солянка матеша. солянка из матеши. Определенный интеграл от функции по отрезку это предел интегральных сумм при. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида расположенной на интервале.
 Скачать 6.87 Mb.
|
|
Математика Летняя сессия 2022 Вопросы.  Определение: Определенный интеграл от функции по отрезку – это предел интегральных сумм при .    Геометрический смысл определенного интеграла  заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида  расположенной на интервале  .Свойства: 1. Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования:  2. Если пределы интегрирования определенного интеграла равны, то такой интеграл равен нулю.  3. Если подынтегральная функция  , то определенный интеграл от этой функции по промежутку  равен произведению константы  на длину промежутка  :  4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:  5. Интеграл от суммы интегрированных на отрезке  функций равен сумме интегралов от каждой из них: 6. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл поменяет знак на противоположный:  7. .  8. Теорема про среднее. Если функция  интегрируема на отрезке  , то существует точка  такая, что имеет место равенство:    Интеграл с переменным верхним пределом. Будем считать нижний предел интеграла постоянным, а верхний переменным. Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при рассматриваемом условии интеграл является функцией своего верхнего предела. Независимая переменная в верхнем пределе обычно обозначается той же буквой, скажем x, что и переменная интегрирования. Таким образом, например, записывают  Теорема о производный интеграл по верхнему пределу. Производная от интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральной функции  Доказательство. Придадим аргументу x приращение Δx. Тогда наращенное значение функции I(x) будет  Значит,   Последний интеграл по теореме о среднем равен  где ξ - точка, лежащая между x и x+Δx. По определению производной имеем  Но если Δx→0, то x+Δx стремится к x; поэтому и подавно ξ→x, а так как f(x) - непрерывная функция, то  Что и требовалось доказать. Из теоремы также следует, что   Формула Ньютона-Лейбница:  Доказательство формулы Ньютона - Лейбница: Чтобы доказать данную теорему введем вспомогательную функцию.  Здесь мы поступили следующим образом. Мы заменили верхний предел интегрирования на переменную x. Вместо х под знаком интеграла написали переменную t. Это возможно поскольку значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:  Функция G(x) представляет собой Интеграл с переменным верхом пределом интегрирования. Теперь к этой функции мы применим определение производной как предел разностного отношения.  Теперь нам понадобится Теорема о среднем значении для определенного интеграла:  интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции f(x). Любая другая первообразная подынтегральной функции отличается от данной первообразной на постоянную:  отсюда:  Или:   Замена переменной:  (t)dtДок-во: пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a,b], F(x)' = f(x)  x  [a,b], то . Т.к F(x) и x – так как F(x) и φ(t) дифференцируемы на соответствующих отрезках, то по правилу дифференцирования сложной функции находим F'(t)=f'( (t)) '(t)= =f( (t)) '(t) Из этого равенства следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f( (t)) '(t), непрерывной на отрезке [α, β].По формуле Ньютона-Лейбница:  dt = F( (b))- F( (a)) = F(b)- F(a)=  Интегрирование по частям: Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b] , то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле:  b,  a -   |