солянка матеша. солянка из матеши. Определенный интеграл от функции по отрезку это предел интегральных сумм при. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что его значением является площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции вида расположенной на интервале.
![]()
|
Математика Летняя сессия 2022 Вопросы. ![]() Определение: Определенный интеграл от функции по отрезку – это предел интегральных сумм при . ![]() ![]() ![]() Геометрический смысл определенного интеграла ![]() ![]() ![]() Свойства: 1. Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования: ![]() 2. Если пределы интегрирования определенного интеграла равны, то такой интеграл равен нулю. ![]() 3. Если подынтегральная функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: ![]() 5. Интеграл от суммы интегрированных на отрезке ![]() ![]() 6. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл поменяет знак на противоположный: ![]() 7. . ![]() 8. Теорема про среднее. Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интеграл с переменным верхним пределом. Будем считать нижний предел интеграла постоянным, а верхний переменным. Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при рассматриваемом условии интеграл является функцией своего верхнего предела. Независимая переменная в верхнем пределе обычно обозначается той же буквой, скажем x, что и переменная интегрирования. Таким образом, например, записывают ![]() Теорема о производный интеграл по верхнему пределу. Производная от интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральной функции ![]() Доказательство. Придадим аргументу x приращение Δx. Тогда наращенное значение функции I(x) будет ![]() Значит, ![]() ![]() Последний интеграл по теореме о среднем равен ![]() где ξ - точка, лежащая между x и x+Δx. По определению производной имеем ![]() Но если Δx→0, то x+Δx стремится к x; поэтому и подавно ξ→x, а так как f(x) - непрерывная функция, то ![]() Что и требовалось доказать. Из теоремы также следует, что ![]() ![]() Формула Ньютона-Лейбница: ![]() Доказательство формулы Ньютона - Лейбница: Чтобы доказать данную теорему введем вспомогательную функцию. ![]() Здесь мы поступили следующим образом. Мы заменили верхний предел интегрирования на переменную x. Вместо х под знаком интеграла написали переменную t. Это возможно поскольку значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: ![]() Функция G(x) представляет собой Интеграл с переменным верхом пределом интегрирования. Теперь к этой функции мы применим определение производной как предел разностного отношения. ![]() Теперь нам понадобится Теорема о среднем значении для определенного интеграла: ![]() интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции f(x). Любая другая первообразная подынтегральной функции отличается от данной первообразной на постоянную: ![]() отсюда: ![]() Или: ![]() ![]() Замена переменной: ![]() Док-во: пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a,b], F(x)' = f(x) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интегрирование по частям: Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b] , то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле: ![]() ![]() ![]() ![]() |