экзамен инф. Множества и операции над ними. Основные числовые множества. Множеством
 Скачать 1.75 Mb.
|
|
Множества и операции над ними. Основные числовые множества. Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Операции над множествамиДва множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6} Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4} Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2} Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6} Основные числовые множества
Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров x1,x2,...xn  Свойства сходящихся последовательностей Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю. Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности. Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают. Если последовательность (xn) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / xn), которая является ограниченной. Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью. Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность. Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела. Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней. Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй. Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу. Любую сходящуюся последовательность (xn) можно представить в виде (xn) = (a + αn), где a — предел последовательности (xn), а αn — некоторая бесконечно малая последовательность. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства). Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Число e . Последовательность {xn}{xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n∈N,xn |
, где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде 
— отношение длины окружности к её диаметру;
— названное в честь Эйлера и др.;