Шпоры по мат.анализу, теория. Множество это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку) Множество X
 Скачать 216.5 Kb.
|
|
Множество – это совокупность элементов, понимаемых как единое целое (объединенных по некоторому признаку) Множество X называется ограниченным, если существует число m такое, что для всех x X x m Если x m – ограничено сверху, x -m – ограничено снизу Верхней гранью множества X называется supp X такое, что x X x supp X и 0 x0 X x0 supp X - Нижней гранью множества X называется inf X такое, что x X x inf X и 0 x0 X x0 inf X + Точка A называется предельной точкой для множества X, если в любой ее проколотой окрестности существуют точки из множества X. Любой интервал, содержащий точку x0, называется окрестностью точки x0. Число a называется пределом последовательности Xn, если 0 такой номер N = N (), n N Xn - a Теорема. Если предел существует, то он единственный. Теорема. Если последовательность сходится, то она ограничена. Доказательство. lim (n) Xn = a N n N Xn - a Пусть = 1 M = max {X1, X2, ..., Xn, a + 1} Xn M n. m = min {X1, X2, ..., Xn, a - 1} Xn m n. Теорема. Если {Xn} монотонно возрастает, т.е. Xn+1 Xn n и ограничена сверху, то она имеет предел. Если {Xn} монотонно убывает, т.е. Xn+1 Xn n и ограничена снизу, то она имеет предел. Доказательство. Xn убывает, Xn+1 Xn n m m Xn Пусть m = inf {Xn} 1. n m Xn 2. 0 N XN m + lim (n) Xn = m 0 N n N m Xn XN m + m - Xn m + . Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть lim (n) Xn = a и lim (n) Yn = b и пусть n Xn Yn, тогда a b. Доказательство. Пусть a b, = (a - b)/2 0. N1 n N1 b - Yn b + N2 n N2 a - Xn a + Пусть n max {N1;N2} a - Xn Yn b + a/2 + b/2 a/2 + b/2 (противоречие) Теорема о вложенных отрезках. Пусть есть система вложенных отрезков [a1;b1] [a2;b2] ... [an;bn] ... Тогда существует точка C, принадлежащая всем отрезкам. Доказательство. Последовательность a1, a2, ..., an убывает и n an b1, т.е. она имеет предел lim (n) an = a. Последовательность {bn} возрастает и bn a1, т.е. она имеет предел lim (n) bn = b. lim (n) (an - bn) = 0 = b – a, т.е. a = b C = a = b n an C bn, т.е. C принадлежит всем отрезкам. Пусть даны два множества D и G. Если каждому элементу множества D ставится в соответствие единственный элемент множества G, то говорят, что задана функция f: D G. Если D = R и G = R, то функция числовая, если D = N и G = R, то функция последовательность. Все функции, задаваемые с помощью знаков +, -, * и операцией взятия сложной функции от элементарных называются элементарными функциями. Предел функции. По Коши: Число a называется пределом функции f (x) при xx0 0 0 x 0 x – x0 f (x) - a . По Гейне: Число a называется пределом функции f (x) при xx0 {Xn}x0 f (Xn)a (n). Предел функции на бесконечности. 1. lim (xx0) f(x) = E 0 0 x 0 x – x0 f(x) E ( для + f(x) E, для - f(x) -E) 2. lim (x) f(x) = a 0 0 x x (для + x , для - x -) Односторонние пределы. Число a называется пределом слева (lim (xx0 - 0) f(x) = a), если 0 0 x x0 - x x0 f(x) - a Число a называется пределом справа (lim (xx0 + 0) f(x) = a), если 0 0 x x0 x x0 + f(x) - a Теорема. Если lim (xx0) f(x) = a , то функция ограничена в некоторой окрестности точки x0. Доказательство. Пусть = 1, тогда x 0 x - x0 a - f(x) a + Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если предел в этой же точке равен 0. Теорема. Сумма бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Доказательство. lim (xx0) (x) = 0, lim (xx0) (x) = 0 /2 0 1 0 x 0 x – x0 1 (x) /2 /2 2 0 x 0 x – x0 2 (x) /2 x 0 x – x0 min (1,2) (x) + (x) lim (xx0) ((x) + (x)) = 0 Теорема. Если lim (xx0) f(x) = b 0, то функция 1/f(x) ограничена в некоторой окрестности точки x0. Доказательство. Пусть b 0, тогда = b/2 x 0 x – x0 f(x) - b b – f(x) b - f(x) b - f(x) = b/2 f(x) b/2 1/f(x) 2/b Теорема. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция. Доказательство. Пусть в окрестности точки x0 (x) M и lim (xx0) (x) = 0, тогда /M 0 0 x 0 x – x0 (x) /M 0 0 x 0 x – x0 (x) - (x) /M * M Теорема. Пусть lim (xx0) f(x) = b 0 и (x)(xx0) 0, тогда (x)/f(x) бесконечно малая функция в окрестности точки x0. Доказательство. 1/f(x) – ограниченная, *1/f(x) – бесконечно малая (по предыдущим теоремам). Пусть lim (xx0) f(x) = a и lim (xx0) g(x) = b, тогда: lim (xx0) (f(x) g(x)) = a b lim (xx0) (f(x) * g(x)) = a * b lim (xx0) (f(x)/g(x)) = a/b (при b 0) Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теорема 1. Если x f(x) g(x), то lim (xx0) f(x) lim (xx0) g(x) Теорема 2. Пусть x из окрестности точки x0 (x) f(x) g(x) и lim (xx0) (x) = lim (xx0) g(x) = a, тогда lim (xx0) f(x) = a. Сравнение бесконечно малых функций. Функция (x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем (x) в окрестности точки x0, если lim (xx0) (x)/(x) = 0. Если бесконечно малые функции (x) и (x) имеют предел lim (xx0) (x)/(x) = k 0 , то (x) и (x) называют сравнимыми или одного порядка малости. Если k = 1, то (x) и (x) – эквивалентные бесконечно малые. Теорема. Сумма бесконечно малых функций эквивалента бесконечно малой низшего порядка. Доказательство. Пусть есть + + и - низшего порядка. /0 и /0, xx0 lim (xx0) + + / = lim (xx0) / + / + 1 = 1 + + Функция f(x) называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если предел в этой точке равен / lim (xx0) f(x) = a Функция f(x) – бесконечно большая 1/f(x) – бесконечно малая. Для любых функций (x) и (x) с условием, что lim (xx0) (x)/(x) = 0, пишут (x) = ((x)) и говорят (x) о-малое (x), (x) = ((x)) (x) О-большое (x). Замечательные пределы. lim (x0) (sin x / x) = 1 lim (x) (1 + 1/x)x = e = 2,7 Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и lim (xx0) f(x) = f(x0) Теорема. Если функция f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то непрерывна функция f(x) g(x); f(x) * g(x); f(x)/g(x) (g(x) 0). Точки разрыва. Устранимый разрыв lim (xx0 + 0) f(x) = lim (xx0 - 0) f(x) + f(x0) Разрыв первого рода – оба односторонних предела существуют, и между собой. Разрыв второго рода – один из односторонних пределов не существует или равен . Функция f(x) называется непрерывной на замкнутом отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, а в точках a и b у нее существуют односторонние пределы. M – максимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], если x [a; b] f(x) M m – минимальное значение функции f(x) на отрезке [a; b], если x [a; b] f(x) m Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b], тогда она достигает свое наибольшее и наименьшее значение. Теорема 2. Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a; b], тогда она принимает все значения между наибольшим и наименьшим значениями. m C M x0 [a; b] f(x0) = C Теорема 3. Пусть f(x) непрерывная на отрезке [a; b] принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, тогда существует точка C [a; b] такая, что f(C) = 0. Теорема 4. Если в окрестности точки x0 функция y(x) монотонна, то у нее существует обратная функция, которая непрерывна, если непрерывна функция y(x). Производная. Производной функции f(x1) называется lim (f(x1 + x) – f(x1)) / x = f ’(x1) = lim (x0) f / x, где x = x2 – x1 – приращение аргумента, f = f(x2) – f(x1) – приращение функции. f / x = tg tg Назовем линию L касательной к кривой y = f(x) в точке x0, если для любой секущей, проходящей через x0 и x1, секущая будет стремиться к L при x1x0. tg - tg угла наклона касательной к кривой в точке x1 k = tg = f ‘ (x1) Правила дифференцирования. (u v)’ = u’ v’ (u * v)’ = u’v + uv’ (u/v)’ = u’v – uv’/v² Уравнение касательной: y – f(x0) = f ‘ (x0)(x – x0) Уравнение нормали: y – f(x0) = (- 1/f ‘ (x0))*(x-x0) Производная сложной функции. Пусть z = f(y) и y = (x) z = f((x)) z’x = lim (x0) z/x = lim (x0) z/ * /x = z’y * ’x z’x = z’y + ’x Производная обратной функции. Если функция у = f(x) и x = g(y) обратные, то y’x = 1/g’y. Доказательство. lim (x0) y/x = lim (g0) y/g = lim (g0, y0) 1/ (g/y) = 1/ g’y Таблица производных: a˟ - a˟ lna loga x – 1/xlna ln x – 1/x sin x – cos x cos x - -sin x sh x – ch x ch x – sh x tg x – 1/cos² x ctg x - -1/sin² x arcsin x – 1/1 - x² arccos x - -1/1 - x² arctg x – 1/1+ x² arcctg x - -1/1+ x² e˟ - e˟ Функция  называется дифференцируемой в точке  если ее приращение  в этой точке может быть представлено в виде где   . Если приращение функции f = f(x) – f(x0) можно представить в виде A(x – x0) +(x – x0), то линейная часть A(x – x0) называется |