конспекты по алгебре фкн. ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г
 Скачать 370.23 Kb.
|
|
ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 1-й модуль 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведением матриц A n×p и B p×k называется матрица C типа n × k, где c ij = p ∑ l=1 a il ⋅ b lj . Умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, то есть A ⋅ B, вообще говоря, ≠ B ⋅ A. Пример: A = ( 0 1 0 0 ) , B = ( 0 0 0 1 ) A ⋅ B = ( 0 1 0 0 ) , B ⋅ A = ( 0 0 0 0 ) 2. Дать определение ступенчатого вида матрицы и канонического вида матрицы. Матрица M имеет ступенчатый вид, если номера первых ненулевых элементов всех строк (такие элементы называют ведущими) возрастают, а нулевые строки стоят внизу матрицы. Матрица M имеет канонический вид, если M уже имеет ступенчатый вид, причем все ведущие элементы равны 1 и в любом столбце, содержащем ведущий элемент, выше и ниже него стоят 0. 3. Перечислить элементарные преобразования строк. Пусть (i) – i-тая строка матрицы A. Тогда элементарные преобразования: 1 ) (i) → λ ⋅ (i), λ ≠ 0 – умножили i-тую строку на число λ 2 ) (i) ↔ (j) – поменяли местами i-тую и j-тую строки 3 ) (i) → (i) + λ ⋅ (k) – i-тая строка заменяется на сумму i-той строки и k-той строки ⋅ число λ 4. Сформулировать теорему о методе Гаусса (алгоритм приводить не нужно). Любую конечную матрицу A можно привести элементарными преобразованиями к ступенчатому (каноническому) виду. 5. Дать определения перестановки и подстановки. Всякое расположение чисел от 1 до n в определенном порядке называют перестановкой. Подстановка σ ( 1 n σ(1) σ(n) ) – отображение множества 1, . . . , n в себя. Это отображение должно быть биективным. 6. Дать определение знака и четности подстановки. Знак подстановки ( 1 2 n α 1 α 2 α n ) равен (−1) a , где a – число инверсий в строке (α 1 α 2 . . . α n ). Если знак равен 1, то подстановка четна, если -1 – нечетна. 7. Выписать общую формулу для вычисления определителя произвольного порядка det A = ∑ σ∈S n sgn (σ)a 1σ(1) ⋅ a 2σ(2) ⋅ . . . ⋅ a nσ(n) (сумма по всем подстановкам). 8. Выписать формулы для разложения определителя по строке и столбцу. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов i-той строки (j-того столбца) на их алгебраические дополнения: det A = n ∑ j=1 a ij ⋅ A ij = n ∑ i=1 a ij ⋅ A ij 1 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 9. Что такое фальшивое разложение? Элементы строки при умножении на алгебраические дополнения к элементу другой строки дают после суммирования 0. n ∑ j=1 a ij ⋅ A kj = 0, если k ≠ i n ∑ i=1 a ij ⋅ A ik = 0, если k ≠ j 10. Выписать формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка. Пусть A ⋅ x = b – совместная СЛАУ. Тогда △ j = x j ⋅ det(A 1 , . . . , A n ) = det(A 1 , . . . , A j−1 , b, A j+1 , . . . , A n ) Если △ ≡ det A ≠ 0, то x j = △ j △ , j = 1, n 11. Что такое дополняющий минор и что такое алгебраическое дополнение? В матрице A n×n вычеркнем i-тую строку и j-тый столбец. Определитель получившейся матрицы называется дополняющим минором элемента a ij Алгебраическим дополнением элемента a ij называется число (−1) i+j ⋅ M ij = A ij 12. Дать определение союзной матрицы. Союзная матрица – транспонированная матрица из алгебраических дополнений к элементам матрицы A. ˜ A = ⎛ ⎜⎜ ⎝ A 11 A n1 ⋮ ⋱ ⋮ A 1n A nn ⎞ ⎟⎟ ⎠ 13. Дать определение обратной матрицы. Сформулировать критерий ее существования. Матрица B ∈ M n (R) называется обратной к матрице A, если B ⋅ A = E = A ⋅ B. Матрица A ∈ M n (R) имеет обратную (обратима) ⇔ det A ≠ 0 (она невырождена). 14. Выписать формулу для нахождения обратной матрицы. A − 1 = 1 det A ⋅ ˜ A , где ˜ A – союзная матрица. 15. Дать определение минора. Минором k-го порядка матрицы A называют определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечениях произвольных k строк и k столбцов. 16. Дать определение базисного минора. Какие строки называются базисными? Любой отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу, называется базисным минором матрицы. Строки, попавшие в фиксированный базисный минор, называются базисными. 17. Дать определение ранга матрицы. Рангом матрицы называют наибольший порядок отличного от 0 минора. 2 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 18. Дать определение линейной комбинации строк. Что такое нетривиальная линейная комбинация? Линейной комбинацией строк (столбцов) a 1 , . . . , a s одинаковой длины (высоты) называют выражение вида λ 1 ⋅ a 1 + . . . + λ s ⋅ a s , где λ 1 , . . . , λ s – некоторые числа. Линейная комбинация называется нетривиальной, если ∃λ i ≠ 0. 19. Дать определение линейной зависимости строк матрицы. Строки a 1 , . . . , a s называют линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация λ 1 ⋅ a 1 + . . . + λ s ⋅ a s = 0. 20. Дать определение линейно независимых столбцов матрицы. Если равенство λ 1 ⋅ a 1 + . . . + λ k ⋅ a k = 0 возможно только при λ 1 = λ 2 = . . . = λ k = 0, то говорят, что столбцы a 1 , . . . , a k линейно независимы (л.н.з.). 21. Сформулировать критерий линейной зависимости. Строки a 1 , . . . , a k линейно зависимы ⇔ хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных. 22. Сформулировать теорему о базисном миноре. 1 ) Базисные строки (столбцы), соответсвующие любому базисному минору M матрицы A л.н.з. 2 ) Строки (столбцы) матрицы A, не входящие в M, являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов). 23. Сформулировать теорему о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее л.н.з. строк (столбцов). 24. Сформулировать критерий невырожденности квадратной матрицы. Рассмотрим матрицу A ∈ M n (R). Следующие условия эквивалентны: 1 ) det A ≠ 0 2 ) RgA = n 3 ) все строки A л.н.з. 2-й модуль 1. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли. СЛАУ A ⋅ x = b совместна ⇔ RgA = Rg(A∣b). 2. Сформулируйте критерий существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Однородная СЛАУ A ⋅ x = 0 имеет ненулевое решение ⇔ Матрица A вырождена, то есть det A = 0. 3. Дайте определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной СЛАУ. Любые n − r линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ A ⋅ x = 0, где n – число неизвестных, а r = RgA, называют фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ A ⋅ x = 0. 3 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 4. Сформулируйте теорему о структуре общего решения однородной СЛАУ. Пусть Φ 1 , . . . , Φ k – ФСР однородной СЛАУ A ⋅ x = 0. Тогда любое решение этой СЛАУ можно представить в виде x = c 1 ⋅ Φ 1 + . . . + c k ⋅ Φ k , где c 1 , . . . , c k - некоторые постоянные. 5. Сформулируйте теорему о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Пусть известно частное решение ˜x СЛАУ A ⋅ x = b. Тогда любое решение этой СЛАУ можно представить в виде x = ˜x + c 1 ⋅ Φ 1 + . . . + c k ⋅ Φ k , где Φ 1 , . . . , Φ k – ФСР соответствующей однородной СЛАУ, а c 1 , . . . , c k – некоторые постоянные. 6. Что такое алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа? Пусть z ∈ C. Тогда: • z = x + iy – алгебраическая форма записи, где x, y ∈ R • z = r(cos ϕ + i sin ϕ) – тригонометрическая форма записи, где r = ∣z∣ = √ x 2 + y 2 , cos ϕ = x r , sin ϕ = y r 7. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа. Что такое главное значение аргумента комплексного числа? Модуль комплексного числа r = ∣z∣ = √ x 2 + y 2 Аргумент комплексного числа – угол между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором этой точки: φ = Argz = arg z + 2πk, k ∈ Z. arg z ∈ [ 0, 2π ) или arg z ∈ ( −π, π ] − главное значение аргумента. 8. Сложение, умножение комплексных чисел. Что происходит с аргументами и модулями комплексных чисел при умножении и делении? Сложение: (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) Умножение: (x 1 , y 1 ) ⋅ (x 2 , y 2 ) = (x 1 ⋅ x 2 − y 1 ⋅ y 2 , x 1 ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y 1 ). При умножении модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя. 9. Что такое комплексное сопряжение? Как можно делить комплексные числа в алгебраической форме? Комплексное сопряжение: z = a + b ⋅ i = a − b ⋅ i Пусть z 1 , z 2 ∈ C и z 2 ≠ 0. Тогда: z 1 z 2 = z 1 ⋅ z 2 z 2 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2 ∣z 2 ∣ 2 10. Выпишите формулу Муавра. z n = r n (cos nφ + i sin nφ), n ∈ N 4 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 11. Как найти комплексные корни n-ой степени из комплексного числа? Сделайте эскиз, на котором отметьте исходное число и все корни из него. Дано число w = ρ ⋅ (cos ψ + i ⋅ sin ψ) и число n ∈ N n √ w = {z = n √ ρ ⋅ (cos ψ + 2πk n + i ⋅ sin ψ + 2πk n ) , k = 0, n − 1} 6 √ 1 ∶ 12. Сформулируйте основную теорему алгебры. Сформулируйте теорему Безу. Основная теорема алгебры: ∀ многочлена f(z) = a n ⋅ z n + a n−1 ⋅ z n−1 + . . . + a 0 ⋅ z 0 , a i ∈ C, n ∈ N, a n ≠ 0 ∃ корень z 0 ∈ C. Теорема Безу: Остаток от деления многочлена f(x) на x − c равен f(c). 13. Выпишите формулу Эйлера. Выпишите выражения для синуса и косинуса через экспоненту. Формула Эйлера: cos φ + i ⋅ sin φ = e iφ , φ ∈ R cos φ = e iφ + e − iφ 2 , sin φ = e iφ − e − iφ 2i 14. Какие многочлены называются неприводимыми? Многочлен называется приводимым, если ∃ нетривиальное разложение f = g ⋅ h и неприводимым в противном случае. 15. Сформулируйте утверждение о разложении многочленов на неприводимые множители над комплексными числами. ∀ многочлен степени n > 0 разлагается в произведение неприводимых многочленов. Комплексный многочлен степени n разлагается в произведение: P n (z) = a n ⋅ (z − z 1 ) α 1 ⋅ . . . ⋅ (z − z k ) α k , где сумма кратностей α 1 + . . . + α k = n, z i ∈ C 16. Дайте определение векторного произведения векторов в трехмерном пространстве. Вектор Ð → c называют векторным произведением векторов Ð → a и Ð → b , если: 1) ∣Ð → c ∣ = ∣Ð → a ∣ ⋅ ∣ Ð → b ∣ ⋅ sin ϕ, где ϕ - угол между Ð → a и Ð → b 2) Ð → c ⊥ Ð → a , Ð → c ⊥ Ð → b 3) тройка Ð → a , Ð → b , Ð → c – правая 5 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 17. Сформулируйте три алгебраических свойства векторного произведения. 1) Ð → a × Ð → b = − Ð → b × Ð → a (антикоммутативность) 2) (λÐ → a ) × Ð → b = λ(Ð → a × Ð → b ) 3) (Ð → a + Ð → b ) × Ð → c = Ð → a × Ð → c + Ð → b × Ð → c (дистрибутивность) 18. Выпишите формулу для вычисления векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Пусть Ð → i , Ð → j , Ð → k – правый ортонормированный базис, Ð → a = a x Ð → i + a y Ð → j + a z Ð → k , Ð → b = b x Ð → i + b y Ð → j + b z Ð → k . Тогда: Ð → a × Ð → b = RRRRR RRRRR RRRRR R Ð → i Ð → j Ð → k a x a y a z b x b y b z RRRRR RRRRR RRRRR R = Ð → i (a y b z − b y a z ) + Ð → j (a z b x − a x b z ) + Ð → k (a x b y − a y b x ) 19. Сформулируйте критерий коллинеарности двух векторов с помощью векторного произведения. Векторы Ð → a и Ð → b коллинеарны ⇔ Ð → a × Ð → b = Ð → 0 20. Дайте определение смешанного произведения векторов. Как вычислить объем тетраэдра с помощью смешанного произведения? Смешанным произведением векторов Ð → a , Ð → b , Ð → c называют число (Ð → a × Ð → b , Ð → c ). Объем тетраэдра, построенного на векторах Ð → a , Ð → b , Ð → c равен V T = 1 6 ∣⟨Ð → a , Ð → b , Ð → c ⟩∣. 21. Выпишите формулу для вычисления смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Пусть Ð → i , Ð → j , Ð → k – правый ортонормированный базис, Ð → a = a x Ð → i + a y Ð → j + a z Ð → k , Ð → b = b x Ð → i + b y Ð → j + b z Ð → k , Ð → c = c x Ð → i + c y Ð → j + c z Ð → k . Тогда: ⟨Ð → a , Ð → b , Ð → c ⟩ = RRRRR RRRRR RRRRR R a x a y a z b x b y b z c x c y c z RRRRR RRRRR RRRRR R 22. Сформулируйте критерий компланарности трех векторов с помощью смешанного произведения. Векторы Ð → a , Ð → b , Ð → c компланарны ⇔ ⟨Ð → a , Ð → b , Ð → c ⟩ = 0. 23. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат. Прямоугольной декартовой системой координат называют пару, состоящую из точки O и ортонормированного базиса. 24. Что такое уравнение поверхности и его геометрический образ? Уравнение F (x, y, z) = 0 называют уравнением поверхности S, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на поверхности. При этом поверхность S называют геометрическим образом уравнения F (x, y, z) = 0. 25. Сформулируйте теорему о том, что задает любое линейное уравнение на координаты точки в трехмерном пространстве. Любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0, где A 2 + B 2 + C 2 > 0, определяет в пространстве плоскость. 6 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 26. Что такое нормаль к плоскости? Пусть Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение плоскости. Тогда вектор Ð → n = (A, B, C) перпендикулярен плоскости и называется нормалью к этой плоскости. 27. Выпишите формулу расстояния от точки до плоскости. Рассмотрим плоскость L ∶ Ax + By + Cz + D = 0 и точку M(x 0 , y 0 , z 0 ). Тогда: ρ (M, L) = ∣Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D∣ √ A 2 + B 2 + C 2 28. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой. • ⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎩ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 – общее уравнение прямой • Векторное уравнение прямой: Ð → r = Ð → r 0 + tÐ → s , где Ð → r 0 – радиус-вектор некоторой точки прямой, Ð → s – направляющий вектор прямой • Параметрическое уравнение: ⎧⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ x − x 0 = tl y − y 0 = tm z − z 0 = tn , где Ð → p (l, m, n) – направляющий вектор прямой, M (x 0 , y 0 , z 0 ) – точка прямой • Каноническое уравнение прямой: t = x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n 29. Сформулируйте критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Пусть M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ L 1 , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ L 2 . Тогда L 1 и L 2 в одной плоскости ⇔ Ð → s 1 , Ð → s 2 и ÐÐÐ→ M 1 M 2 компланарны, где Ð → s 1 , Ð → s 2 – направляющие вектора прямых L 1 и L 2 соответственно. 30. Выпишите формулу для вычисления расстояния от точки до прямой. Рассмотрим точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и прямую L ∶ x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n . Пусть Ð → s = (l, m, n), M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ). Тогда: ρ (M 1 , L ) = ∣ ÐÐÐ→ M 0 M 1 × Ð → s ∣ ∣Ð → s ∣ 31. Выпишите формулу для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Рассмотрим скрещивающиеся прямые L 1 и L 2 , s 1 и s 2 – их направляющие векторы и точки M 1 ∈ L 1 , M 2 ∈ L 2 . Тогда: ρ (L 1 , L 2 ) = ∣⟨Ð → s 1 , Ð → s 2 , ÐÐÐ→ M 1 M 2 ⟩∣ ∣Ð → s 1 × Ð → s 2 ∣ 32. Какие бинарные операции называются ассоциативными, а какие коммутативными? Бинарная операция × называется ассоциативной, если ∀a, b, c ∈ X ∶ a × (b × c) = (a × b) × c. Бинарная операция ∗ называется коммутативной, если ∀a, b ∈ X a ∗ b = b ∗ a. 7 ПИ, линейная алгебра Коллоквиум определения, 2019 г. vk.com/hse_botai, vk.com/zdarovablin 33. Дайте определение полугруппы и моноида. Приведите примеры. Множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой. Пример: (N, +). Полугруппа, в которой есть нейтральный элемент, называется моноидом. Пример: (N, ⋅) – моноид, e = 1. 34. Сформулируйте определение группы. Приведите пример. Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Пример: множество всех невырожденных (det A ≠ 0) матриц A n×n с операцией матричного умножения. 35. Что такое симметрическая группа? Укажите число элементов в ней. Симметрическая группа S n – множество всех подстановок длины n σ = ( 1 n l 1 l n ) с операцией композиции. В ней n! элементов. |