Колоквиум вшэ пи алгебра линейная. Линейная алгебра, Коллоквиум i бобень Вячеслав
 Скачать 440.73 Kb.
|
|
Линейная алгебра, Коллоквиум I Бобень Вячеслав @darkkeks , GitHub Благодарность выражается Левину Александру ( @azerty1234567890 ) и Милько Андрею ( @andrew_milko ) за видеозаписи лекций. 2019 — 2020 “К коллоку можете даже не готовиться”. — Роман Сергеевич Авдеев Содержание 1 Определения и формулировки 4 1.1 Сумма двух матриц, произведение матрицы на скаляр 4 1.2 Транспонированная матрица 4 1.3 Произведение двух матриц 4 1.4 Диагональная матрица, умножение на диагональную матрицу слева и справа 4 1.5 Единичная матрица, её свойства 4 1.6 След квадратной матрицы и его поведение при сложении матриц, умножении матрицы на скаляр и транспонировании 5 1.7 След произведения двух матриц 5 1.8 Совместные и несовместные системы линейных уравнений 5 1.9 Эквивалентные системы линейных уравнений 5 1.10 Расширенная матрица системы линейных уравнений 5 1.11 Элементарные преобразования строк матрицы 5 1.12 Ступенчатый вид матрицы 5 1.13 Улучшенный ступенчатый вид матрицы 6 1.14 Теорема о виде, к которому можно привести матрицу при помощи элементарных преобразований строк 6 1.15 Общее решение совместной системы линейных уравнений 6 1.16 Сколько может быть решений у системы линейных уравнений с действительными коэффициентами? 6 1.17 Однородная система линейных уравнений. Что можно сказать про её множество решений? 6 1.18 Свойство однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше числа уравнений 7 1.19 Связь между множеством решений совместной системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей ей однородной системы 7 1.20 Обратная матрица 7 1.21 Перестановки множества {1, 2, . . . , 𝑛} 7 1.22 Инверсия в перестановке. Знак перестановки. Чётные и нечётные перестановки 7 1.23 Произведение двух перестановок 7 1.24 Тождественная перестановка и её свойства. Обратная перестановка и её свойства 7 1.25 Теорема о знаке произведения двух перестановок 8 1.26 Транспозиция. Знак транспозиции 8 1.27 Общая формула для определителя квадратной матрицы произвольного порядка 8 1.28 Определители 2-го и 3-го порядка 8 1.29 Поведение определителя при разложении строки (столбца) в сумму двух 8 1.30 Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов) 8 1.31 Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на скаляр 8 1.32 Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы 8 1.33 Определитель верхнетреугольной (нижнетреугольной) матрицы 9 1.34 Определитель диагональной матрицы. Определитель единичной матрицы 9 1.35 Матрица с углом нулей и её определитель 9 1.36 Определитель произведения двух матриц 9 1 1.37 Дополнительный минор к элементу квадратной матрицы 9 1.38 Алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы 9 1.39 Формула разложения определителя по строке (столбцу) 9 1.40 Лемма о фальшивом разложении определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.41 Невырожденная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.42 Присоединённая матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.43 Критерий обратимости квадратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.44 Явная формула для обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.45 Критерий обратимости произведения двух матриц. Матрица, обратная к произведению двух матриц . 10 1.46 Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.47 Что такое поле? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.48 Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.49 Комплексное сопряжение и его свойства: сопряжение суммы и произведения двух комплексных чисел . 11 1.50 Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация в ней сложения и сопряжения . . . . . . . . 11 1.51 Модуль комплексного числа и его свойства: неотрицательность, неравенство треугольника, модуль про- изведения двух комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.52 Аргумент комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.53 Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригоно- метрической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.54 Формула Муавра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.55 Извлечение корней из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.56 Основная теорема алгебры комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.57 Теорема Безу и её следствие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.58 Кратность корня многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.59 Векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.60 Подпространство векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.61 Линейная комбинация конечного набора векторов векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.62 Линейная оболочка подмножества векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.63 Две общих конструкции подпространств в пространстве 𝐹 𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.64 Линейная зависимость конечного набора векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.65 Линейная независимость конечного набора векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.66 Критерий линейной зависимости конечного набора векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.67 Основная лемма о линейной зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.68 Базис векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.69 Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.70 Размерность конечномерного векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.71 Характеризация базисов конечномерного векторного пространства в терминах единственности линей- ного выражения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.72 Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.73 Лемма о добавлении вектора к конечной линейно независимой системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Вопросы на доказательство 14 2.1 Операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Дистрибутивность произведения матриц по отношению к сложению . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Ассоциативность произведения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3 Некоммутативность произведения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4 Транспонирование произведения двух матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.5 Умножение на диагональную матрицу слева и справа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.6 След произведения двух матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Эквивалентность систем линейных уравнений, получаемых друг из друга путём элементарных преобразований строк расширенной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Теорема о приведении матрицы к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований строк . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения на подходя- щую матрицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.4 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.5 Связь между множеством решений совместной системы линейных уравнений и множеством ре- шений соответствующей ей однородной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.6 Общий метод решения матричных уравнений вида 𝐴𝑋 = 𝐵 и 𝑋𝐴 = 𝐵 . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.7 Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 2.3.1 Ассоциативность произведения перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.2 Некоммутативность произведения перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.3 Теорема о знаке произведения двух перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.4 Знак обратной перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.5 Знак транспозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Определитель транспонированной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2 Поведение определителя при умножении строки (столбца) на скаляр . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.3 Поведение определителя при разложении строки (столбца) в сумму двух . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.5 Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на скаляр . . 21 2.4.6 Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.7 Определитель верхнетреугольной (нижнетреугольной) матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.8 Определитель с углом нулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.9 Определитель произведения двух матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.10 Разложение определителя по строке (столбцу) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.11 Лемма о фальшивом разложении определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.12 Единственность обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.13 Определитель обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.14 Критерий обратимости квадратной матрицы и явная формула для обратной матрицы . . . . . . 25 2.4.15 Матрица, обратная к произведению двух матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.16 Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.1 Построение поля комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.2 Свойства комплексного сопряжения (для суммы и произведения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.3 Свойства модуля комплексного числа: неотрицательность, неравенство треугольника (алгебраи- ческое доказательство), модуль произведения двух комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.4 Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.5 Извлечение корней из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.1 Понятие векторного пространства, шесть простейших следствий из аксиом . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.2 Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством в соответствующем векторном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.3 Утверждение о том, что линейная оболочка произвольного подмножества векторного простран- ства является подпространством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.4 Критерий линейной зависимости конечной системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.5 Основная лемма о линейной зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6.6 Независимость числа векторов в базисе конечномерного векторного пространства от выбора базиса 30 2.6.7 Характеризация базисов конечномерного векторного пространства в терминах единственности линейного выражения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.8 Метод построения фундаментальной системы решений для однородной системы линейных урав- нений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6.9 Существование подмножества конечной системы векторов, являющегося базисом её линейной оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6.10 Дополнение линейно независимой системы векторов до базиса конечномерного векторного про- странства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6.11 Лемма о добавлении вектора к конечной линейно независимой системе . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 1 Определения и формулировки 1. Сумма двух матриц, произведение матрицы на скаляр Для любых 𝐴, 𝐵 ∈ Mat 𝑚×𝑛 • Сложение 𝐴 + 𝐵 := (𝑎 𝑖𝑗 + 𝑏 𝑖𝑗 ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 + 𝑏 11 𝑎 12 + 𝑏 12 𝑎 1𝑛 + 𝑏 1𝑛 𝑎 21 + 𝑏 21 𝑎 22 + 𝑏 22 𝑎 2𝑛 + 𝑏 2𝑛 𝑎 𝑚1 + 𝑏 𝑚1 𝑎 𝑚2 + 𝑏 𝑚2 𝑎 𝑚𝑛 + 𝑏 𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ • Умножение на скаляр 𝜆 ∈ R =⇒ 𝜆𝐴 := (𝜆𝑎 𝑖𝑗 ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝜆𝑎 11 𝜆𝑎 12 𝜆𝑎 1𝑛 𝜆𝑎 21 𝜆𝑎 22 𝜆𝑎 2𝑛 𝜆𝑎 𝑚1 𝜆𝑎 𝑚2 𝜆𝑎 𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2. Транспонированная матрица 𝐴 ∈ Mat 𝑚×𝑛 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 2𝑛 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑎 𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐴 𝑇 ∈ Mat 𝑛×𝑚 := ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 𝑚1 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 𝑚2 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 𝑚𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ — транспонированная матрица. 3. Произведение двух матриц 1) Частный случай: умножение строки на столбец той же длинны (𝑥 1 , . . . , 𝑥 𝑛 ) ⏟ ⏞ 1×𝑛 ⎛ ⎜ ⎝ 𝑦 1 𝑦 𝑛 ⎞ ⎟ ⎠ ⏟ ⏞ 𝑛×1 = 𝑥 1 · 𝑦 1 + · · · + 𝑥 𝑛 · 𝑦 𝑛 2) Общий случай: 𝐴 - матрица размера 𝑚 × 𝑛 𝐵 - матрица размера 𝑛 × 𝑝 𝐴𝐵 := 𝐶 ∈ Mat 𝑚×𝑝 , где 𝐶 𝑖𝑗 = 𝐴 (𝑖) 𝐵 (𝑗) = 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑎 𝑖𝑘 · 𝑏 𝑘𝑗 Количество столбцов матрицы 𝐴 равно количеству строк матрицы 𝐵 — условие согласованности матриц. 4. Диагональная матрица, умножение на диагональную матрицу слева и справа Определение. Матрица 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛 называется диагональной если все ее элементы вне главной диагонали равны нулю (𝑎 𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 ̸= 𝑗) Лемма. 𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑎 1 , . . . , 𝑎 𝑛 ) ∈ 𝑀 𝑛 =⇒ 1. ∀𝐵 ∈ Mat 𝑛×𝑝 =⇒ 𝐴𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 1 𝐵 (1) 𝑎 2 𝐵 (2) 𝑎 𝑛 𝐵 (𝑛) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2. ∀𝐵 ∈ Mat 𝑚×𝑛 =⇒ 𝐵𝐴 = (︀𝑎 1 𝐵 (1) 𝑎 2 𝐵 (2) 𝑎 𝑛 𝐵 (𝑛) )︀ 5. Единичная матрица, её свойства Определение. Матрица 𝐸 = 𝐸 𝑛 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(1, 1, . . . , 1) называется единичной матрицей порядка 𝑛. 𝐸 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 4 Свойства : 1. 𝐸𝐴 = 𝐴 ∀𝐴 ∈ Mat 𝑛×𝑝 2. 𝐴𝐸 = 𝐴 ∀𝐴 ∈ Mat 𝑝×𝑛 3. 𝐴𝐸 = 𝐸𝐴 = 𝐴 ∀𝐴 ∈ 𝑀 𝑛 6. След квадратной матрицы и его поведение при сложении матриц, умножении матрицы на скаляр и транспонировании Определение. Следом матрицы 𝐴 ∈ 𝑀 𝑛 называется число 𝑡𝑟𝐴 = 𝑎 11 + 𝑎 22 + · · · + 𝑎 𝑛𝑛 = ∑︀ 𝑛 𝑖=1 𝑎 𝑖𝑖 Свойства : 1. tr(𝐴 + 𝐵) = tr 𝐴 + tr 𝐵 2. tr 𝜆𝐴 = 𝜆 tr 𝐴 3. tr 𝐴 𝑇 = tr 𝐴 7. След произведения двух матриц tr(𝐴𝐵) = tr(𝐵𝐴) ∀𝐴 ∈ Mat 𝑚×𝑛 , 𝐵 ∈ Mat 𝑛×𝑚 8. Совместные и несовместные системы линейных уравнений Определение. СЛУ называется – совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, – несовместной, если решений нет. 9. Эквивалентные системы линейных уравнений Определение. Две системы уравнений от одних и тех же неизвестных называются эквивалентными, если они имеют одинаковые множества решений. 10. Расширенная матрица системы линейных уравнений Для СЛУ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + · · · + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + · · · + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 2 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + · · · + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚 её расширенной матрицей называется матрица (︀𝐴 | 𝑏)︀ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 1𝑛 𝑏 1 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 2𝑛 𝑏 2 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑎 𝑚𝑛 𝑏 𝑚 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 11. Элементарные преобразования строк матрицы тип СЛУ расширенная матрица 1. K 𝑖-му уравнению прибавить 𝑗-ое, умноженное на 𝜆 ∈ R (𝑖 ̸= 𝑗) Э 1 (𝑖, 𝑗, 𝜆) 2. Переставить 𝑖-е и 𝑗-е уравнения (𝑖 ̸= 𝑗) Э 2 (𝑖, 𝑗) 3. Умножить 𝑖-ое уравнение на 𝜆 ̸= 0 Э 3 (𝑖, 𝜆) 1. Э 1 (𝑖, 𝑗, 𝜆) : к 𝑖-ой строке прибавить 𝑗-ую, умноженную на 𝜆 (покомпонентно), 𝑎 𝑖𝑘 ↦→ 𝑎 𝑖𝑘 + 𝜆𝑎 𝑗𝑘 ∀𝑘 = 1, . . . , 𝑛 , 𝑏 𝑖 ↦→ 𝑏 𝑖 + 𝜆𝑏 𝑗 2. Э 2 (𝑖, 𝑗) : переставить i-ую и j-ую строки. 3. Э 3 (𝑖, 𝜆) : умножить i-ю строку на 𝜆 (покомпонентно). Э 1 , Э 2 , Э 3 называются элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы. 12. Ступенчатый вид матрицы 5 Определение. Строка (𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . , 𝑎 𝑛 ) называется нулевой, если 𝑎 1 = 𝑎 2 = · · · = 𝑎 𝑛 = 0 и ненулевой иначе (∃𝑖 : 𝑎 𝑖 ̸= 0 ). Определение. Ведущим элементом ненулевой строки называется первый её ненулевой элемент. Определение. Матрица 𝑀 ∈ Mat 𝑚×𝑛 называется ступенчатой, или имеет ступенчатый вид, если: 1. Номера ведущих элементов её ненулевых строк строго возрастают. 2. Все нулевые строки стоят в конце. 𝑀 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 ◇ * * * * * * 0 0 0 ◇ * * * * 0 0 0 0 0 ◇ * * 0 0 0 0 0 0 ◇ * 0 0 0 0 0 0 0 ◇ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , где ◇ ̸= 0, * – что угодно. 13. Улучшенный ступенчатый вид матрицы Определение. M имеет улучшенный ступенчатый вид, если: 1. M имеет обычный ступенчатый вид. 2. Все ведущие элементы равны 1. 3. В одном столбце с любым ведущим элементом стоят только нули. 𝑀 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 1 * 0 * 0 0 * 0 0 0 1 * 0 0 * 0 0 0 0 0 1 0 * 0 0 0 0 1 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 14. Теорема о виде, к которому можно привести матрицу при помощи элементарных преобразований строк Теорема. 1) Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к ступенчатому виду. 2) Всякую ступенчатую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к улучшенному ступенчатому виду. Следствие. Всякую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к улучшенному сту- пенчатому виду. 15. Общее решение совместной системы линейных уравнений Определение. Общим решением исходной СЛУ называется выражение главных неизвестных через свободные. |