме вида (1) поменять местами условие и заключение, то получим утверждение (2), которое называется обратным утверждением. Если оно является истинным, то его называют обратной теоремой.
Пример:
Дана теорема: «Сумма смежных углов равна 180?». Теорема сформулирована в категоричной форме. Сформулируем теорему в условной форме: «Если углы смежные, то их сумма равна 180?». Получили прямую теорему. Сформулируем обратное утверждение: «Если сумма углов равна 180?, то углы – смежные». Данное утверждение является ложным, поэтому его нельзя считать теоремой.
Пример. Рассмотрим свойство прямоугольника: «Диагонали прямоугольника равны». Данное утверждение представлено в категорической форме. Сформулируем утверждение в условной форме: «Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны». Обратное утверждение «Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограм – прямоугольник» также является верным.
Если имеют место и прямая, и обратная теорема, то истинным является утверждение . Теоремы такого вида называют необходимыми и достаточными условиям. Они распространены в математике. В этом случае считают, что предикат – необходимое и достаточное условие для предиката , а предикат – необходимое и достаточное условие для предиката .
Пример: Дана теорема: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Теорема сформулирована в категоричной форме. Сформулируем прямую теорему в условной форме: «Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Сформулируем обратное утверждение: «Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то такой треугольник прямоугольный». Получили теорему, обратную теореме Пифагора.
Если в теореме (1) заменить условие и заключение их отрицаниями, то получим утверждение (3), которое называется противоположным утверждением. Если оно истинно, то его называют противоположной теоремой. Если в утверждении (3) поменять местами условие и заключение, то получим утверждение (4), которое называется обратное противоположному или противоположное обратному. Если оно истинно, то его называют теоремой, обратной противоположной или теоремой, противоположной обратной.
Между утверждениями (1), (2), (3),(4) существует связь, которую символически можно изобразить так (рис. 1):
Таким образом, можно выделить четыре вида теорем:
– прямая теорема.
– обратная теорема.
– противоположная теорема.
– теорема, обратная противоположной (теорема, противоположная обратной).
Теоремы 1–4 иногда удобнее записывать на языке алгебры высказываний:
1. – прямая теорема.
2. – обратная теорема.
3. – противоположная теорема.
4. – теорема, обратная противоположной (теорема, противоположная обратной).
Рассмотрим пример: дана теорема «Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам». Сформулировать теорему в условной форме (прямая теорема). Сформулировать обратное, противоположное, обратное противоположному утверждения, установить какие из них истинны, т.е. являются теоремами.
Решение:
1. Прямая теорема: «Если четырехугольник – параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, делятся пополам».
2. Обратное утверждение: «Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм». Утверждение истинно, т.е. является теоремой.
3. Противоположное утверждение: «Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам». Утверждение истинно, т.е. является теоремой.
4. Обратное противоположному: « Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такой четырехугольник не параллелограмм. Утверждение истинно, т.е. является теоремой.
Таким образом, [14, с. 98] математическое доказательство проводится по четко определенным правилам. Исходя из ранее известных фактов и теорем, в соответствии с законами логики устанавливается справедливость новой теоремы.
1.2. Методы доказательства математических теорем
Доказательство общеутвердительных и общеотрицательных суждений (утверждений) должно состоять в построении цепочек логических умозаключений.
Умозаключение – это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений, называемых посылками, логически выводится новое суждение, называемое заключением или следствием.
При построении умозаключений используются силлогизмы. Термин «силлогизм» происходит от греческого слова «силлогисмос», что означает выведение следствия. Силлогизмы – это приемы логических рассуждений, которые были охарактеризованы Аристотелем. Каждый силлогизм представляет схему логического вывода, состоящую из трех суждений. В качестве суждений могут использоваться категорические суждения видов А, Е, I, O и другие суждения. В силлогизмах первые два суждения – посылки (первое – большая посылка, второе – малая посылка), третье – заключение (следствие).
Приведем структуру силлогизма, который часто используется при доказательстве теорем:
Все S есть P – большая посылка (БП);
K есть S – малая посылка (МП);
___________________________
K есть P – заключение (В)
Пример:
Все ромбы есть параллелограммы
Квадрат есть ромб
___________________________
Квадрат есть параллелограмм [дал, с. 18]
Доказательство можно представить как цепочку последовательно связанных силлогизмов. При доказательстве частноутвердительных и частноотрицательных суждений не нужно строить цепочки логических умозаключений. Для доказательства нужно приводить или строить примеры.
Проведение любого доказательства опирается на три блока [дал. 19] знаний и умений: содержательный, структурный, логический.
В содержательный блок входят элементы, связанные с ранее изученными математическими понятиями и фактами, которые использованы или в формулировке утверждения, или в качестве аргументов при проведении рассуждений. Эти элементы существенно зависят от логической структуры курса, от его аксиоматики, от методических особенностей изложения и т. д., а поэтому для одной и той же теоремы в различных учебниках содержательный блок может оказаться различным.
В структурный блок входят знания и умения, связанные со структурой утверждения и возможностями ее преобразования. В этот блок входят умения выделять условие и заключение теоремы, преобразовывать логическую форму теоремы с целью получения более простых подтеорем и т. д.
Логический блок содержит знания и умения, связанные с правилами логических рассуждений.
Различают общие и частные методы доказательства теорем.
Общие методы доказательства:
синтетический
аналитический (восходящий анализ, нисходящий анализ)
аналитико-синтетический
метод от противного
метод исключения
метод перебора
метод полной индукции
метод математической индукции
метод бесконечных исключений
метод конструирования
Частные методы доказательства
векторный
координатный
координатно-векторный
метод геометрических преобразований
алгебраический метод (сводится к решению уравнений, систем уравнений, неравенств, систем неравенств) и другие.
Доказательство математического утверждения называется синтетическим, если оно осуществляется по следующей логической схеме: P1(x) P2(x) P3(x) …Pn-1(x) Pn(x) = P(x), где Т – определенная совокупность предложений той математической теории, в рамках которой доказывается данное утверждение. Таким образом, при синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению.
В качестве примера рассмотрим доказательство теоремы из курса 8 класса: «Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды» [геом].
Дано: АВ, CD — хорды, Е — точка пересечения хорд.
Доказать: AE.BE = CE.DE (рис. 2).
Доказательство [дал, с. 18 - 19]:
Силлогизм 1
БП: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
МП: Вписанные углы ( и ) опираются на одну и ту же дугу BMD.
В: = .
Силлогизм 2
БП: Вертикальные углы равны.
МП: 3 и 4 — вертикальные.
В: 3 = 4.
Силлогизм 3
БП: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
МП: Два угла ( 1 и 3) треугольника AED соответственно равны двум углам ( 2 и 4) треугольника СЕВ.
В: AED СЕВ.
Силлогизм 4
БП: В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.
МП: Стороны АЕ, DE и СЕ, BE — сходственные стороны подобных треугольников AED и СЕВ.
В: АЕ:РЕ = DE:BE.
Силлогизм 5
БП: Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.
МП: АЕ и BE — крайние члены, a DE и СЕ — средние члены одной и той же пропорции.
В: AE.BE = CE.DE.
При аналитическом доказательстве теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).
Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при котором, отталкиваясь от заключения P(x), подбирают для него достаточное условие – такое суждение P1(x), что P1(x) P(x),затем подбирают достаточное условие P2(x) для P1(x), такое чтобы P2(x) P1(x) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие Pn(x) для Pn-1(x), что Pn(x) Pn-1(x) и Pn(x) = S(x).
P(x) P1(x) P2(x) ….. Pn-1(x) Pn(x) = S(x).
Пример:
Доказать теорему «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм» методом восходящего анализа. (Рис. 3).
Дано: АВСD – четырехугольник.
Доказать: ABCD – параллелограмм.
Решение:
Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, достаточно доказать, что BC¦AD и AB¦DC. (A1).
Для доказательства параллельности сторон четырехугольника достаточно доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей. (А2).
Такие накрест лежащие углы можно получить, если провести диагональ АС: АСВ и САD; ВАС и ACD.(А3).
Для доказательства равенств АСВ = САD и ВАС = ACD достаточно доказать равенство треугольников АВС и CDA. (A4).
Для доказательства равенства треугольников АВС и CDA достаточно установить справедливость равенств: AD=BC, AB=DC, AC=AC, а эти равенства выполняются. (А5).
Теорема доказана.
Схематично доказательство можно представить так:
Схема 1.
Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения P(x) рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий:
P(x) P1(x) P2(x) …Pn(x), где Pn(x) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из P(x) временно допускают, что оно истинно. При нисходящем анализе, так же как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные условия, а необходимые.
Выведение необходимых условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное истинное утверждение. Если окажется возможным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное утверждение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство.
Пример: Выполнить нисходящий анализ для доказательства теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм.
Дано: ABCD – четырехугольник,
AB = CD, AD =BC.
Доказать: ABCD – параллелограмм.
Нисходящий анализ:
Пусть ABCD – параллелограмм. (P(x))
Тогда BC || AD и AB || CD. (P1(x))
Проведем AC. Тогда ACB = CAD, BAC = ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). (P2(x))
ABC = CDA (по стороне и двум прилежащим к ней углам). (P3(x))
AB = CD, AD =BC, AC = AC. (следует из равенства треугольников) (P4(x) = S(x)).
Цель нисходящего анализа – поиск доказательства. Само доказательство проводится в обратном порядке и в итоге получится синтетическое доказательство.
Среди всех методов доказательства теорем в школьном курсе математики основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью доказательства любым другим методом.
Аналитико-синтетический метод доказательства заключается в том, что в процессе доказательства происходит последовательное преобразование то условия теоремы, то заключения.
Метод от противного заключается в том, что доказательство теоремы начинают с предположения, что из S(x) не следует P(x). Тогда имеет место истинность утверждения S(x) и ложность утверждения P(x). Из утверждения выводят следствия до тех пор, пока не получат следствие, находящееся в противоречии либо с условием теоремы, либо с ранее изученным теоретическим фактом. Данный метод основан на использовании закона контрапозиции:
Пример: Докажем теорему «Разносторонний треугольник нельзя разбить
на два равных треугольника» методом от противного.
Доказательство:
1) Пусть АВМ= ВМС (рис. 5), АВ ВС АС.
2) В этих равных треугольниках ВМ — общая сторона и по теореме о том, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, заключаем, что ВАМ = ВСМ.
3) По теореме о том, что если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный, заключаем, что АВ = ВС.
4) Мы получили, что АВ = ВС, но по условию теоремы АВ ВС. Получили противоречие.
5) Значит, наше предположение неверно, а верно то, что АВМ ВМС.
К частным методам доказательства относят метод геометрических преобразований, векторный, координатный, алгебраический методы и т.д. Рассмотрим примеры некоторых из них.
Векторный метод:
Пример: Доказать, что отрезок, соединяющий середины
противоположных ребер правильного тетраэдра, есть общий перпендикуляр этих ребер.
Решение:
Пусть ребро тетраэдра равно а. Введем векторы , и (рис. 6).
Пользуясь определением разности векторов, запишем:
Найдем скалярное произведение векторов:
Следовательно, =0.
А это условие перпендикулярности векторов, т. е. .
Аналогично доказывается, что .[дал. с.44]
Метод доказательства, основанный на перемещении плоскости.
Пример: Доказать, что если пятиугольник имеет две оси симметрии, то он правильный.
Доказательство:
Пусть А1А2A3A4А5 - пятиугольник имеет две оси симметрии (рис. 7).
Каждая из них проходит через вершину и середину противоположной стороны. Если одна ось проходит через вершину А1 и середину стороны А3А4, то имеем А1А2=А1А5, A2A3 = А5A4, А2 = А5, А3 =А4.
Если другая ось проходит через вершину А2 и середину стороны А4А5, то имеем А1А2=А2А3, А1А5=А3А4, А1=А3, А5=А4.
Сопоставляя полученные соотношения, получаем, что пятиугольник А1А2A3A4А5 правильный.
В данной главе мы рассмотрели теоретические основы методики обучения учащихся доказательству теорем, выяснили виды теорем, их формулировки, а также разобрали на примерах основные методы доказательства теорем. Каждый из рассмотренных методов обладает как достоинствами, так и недостатками. Поэтому ни один из них не может быть рекомендован в качестве универсального и единственного. [дан. 79] Четкое знание сущности методов явится надежным орудием в руках учащихся для самостоятельного отыскания решений задач и во многих случаях поможет учащимся найти решение задач более простое, короткое изящное.