солянка матеша. солянка из матеши. Определенный интеграл от функции по отрезку это предел интегральных сумм при. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида расположенной на интервале.

• Название: Определенный интеграл от функции по отрезку это предел интегральных сумм при. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида расположенной на интервале.
• Анкор: солянка матеша
• Дата: 10.10.2022
• Размер: 6.87 Mb.
• Имя файла: солянка из матеши.docx
• Тип: Документы; #726449
• страница: 5 из 5

20 вопрос

Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал.

Определение

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки .

Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение можно представить в виде



А и В некоторые константы, не зависящие от

– бесконечно малые функции при

Определение

Линейная (относительно ) часть приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается

или



– расстояние между и



(ограничены)

Тогда

, т.е. = , тогда

можно записать в виде



Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости)

Если f(x, y) дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

f – дифференцируема

непрерывна в точке

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости)

Если f(x, y) дифференцируема в точке , то она имеет частные производные в этой точке.

Доказательство:





Аналогично .

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости)

Если функция z = f(x, y) имеет частные производные в точке , непрерывные в этой точке, то она дифференцируема.

Доказательство:

Пусть f(x, y) = z имеет непрерывные частные производные в точке .







Рассмотрим функцию на [ ] ( > 0) и на [ ] ( < 0).

Тогда удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа.

- =



Так как частное производное в точке непрерывна, то



, где при

Тогда получаем

Аналогично, по формуле Лагранжа для функции f(x, y) на ( ) и на ( ).

Получаем



Так как непрерывна, то аналогично действию выше получаем







= A, = B – const, не зависящие от и .

Ч.Т.Д



21 вопрос

Производная по направлению.

Пусть задана функция u = u(x, y, z), определённая и дифференцируема в некоторой окрестности точки . Рассмотрим вектор , где образует с координатными осями углы α, β, γ; точка , ( ).

Тогда полное приращение функции

при





(1)

Определение

Если существует предел (1) при , то он называется производной функции в точке по направлению и обозначается



не зависит от длины вектора L, а зависит только от направления .

Градиент скалярного поля

Если в каждой точке пространства определенно значение некоторой величины, то говорят, что в данной области задано поле этой величины.

Если величина скалярная, то поле называется скалярным, в случае векторной величины – векторным полем.

z = f(x, y) – плоское скалярное поле

Скалярное поле задаётся функцией u = f(M).

Определение

Вектор называется градиентом скалярного поля u = u(x, y, z) в точке (x, y, z) и обозначается



Вопрос 22

Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие. Достаточные условия экстремума.

Пусть определена в некоторой окрестности точки .

Определение

Точка называется точкой локального максимума (минимума), если существует окрестность этой точки, в которой .

Точки max и min называются точками экстремума, -- экстремумом.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума)

Если в точке функция z = f(x, y) имеет экстремум, то её частное производное в точке равно 0 или не существует.

Доказательство:

Пусть – точка экстремума функции z = f(x, y)

Предположим, что это точка max, тогда в некоторой окрестности



Зафиксируем , получаем функцию одного аргумента . Эта функция по определению имеет max в точке , тогда или .

Аналогично по переменной y (фиксируем x = … )

Если точка – точка min, то доказательство аналогичное.

Ч.Т.Д.

Определение

Точка – называется точкой max (min), если существует окрестность этой точки, в которой .

Теорема 2 (достаточное условие экстремума)

Пусть функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка, включительно, в некоторой окрестности точки . Если в точке частные производные равны 0, а

, , , то

при точка является точкой экстремума, причём, если А < 0, то – точка max, если А > 0, то – точка min,

при не является точкой экстремума.

Доказательство:

Формула Тейлора при n = 1













Так как частные производные 2-го порядка – непрерывны.







при



Пусть



При достаточно малом знак правой части последнего равенства совпадает со знаком квадратного трёхчлена.



, то Т имеет постоянный знак

При А < 0 – Т < 0;

При А > 0 – T >0

Если и А < 0, то

А > 0, то

меняет знак, следовательно не является точкой экстремума.

Ч.Т.Д.

25.

БИЛЕТ: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решение. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.





26.

БИЛЕТ:Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения(одна теорема с доказательством).





27.

БИЛЕТ: Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянным коэффициентами. Фундаментальная система решений. Метод Эйлера.







28.

БИЛЕТ: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре решения. Метод подбора частного решения.