Курсовая. для курсача1. Курсовая работа. Методика обучения учащихся доказательству теорем студентка 141 гр
 Скачать 179.5 Kb.
|
|
Составим структурную схему доказательства теоремы последовательно: Дано: АВС - равнобедренный треугольник, ВК – медиана, проведенная к основанию (рис. 9). Доказать: 1) ВК – биссектриса, 2) ВК – высота. Доказательство: Приведем схему рассуждений для доказательства 1): Схема 3. Отдельно составим схему для доказательства второй части теоремы: Схема 4. Схема доказательства всей теоремы может быть представлена и так: Схема 5. Чтобы теорема была усвоена, необходима работа с ней и после доказательства. Этому способствуют задания следующих видов: Сформулируйте теорему. Выделите условие и заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема? Сформулируйте теорему со словами: «Если …, то …». (Если теорема сформулирована в категорической форме) Сформулируйте предложение, обратное (противоположное и т.д.) сформулированному. Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов. Составьте план доказательства. Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве. Докажите теорему другим способом. Решите задачи на применение теоремы. Разумеется, что данная работа проводится не на одном - двух уроках, когда изучается та или иная теорема, а по мере возможности проводится и при изучении других вопросов. Проследим все этапы работы с данной теоремой: I этап. Один из приемов мотивации изучения данной теоремы – знание теоремы для решения задач. Можно использовать другой прием, показав конструкцию строительной фермы (рис. 10), где АС=СВ, AD=DВ, DM=MB; простейшую конструкцию стропил (рис. 11) АВ=ВС и АК=КС, т.е. наблюдение жизненных фактов. С целью мотивации изучения этой теоремы можно использовать решение практической задачи. II этап. Чтобы учащиеся «открыли» сами содержание теоремы и сформировали ее, проводится такая практическая работа. Перед уроком дается на дом задание: начертить три равнобедренных треугольника (остроугольный разносторонний, прямоугольный и тупоугольный) и в этих треугольниках построить медианы и высоты к боковым сторонам ( с помощью масштабной линейки и угольника), биссектрисы углов при основании (с помощью транспортира). А на уроке предлагается по вариантам выполнить другую практическую работу: начертить в тетрадях равнобедренный треугольник, 1 вариант 2 вариант 3 вариант Остроугольный Прямоугольный Тупоугольный построить медиану, высоту к основанию и биссектрису угла при вершине, противолежащей основанию. Трое учащихся (по одному от каждого варианта) выполняют эту работу у доски. Учитель тем временем может построить разносторонний треугольник, провести в нем высоты, медианы, биссектрисы. После этого, обсуждаются полученные результаты, у учеников высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Ставится вопросы: обладает ли этим свойством медиана, проведенная из вершин двух других углов равнобедренного треугольника к противолежащей стороне? Обладают ли этим свойством медианы, проведенные в разностороннем треугольнике? III этап. Мотивируется необходимость доказательства теоремы. Перед учащимися ставится вопрос во всех ли равнобедренных треугольниках медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой? - Неизвестно. В тех случаях, которые рассматривались, да. А в других – неизвестно. Как быть? Делается вывод о необходимости доказательства теоремы. IV этап. Проводится работа над структурой теоремы: выделяется условие, заключение, уточняется, что теорема сформулирована для равнобедренного треугольника. V этап. Поиск доказательства теоремы осуществляется движением от заключения к условию, т.е. аналитически. Работа по закреплению теоремы VI этап. Усвоение формулировки теоремы. Верно ли сформулированная теорема: «Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой»? Почему? Вставьте пропущенные слова: «В ... треугольнике медиана, проведенная …, является … и …». Сформулируйте теорему со словами «Если …, то …». VII этап. Усвоение доказательства теоремы. Какие понятия используются в формулировке теоремы? Назовите теоремы, которые использовались при доказательстве данной теоремы. Какова цель их использования? Докажите теорему по рисунку 13. VIII этап. Решение задач на применение теоремы. 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол ВАС равен 80о. Пусть М – середина ВС. Чему равен угол ВАМ? [шар с. 57] 2. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. На этих сторонах взяты соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Докажите, что МА = СК. Е. Ф. Данилова [7, с. 116] приводит пример решения сравнительно сложной задачи методом восходящего анализа. Разберем данную задачу поэтапно. Доказать что, биссектрисы углов прямоугольника своим пересечением образуют квадрат. Первый этап решения задачи – точно и четко понять сущность задачи. С этой целью нужно попросить учащихся заменять понятия прямоугольник, биссектриса, квадрат, встречающиеся в тексте, их определениями. Далее нужно потребовать от учащихся заменить сокращенную формулировку задачи на доказательство ее полной формулировкой, что необходимо для осознания задачи и четкого выделения условия и заключения. Такой формулировкой для данной задачи будет формулировка: «Если в прямоугольнике провести биссектрисы внутренних углов и продолжить их до взаимного пересечения, то они образуют квадрат». Выделим условие и заключение: Условие. В четырехугольнике ABCD (рис. 14) Заключение. RK¦HL, RH¦OL; ; RK=KL. Теперь следует подумать, не охватывает ли задача частные или особые случаи. Тогда для существенно различных случаев сделать чертежи. Для данной задачи можно сделать четыре чертежа: точки К и Н – пересечения биссектрис лежат 1) вне прямоугольника, 2) на стороне прямоугольника, 3) внутри прямоугольника и 4) совпадают. Рассмотрим решение для первого случая. Перейдем ко второму этапу решения – составлению плана решения. Приступая к решению каждой части задачи, прежде всего выясняем не является ли она непосредственно решаемой, например, не является ли параллельность прямых RK и HL следствием какой-либо части условия. Если этого обнаружить не удалось, то следует остановиться на выборе метода решения задачи. Воспользуемся методом восходящего анализа. Третий этап решения состоит в выполнении намеченного плана и обосновании выводов. На этом этапе следует требовать от учащихся обоснования каждого высказанного утверждения. Решение первой части задачи: RK¦HL, RH¦OL? Рассуждение ведется следующим образом. Вопрос. Что требуется доказать? Ответ. Требуется доказать, что RK¦HL. Вопрос. Что для этого достаточно доказать? (Подробнее: при помощи каких теорем доказывается параллельность прямых и то, какая из них является наиболее подходящей для данного случая?) Ответ. Достаточно доказать, что соответственные углы 9 и 1 равны. Решение первой задачи сведено к новой, для отыскания решения которой ставится тот же вопрос. Вопрос. Что для этого достаточно доказать? Ответ. Так как по условию, то достаточно доказать, что Вопрос. Что для этого достаточно доказать? Ответ. Так как накрест лежащие, то достаточно доказать, что , а это верно по условию. Аналогичным путем можно доказать, что RH¦OL. Решение второй части задачи: ? Вопрос. Что для этого достаточно доказать? Ответ. Что угол К является углом треугольника АКD, поэтому достаточно доказать, что сумма углов 1 и 8 при основании его равна 90о, а это верно, так как по условию. Решение третьей части задачи: RK=KL? Вопрос. Что требуется доказать? Ответ. Равенство отрезков RK и KL. Вопрос. Что для этого достаточно доказать? Ответ. Непосредственно доказать равенство этих отрезков не удается, но каждый из них можно представить в виде разности двух отрезков, поэтому достаточно доказать, что АК – АR=DK – DL. Вопрос. Что для этого достаточно доказать? Ответ. Так как уменьшаемые АК и DK равны (лежат в треугольнике AKD против равных углов 1 и 8), то достаточно доказать, что АR= DL. Это следует из того, что отрезки входят в треугольники ABR и CDL, то достаточно доказать равенство этих треугольников. Вопрос. Что для этого достаточно доказать? Ответ. Эти треугольники имеют по два равных угла, поэтому, применяя второй признак равенства треугольников, достаточно доказать, что АВ=CD, а так как по условию задачи. При исследовании выясняется, какие частные случаи необходимо рассмотреть, как обобщить полученное частное решение задачи с числовыми данными. Следующим этапом решения задачи является проверка. Она должна состоять в следующем. Тщательно проверяется каждый шаг в решении задачи: его необходимость, правильность и обоснованность. Делается обзор всей работы, для установления ошибок. Итак, мы привели примеры доказательства некоторых теорем, показали основные приемы работы с данными теоремами. Заключение В данной курсовой работе были освещены вопросы, касающиеся основных понятий темы, формулировок теорем, основные методы доказательства теорем. Мы показали, что для усвоения смысла доказательства теоремы лучшим путем является применение анализа. При этом лучшие результаты достигаются, если учитель привлекает учеников к отысканию путей доказательства теоремы [2]. Выяснили , что с учащимися надо проводить работу, связанную с необходимостью восстановления правильного смысла того или иного слова, понятия имеющего значение в теореме. Целесообразно показывать учащимся различные формулировки одной и той же теоремы, которые могут им встретиться в школьных учебниках и пособиях[5]. Цель курсовой работы: раскрыть методические особенности обучения учащихся доказательству теорем при изучении курса геометрии в основной школе. Задачи курсовой работы: 1. Раскрыть сущность понятия «теорема». 2. Выявить основные методы доказательства теорем. 3. Показать основные приемы работы с теоремами. 4. Разработать методику работы с некоторыми теоремами из курса геометрии 7-9 классов. Методы исследования: Анализ учебной и учебно-методической литературы. Наблюдение. Обобщение передового опыта обучения математики Успех в обучении учащихся доказательству теорем определяется не применением одного какого-нибудь приема или метода, а системой преподавания в целом. В значительной степени этот успех зависит от того, на каком уровне сформированы у учащихся такие интеллектуальные умения, как понимание предложенной задачи, умение сформулировать проблему, спланировать деятельность, выделить существенное в наблюдаемых явлениях, провести исследование, интерпретировать полученные данные, провести измерения в нестандартных ситуациях и пр. [5, c. 249]. Для многих задач в самой математике разработаны эти последовательности общих положений, которые образуют известные общие правила (или, как говорят, алгоритмы) решения задач определенного вида. [17] Конечно, при решении многих нестандартных задач приходится использовать не одно какое-либо правило или прием, а несколько. Знание этих правил и приемов, методов, владение ими очень помогает при поиске решения нестандартных задач. Для этого, прежде всего надо очень внимательно их изучать, анализировать, устанавливать каждый раз условия и требования, содержащиеся в задаче, выяснять, какие объекты, их характеристики и отношения входят в условия, что означают требования задачи. На такой подробный и тщательный анализ не надо жалеть ни времени, ни сил. Только на основе такого анализа будет эффективен поиск способов решения задач. Литература Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие/ Л.В. Виноградова. – Ростов н/Д.: Феникс, 2005. – 252 с. Гастева С.А., Крельштейн Б.И., Ляпин С.Е., Шидловская М.М. Методика преподавания математики в восьмилетней школе: кн. для учителя / под общей редакцией С.Е. Ляпина. – М.: Просвещение, 1965. – 743 с. Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М. : Просвещение, 2008. - 384 с. Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей / В. А. Гусев, В. Н. Литвиненко, А. Г Мордкович.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Просвещение, 1992.— 352 с. Далингер В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя / В. А. Далингер.— М. : Просвещение, 2006.— 256 с. Далингер В.А. Методика работы над формулировкой, доказательством и закреплением теоремы: кн. для учителя / В.А. Далингер. – Изд-во: ОмИПКРО, 1995. – 198 с. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1961. – 143 с. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В. И. Игошин. — 2-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 448 с. Лященко Е. И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст] / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко [и др.] ; под. ред. Е. И. Лященко. — М. : Просвещение, 1988. — 223 с. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. мат. спец. / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. учеб. для общеобразоват. учреждений Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. Спец. Пед. Вузов и ун-тов/ Г.И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с. Сиверенко Н.В. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»/Урок по теме «Теорема косинусов». Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/104760/ (дата обращения 18.12.12) Частично-поисковый метод. Режим доступа: http://edu2.tsu.ru/html/1939/text/f2_2_s8.html (дата обращения 18.12.12) Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7—9 кл. — М.: Дрофа, 1997. — 352 с. Токарева Г. Р. Урок математики «Формулы сокращенного умножения». Режим доступа: http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/urok-matematiki-formuly-sokrashchennogo-umnozheniya (дата обращения 22.12.12) Повторим математику. Учимся доказывать теорему. Режим доступа: http://viripit.ru/Pag1_3.htm (дата обращения 22.12.12) |