Открытый урок Производная функции. технол карта урока. Применение производной к исследованию функций
 Скачать 391.63 Kb.
|
|
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ Преподаватель: Портнягина Т.С., группа СТ-19-09, 1 курс. Предмет: Математика Дата: 26.02.2020 Тема урока: «Применение производной к исследованию функций» Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний. Цель урока: Деятельностная: формирование у учащихся способностей к обобщению и систематизации изучаемого предметного содержания. Образовательная: систематизация учебного материала. Задачи урока: систематизировать информацию и обобщать ее, работать в группах подвести обучающихся к пониманию того, что знание понятия производной необходимо человечеству в их жизни; совершенствовать умения ясно, логично и точно излагать свою точку зрения; обучать объективной оценке своих возможностей и успехов; способствовать развитию навыков устной речи, умению грамотно вести диалог и аргументировать свои действия; осознание большой практической значимости производной в жизни человека. Оборудование урока: Проектор. Презентация. Карточки. Формы работы с учащимися: Фронтальная. Индивидуальная. Групповая. Методы обучения: словесные: беседа; наглядные: компьютерная мультимедийная презентация; интерактивные: интерактивный диалог; практические: исследовательский, поисковый, организация применения знания производной при решении задач; методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль, взаимоконтроль. Планируемые результаты: осмысление роли производной в жизни человека выполнять логические операции, самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель задания; структурирование знаний; формирование речевой деятельности, навыков сотрудничества, умение находить общее решение, умение аргументировать своё предложение, взаимоконтроль и взаимопомощь по ходу выполнения задания. Основные понятия, формируемые в процессе урока: область определения и область значений функции, промежутки знакопостоянства, производная, промежутки монотонности, экстремумы функции. Структура и регламент урока
План-конспект урока Организационный этап. (Урок по теме «Применение производной к исследованию функций» проводится после изучения геометрического и физического смысла производной, правил дифференцирования, производных элементарных функций. Форма организации учебной деятельности как групповая, так и индивидуальная). Преподаватель: Здравствуйте, ребята, садитесь. У нас сегодня на уроке присутствуют гости, давайте с ними поздороваемся. Преподаватель отмечает отсутствующих, проверяет готовность студентов к уроку. Преподаватель: Ребята, если вы правильно отгадаете ключевое слово, то узнаете тему нашего урока; 1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ; 2) имеет геометрический и механический (физический) смысл; 3) Бывает первой, второй, … ; 4) Обозначается штрихом. Учащиеся отгадывают ключевое слово («производная») и записывают тему урока. Преподаватель: Итак, тема нашего занятия “Применение производной к исследованию функций»”. На этом уроке мы повторим и закрепим исследование функции с помощью производной. Актуализация опорных знаний. Преподаватель предлагает составить цветок понятий (ассоциативный куст): для этого студентам нужно назвать понятия, которые ассоциируются с темой «Производная». (1 балл за ответ) Учащиеся в устной форме отвечают на вопрос, записывают себе в оценочный лист баллы за правильный ответы 2) Задание «Найди соответствие»:
Ребята выполняют задание, после завершения которого проверяют друг у друга ответы (сверяясь с ответом на доске). Ставят по 1 баллу за каждое правильное соответствие. Правильный ответ 2 1 3 6 5 7 4. Разбор заданий из открытого банка ЕГЭ (устно, на слайде): На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите: - количество промежутков монотонности, - количество экстремумов на данном интервале  Ответ: 5, 42. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].  Ответ: х=4За правильный ответ – 1балл 3. Мотивация учебной деятельности С помощью производной учитывая её механический смысл и геометрический смысл, можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. Например, рассмотрим применение производной в задачах строительства Задача: О  пределить размер такого открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32см³, чтобы на облицовку его стен и дна было истрачено наименьшее количество материала. Решение: Обозначим длину стороны квадрата x м, а высоту бассейна y м. Тогда  м3.Площадь боковой поверхности бассейна с площадью дна равна  Найдем м2, тогда .Найдем производную этой функции:     ;  ;   Поскольку  при , а  при  , то  – точка минимума (наименьшего знания функции). Значит наименьшие размеры бассейна, заданного объема V=32м³ такие ; y= м.Ответ: 2м; 4м и 4м Как вы видите, производная нужна не только в математике, она является мощным инструментом для решения и физических, экономических, химических задач. 4. Этап обобщения и систематизации знаний и умений. Преподаватель предлагает вспомнить алгоритм исследования функций с помощью производной, раздает листочки с этапами алгоритма и поручает учащимся упорядочить их. (учащиеся предварительно разбиваются на 2 группы), по окончании группы сверяются с правильной последовательностью этапов. Далее обучающиеся исследуют функцию и строят её график (эскиз графика): 1 группа: у = х3 - 6х² + 4  2 группа: у = 2х3 + 3х2 – 1 D(y) = (-∞; +∞) У’ = 6х2 + 6х 6х2 + 6х = 0 Функция возрастает на промежутках  и  Функция убывает на промежутке  .Группы защищают свою работу, за каждое правильное утверждение ставится 1 балл. 5. Подведение итогов урока. Рефлексия. Наш урок подходит к концу. Подведем итоги, просуммируйте все ваши баллы и предлагаю каждому окончить одну из фраз, которую вы видите на экране: - сегодня на уроке… - мне понравилось… - было трудно… - я научился… - Сегодня я узнал… Было интересно… Было трудно… Я выполнял задания… Теперь я могу… Я научился… Я смог… Мне захотелось… Преподаватель ставит баллы, устно оценивает урок, деятельность учащихся, отмечает активных, инициативных студентов и благодарит за урок Производная в физике. Задача №1 Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону s(t) = 3t 2 - 7t + 6. Найдите скорость точки в момент времени t = 6с. Решение: s(t) = 3t2 -7t + 6 Т.к. 𝑣 (t) = s′(t), то 𝑣 (t) = 6t-7. 𝑣 (6) = 36 - 7= 29(м/с) Ответ: 29 м/с. Задача №2 Найдите силу F , действующую на материальную точку массой m , движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t3 - t2 (м) при t = 2 с . Решение: Т.к. 𝑣(t) = s′(t), то 𝑣(t) = 6t2 - 2t. Т.к. a(t) = 𝑣′(t), то a(t) = 12t - 2, a(2) = 24 - 2 = 22(м /c2) Т.к. F = ma, то F = 22m(H). Ответ: 22m H. Производная в химии. Как используют производную в химии? Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Определение: скоростью химической реакции в химии называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от концентрации реагирующих веществ по времени. Формула производной в химии: если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость (t) химической реакции в момент времени t равна производной, т.е. (t) = P'(t) =. Задача №3 Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задаётся зависимостью р( t ) = + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3секунды. Решение: 1) 𝑣 ( t ) = p`( t ) = t + 3, 2) 𝑣 (3) = p`(3) = 3 + 3 = 6(моль/с) Ответ: 6 моль / с Производная в экономике Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление- аппарат для экономического анализа. Производная решает важные вопросы: В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Производная помогает рассчитать производительность труда как производную объёма продукции от времени, т.е. производительность труда П (t) = V / (t) =, где V (t) - объем продукции; Задача №4 Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V(t) = - t3+t2+50t+70. Вычислите производительность труда П(t) через час после начала работы и за час до её окончания. Решение: П(t)=V'(t)=- 2t2 +15 t+50 П(1)=- 2+15 +50=63(ед./ч) П(7)=- 249 + 157 +50=- 98 +105 +50= 57(ед./ч) Итак, к концу рабочего дня производительность существенно снижается. Ответ:63ед./ч и 57ед./ч На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. .    . Контроль знаний Вариант 1
 Контроль знаний Вариант 2
Контроль знаний Вариант 3
Контроль знаний Вариант 4
Производная в физике. Задача №1 Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону s(t) = 3t 2 - 7t + 6. Найдите скорость точки в момент времени t = 6с. Задача №2 Найдите силу F , действующую на материальную точку массой m , движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t3 - t2 (м) при t = 2 с . Производная в химии. Как используют производную в химии? Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Определение: скоростью химической реакции в химии называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от концентрации реагирующих веществ по времени. Формула производной в химии: если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость (t) химической реакции в момент времени t равна производной, т.е. (t) = P'(t) =. Задача №3 Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задаётся зависимостью р( t ) = + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3секунды. Производная в экономике Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление- аппарат для экономического анализа. Производная решает важные вопросы: В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Производная помогает рассчитать производительность труда как производную объёма продукции от времени, т.е. производительность труда П (t) = V / (t) =, где V (t) - объем продукции; Задача №4 Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V(t) = - t3+t2+50t+70. Вычислите производительность труда П(t) через час после начала работы и за час до её окончания. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
