Линейная алгебра (лекции, 1 сем,1 курс). Лекция 1
 Скачать 2 Mb.
|
|
В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций. Лекция 1. Пространство геометрических векторов. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их вычисление в координатной форме и геометрический смысл 1. Векторы. Координаты векторов и линейные операции над векторами Множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве обозначают буквой а множество всех векторов на плоскости – буквой Ниже все понятия и утверждения формулируютя для пространства Ясно, что они очевидном образом переносятся и на пространство Перейдем к изложению основных понятий. Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой причем два вектора считаются р̀авными, если один из них получен из другого параллельным переносом(см. Р1). Длина направленного отрезка называется длиной вектора . Векторы и лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными; если при этом их направления совпадают, то пишут а если они имеют противоположные направления, то пишут Таким образом, Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (обозначение: ). Считают, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору и имеет произвольное направление. Заметим, что векторы обозначаются также малыми латинскими буквами: Напомним, что осью (в пространстве или на плоскости) называется прямая с выбранной на ней (положительным) направлением и масштабом (единицей измерения). Обозначение: При этом каждой точке оси соответствует единственное действительное число, и обратно: каждому действительному числу числу соответствует единственная точка на числовой оси. Единичный вектор лежащий на оси и направленный так же, как ось, называется ортом оси Пусть произвольная точка в пространстве ( или на плоскости ). Проведем через плоскость Тогда точка называется проекцией точки на ось (обозначение: ). Определение 2. Если вектор, то вектор где называется геометрической проекцией вектора на ось (см.Р2) а число называется просто проекцией вектора на ось и обозначается (обратите внимание на различие в написаниях и ). В пространстве рассмотрим декартовую систему координат, определяемую осями с ортами соответственно. Определение 3. Числа называются координатами вектора в декартовой системе координат. Обозначение: Если начало вектора а конец вектора то = Орты осей декартовой системы координат имеют следующие координаты: Определим теперь линейные операции над геометрическими векторами. Выпустим векторы и из общего начала и построим параллелограмм со сторонами и . Пусть диагональ этого параллелограмма. 1. Суммой двух векторов и называется вектор совпадающий с диагональю параллелограмма , построенного указанным образом на векторах и (см.Р3). 2. Разностью векторов и называется такой вектор что Обозначение: Если векторы и имеют общее начало, то вектор будет совпадать с вектором, выпущенным из конца вектора в конец вектора (см.Р4). 3. Произведением вектора на число называется вектор имеющий длину и направленный так же, как и если и противоположно вектору если Обозначение: Если же то Введенные операции над векторами (их называют линейными операциями) обладают свойствами аналогичных операций для чисел (свойства асоциативности, коммутативности, дистрибутивности и т.д.), которые используются при вычислениях. Например, Из определения коллинеарных векторов вытекает, что векторы и коллинеарны тогда и толко тогда, когда существует число такое, что Теперь ясно, что по векторам и можно построить любую их линейную комбинацию Используя геометрические соображения, легко доказать следующее утверждение. Теорема 1. Любой вектор может быть разложен в линейную комбинацию ортов причем это разложение единственно, а числа являются координатами вектора в выбранной декартовой системе координат Замечание 1. Ниже будет дано определение базиса в и будет показано что орты образуют базис в Кроме того, будет показано, что в существует бесконечное множество базисов. Базис обычно называют стандартным базисом в . Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространства и упорядочными тройками чисел Именно: каждому вектору соответствует единственная упорядочная тройка чисел где координаты вектора в базисе и наоборот: каждой упорядочной тройке чисел соответствует единственный вектор Поэтому часто оттождествляют векторы и их координаты и пишут При этом вместо того, чтобы совершать геометрически линейные операции над векторами совершают их аналитически, в координатной форме. Это оправдывается следующим утверждением. Теорема 2. Пусть векторы и заданы своими координатами: Тогда их линейная комбинация в координатной форме имеет вид Доказательство. Имеем поэтому Теорема доказана. Используя теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда, легко доказать следующее утверждение. Теорема 3. Если вектор задан своими координатами в базисе , то его длина вычисляется по формуле Определение 4. Углом между векторами и называется угол, на который нужно повернуть первый вектор до совпадения со вторым вектором против часовой стрелки. Обозначение: Проекция вектора на вектор определяется так же, как и проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле Числа называются направляющими косинусами вектора Так как и то поэтому имеет место следующее соотношение между направляющими косинусами вектора : Значит, вектор = является ортом вектора Из вытекает следующее утверждение. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: 2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Дадим определения этих произведений в краткой форме. а) Скалярное произведение векторов и б) Векторное произведение векторов и - есть векторудовлетворяющий требованиям: 1) 2) 3)тройка правая, т.е. кратчайший поворот от вектора к вектору имеющих общее начало, виден из конца вектора (с тем же началом) совершающимся против часовой стрелки. в) Смешанное произведение векторов Введенные операции умножения над векторами обладают свойствами ассоциативности и дистрибутивности. Свойство коммутативности верно лишь для скалярного произведения. При перемене мест сомножителей в векторном произведении изменяется знак (антикоммутативность): То же может произойти и в смешанном произведении. Например, Учитывая свойство антикоммутативности векторного произведения, можно обращаться с введенными произведениями векторов как с обычным произведением чисел. Например, Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю (здесь и далее вместо пишем просто 0). Имеют место следующие утверждения, вытекающие из а), б) и с). Скалярное произведение векторов и равно нулю когда векторы и ортогональны друг другу. Векторное произведение равно нулю когда векторы и коллинеарны. Смешанное произведение равно нулю когда векторы, и компланарны (т.е. все они либо лежат в одной плоскости, либо находятся в параллельных плоскостях). Геометрический смысл: а) модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ; б) модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и . Прежде чем дать формулы для вычисления произведений векторов в координатной форме, введем понятие определителей второго и третьего порядков: Теорема 4. Если векторы и заданы своими координатами в базисе то имеют место формулы: а) (скалярное произведение;) б) (векторное произведение); в) (смешанное произведение). Доказательство проведем лишь для скалярного произведения. Имеем Учитывая, что векторы попарно ортогональны, получаем, что в этой сумме только слагаемые с множителями не равны нулю; все другие слагаемые равны нулю. Значит, имеет место формула Теорема доказана. Лекция 2. Плоскость и прямая в пространстве Сначала заметим, что множество всех точек удовлетворяющих уравнению (если его можно разрешить относительно хотя бы одной из переменных ) является уравнением некоторой поверхности. Это означает, что любая точка удовлетворяет уравнению и, напротив, если то она не удовлетворяет этому уравнению. 1. Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках Пусть в пространстве задана плоскость и пусть фиксированная точка, а произвольная (текущая) точка этой плоскости. Посмотрим, какому уравнению будет подчинена произвольная точка плоскости Пусть вектор нормали к плоскости Так как то скалярное произведение Мы получили уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку с вектором нормали (1) Раскроем в (1) скобки и обозначим Получим общее уравнение плоскости: Имеет место следующее очевидное утверждение. Теорема 1. Любое линейное уравнение (2) задаёт в пространстве плоскость с вектором нормали И обратно: любая плоскость в описывается линейным уравнением (2). Если числа не равны нулю, то уравнение называют “уравнением плоскости в отрезках” (впредь кавычки будем опускать). При этом являются величинами (с учётом знака) отрезков, отсекаемых плоскостью от осей соответст-венно. Эта плоскость проходит через точки факт, удобный при изображении этой плоскости в пространстве. Из общего уравнения (2) плоскости легко получить ее уравнение в отрезках: (если, конечно, числа, записанные в знаменателях, существуют). 2. Особые случаи расположения плоскости в пространстве Следующие утверждения проверяются непосредственно. Если в общем уравнении (2) плоскости отсутствует переменная то эта плоскость параллельна оси Аналогичное утверждение справедливо относительно и других переменных Если в общем уравнении (2) отсутствует свободный член то соответствующая плоскость проходит через начало координат Простейшие уравнения являются уравнениями координатных плоскостей соответственно. 3. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями Пусть даны две плоскости Эти плоскости будут параллельны или перпендикулярны друг другу, если будут параллельны (соответственно перпендикулярны) их нормальные векторы Вспоминая условия коллинеарности и перпендикулярности векторов, получаем следующие утверждения. Замечание 1. Если то плоскости и совпадают. Углом между двумя плоскостями называется двугранный угол между ними. Таких углов четыре, вертикальные из них попарно равны. Ясно, что один из них равен углу между нормалями и Используя скалярное произведение между векторами, найдем этот угол: Другой двугранный угол будет равен 4. Решение различных задач на плоскость Используя скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, легко обосновать следующие утверждения. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно плоскости , имеет вид Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно двум плоскостям имеет вид Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки не лежащие на одной прямой, имеет вид Действительно, последнее равенство есть условие компланарности векторов а,значит, их смешанное произведение что и записано с помощью определителя выше. 5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точкидо плоскости Пусть дано общее уравнение плоскости Определение 1. Число где знак берется противоположным знаку свободного члена называется нормирующим множителем плоскости Уравнение называется нормальным уравнением плоскости Нетрудно доказать следующее утверждение. Теорема 2. Если фиксированная точка, то её расстояние до плоскости вычисляется по формуле т.е. равно по модулю результату подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости Пример 1. Найти расстояние от точки до плоскости Решение. Нормирующим множителем для данной плоскости будет Он противоположен по знаку свободному члену Значит, нормальное уравнение плоскости будет таким: а расстояние от точки до плоскости будет равным Замечание 2. Величина называется отклонением точки от плоскости Можно показать, что если то точкаи начало координат находятся по одну сторону от плоскости если же то точкии находятся по разные стороны от плоскости если же тоЗаметим также, что часто нормальное уравнение плоскости записывают в виде где Тогда направляющие косинусы нормали к плоскости. 6. Прямая в пространстве Прямой в пространстве называют линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Значит, прямая в пространстве задается системой уравнений при условии отсутствия пропорциональности между коэффициентами линейных уравнений, входящих в систему (3). Однако наиболее распространенным уравнением прямой являются каноническое уравнение. Выведем его Определение 2. Вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой. Теорема 3. Если фиксированная точка прямой а направляющий вектор этой прямой, то любая точка связана уравнением Уравнение (4) называют каноническим уравнением прямой Доказательство. Вектор коллинеарен вектору = а, значит, их координаты пропорциональны, т.е. имеют место равенства (4). Если же точка не лежит на прямой то векторы и не коллинеарны, поэтому равенства (4) не имеют места. Теорема доказана. Если приравнять равные отношения (4) коэффициенту пропорциональности то получим уравнения задающие прямую параметрически (здесь параметр). Изменяя мы получим все точки прямой (например, при получает точку ). Как получить из системы уравнений (3) канонические уравнения прямой ? Пусть произвольная точка, удовлетворяющая системе (3) (ее можно получить, например, фиксируя произвольным образом координату , а затем решить полученную систему уравнений с двумя неизвестными). Далее, векторы иперпендикулярно соответствующим плоскостям в (3), а, значит, векторное призведение параллельно их общей прямой – линии их пересечения. Отсюда следует, что направляющий вектор прямой . Поскольку то кононическим уравнением прямой будет уравнение Ясно, что углом между двумя прямыми и (точнее, одним из них; обычно берут острый угол) является угол между их направляющими векторами, поэтому где направляющий вектор прямой а направляющий вектор прямой При этом если то угол между прямыми будет острый. Из последней формулы получаем следующие утверждения. Используя полученные сведения о прямой и плоскости, можно без труда решать различные задачи аналитической геометрии. Решим, например, задачу о нахождении точки пересечения прямой (5) и плоскости (2). Подставляя равенства (5) в уравнение (2), получим уравнение решая которое, найдем параметр при котором происходит пересечение прямой и плоскости. Подставляя его в (5), найдем точку пересечения Лекция 3. Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы специального вида. Квадратные матрицы и их определители. Свойства определителей. Обратные матрица и условие ее существования. Ранг матрицы В теории систем линейных уравнений, в дифференциальных уравнениях и др. математичеких объектах большую роль играют матрицы – таблицы чисел, с помощью которых можно не только компактно записать системы уравнений, но и, производя над ними определенные действия, решать сами уравнения. Перейдем к изложению основных понятий и утверждений, связанным с матрицами. 1. Матрицы и действия над ними. Матрицы специального вида Определение 1. Матрицей размера называют таблицу чисел состоящую из строк и столбцов При этом числа1 называются элементами матрицы Матрицу называют квадратной матрицей размерности если число ее строк совпадает с числом столбцов Часто матрицу обозначают так: Желая указать размеры матрицы, будем писать а саму матрицу будем называть матрицей. Действия сложения и вычитания над матрицами одинакового размера определяются равенствами: (т.е. при сложении или вычитании матриц складываются (соответственно вычитаются) их элементы, находящиеся на одинаковых местах). Умножение матрицы на число определяется равенством (т.е. при умножении матрицы на число надо каждый элемент этой матрицыа умножить на это число). Матрицы можно умножать друг на друга только в том случае, когда их размеры согласованы, т.е., когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы: Сначала определяют произведение вектор-строки на вектор-столбец(имеющих одинаковое число компонент): Затем определяют в) произведением матриц с согласованными размерами и называется матрица й элемент которой получен умножением й строки матрицы на й столбец матрицы Например, Часто встречаются матрицы следующего специального вида: 1. Единичная матрица: 2. Диагональная матрица: (здесь и в матрице все элементы вне главной диагонали равны нулю). 3.Треугольная матрица: 4. Матрица трапециевидной формы: При решении линейных систем уравнений будут встречаться матрицы ступенчатого вида. Чтобы описать их, введем понятие опорного элемента строки. Это не равный нулю первый слева элемент строки. Например, в строке элемент (-5) является опорным (здесь и ниже в рамке указан опорный элемент). |