решение мед,бисс. Решение. Пусть вм медиана, af биссектриса, точка р пересечение медиан и (рис. 1). Ясно, что (свойство медиан)

• Название: Решение. Пусть вм медиана, af биссектриса, точка р пересечение медиан и (рис. 1). Ясно, что (свойство медиан)
• Дата: 26.03.2022
• Размер: 429.5 Kb.
• Имя файла: решение мед,бисс.doc
• Тип: Решение; #417938

Медиана и биссектриса треугольника


Задача 1. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла; отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти острые углы треугольника.
Решение. Пусть ВМ – медиана, AF – биссектриса, точка Р – пересечение медиан и (рис.1). Ясно, что (свойство медиан).

Т.к. , то по теореме


Рис. 1
Фалеса . И по свойству биссектрисы имеем равенство

.

Получили, что гипотенуза АВ в два раза больше катета АС. Следовательно, и .

Ответ: , .
Задача 2. Найти площадь такого треугольника, сторонами которого служат медианы треугольника с площадью, равной S.
Решение. Пусть AF, ВМ, СЕ – медианы и Р – их точка пересечения(рис.2).




Рис. 2
Известно, что площадь . Продлим РМ на свою длину, равную , т.е. .

Рассмотрим треугольник АРК. Каждая его сторона равна двум третьим соответствующих медиан, т.е. , , . И подобен треугольнику, сторонами которого служат медианы, и коэффициент подобия равен , а отношение площадей равно . С другой стороны,

.

В итоге искомая площадь равна или .

Ответ: .
Задача 3. Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведенные к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.
Решение. Рассмотрим следующий рисунок(рис.3).

По теореме Пифагора имеем два равенства:

,


Рис. 3


.

Сложим эти равенства и получим, что или .

Для нахождения третьей стороны применим теорему Пифагора и получим равенство:

или , т.е. .

Ответ: .
Задача 4. В прямоугольном треугольнике АВС (АС – гипотенуза) проведены высота BD и медиана ВМ. Отрезок BF делит пополам. Доказать, что BF – биссектриса и .
Решение. Пусть . Тогда и (рис.4).




Рис. 4
Известно, что медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, т.е. и – равнобедренный. Следовательно, . Получили, что и . А это и означает, что BF – биссектриса прямого угла.
Задача 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 16. Медиана, проведенная к боковой стороне, равна . Найти стороны треугольника.
Решение. Рассмотрим следующий рисунок (рис.5).

Применим формулы медианы:

.


Рис. 5


Из условия имеем равенство .

Решим систему:





Избавимся от переменной и получим уравнение:

.

Корни этого уравнения , . Второй корень является посторонним, т.к. противоречит условию . Имеем и .

Ответ: 4, 6, 6.
Задача 6. В треугольнике АВС точка К – середина медианы ВМ. Известно, что , , . Найти СК.
Решение. Пусть и , (рис.6). По условию АК и СК – медианы в треугольниках АВМ и СВМ соответственно. Применим формулу длины медианы для этих треугольников и получим систему уравнений:




Рис. 6


Преобразуем в систему:



Из второго уравнения вычтем первое и получим:

.

В итоге, .


Рис. 7


Ответ: .
Задача 7. Построить биссектрису угла, вершина которого недоступна, т.е. расположена за пределами листа бумаги.
Решение. Возьмем на сторонах угла точки М и N(рис.7) и пусть точка Р – пересечение биссектрис углов M и N.

Так как в треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, то P принадлежит искомой биссектрисе. Аналогично построим точку Q – пересечение биссектрис и . Тогда прямая PQ – искомая биссектриса.
Задача 8. Построить треугольник, если даны две стороны и медиана, выходящие из общей вершины.


Рис. 8

Указание. Построить треугольник со сторонами , и , где , и - длины данных сторон и медианы(рис.8).
Задача 9. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и D пересекают сторону ВС в точках М и К соответственно, а отрезки АМ и DК пересекаются в точке Р. Найти длину стороны ВС, если известно, что АВ = 15 и АР : РМ = 3 : 2.




Рис. 9



Решение. Пусть ВС = AD = (рис.9).

Из подобия треугольников ΔAPD и ΔМPК получаем, что . ΔAВМ и ΔCDK – равнобедренные (по углам). Следовательно, ВМ =15, СК = 15 и ВК = . Получили равенство: ВК + КС = ВС или . В итоге .

Ответ: 18.
Задача 10. В треугольнике АВС биссектриса AF и медиана BM перпендикулярны. Найти площадь треугольника АВС, если длина медианы равна , а длина биссектрисы равна .
Решение. Пусть AF – биссектриса, ВМ – медиана и Р – их точка пересечения (рис.10).

В ΔAВМ биссектриса АР является высотой.




Рис. 10
Следовательно, ΔAВМ равнобедренный и АВ = АМ = , ВР = РМ = . Тогда и МС = .

По свойству биссектрисы получили равенство: .

Следовательно, . И площадь треугольника АВС в три раза больше, чем площадь треугольника ABF(так как у них общая высота из вершины А на прямую ВС). Площадь треугольника ABF равна . В итоге искомая площадь равна .

Ответ: .
Задача 11. В прямоугольном треугольнике медианы к катетам равны и . Найти гипотенузу треугольника.




Рис. 11



Решение. Пусть гипотенуза ВС = , тогда медиана AL из прямого угла равна (рис.11).

Если Р – точка пересечения медиан, то PL = . Ясно, что СР = = (N-середина АВ) и (М - середина АС).

Пусть CN= и ВМ = . Для треугольника ΔВСР применим формулу длины медианы или .

Решим это уравнение и получим, что .

Ответ: 10.
Задача 12. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ = 12, АС = 15, ВС = 18.
Решение. Пусть АМ = -


Рис. 12
биссектриса(рис.12).

По свойству биссектрисы имеем равенство , т.е. ВМ = 8 и МС = 10. применим одну из формул длины биссектрисы и получим равенство , т.е.

Ответ: 10.
Задача 13. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Доказать,


Рис. 13
что и биссектриса равна основанию.
Доказательство.

Рассмотрим следующий чертеж(рис.13). Пусть ВМ = АС = а. Если СМ= , то АВ = , так как треугольник АВС – равнобедренный. Применим формулу длины биссектрисы и получим равенство или ( >0, >0). В итоге , что и требовалось доказать.
Задача 14. В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит , а биссектриса угла при основании равна . Найти длины сторон треугольника.
Решение. Заметим, что углы при основании данного треугольника равны . Если АМ – биссектриса, то и ВМ = АМ = . Треугольник АМС – равнобедренный, т.к. . Получили, что АС = АМ = . Пусть СМ = . Тогда АВ = ВС = + (рис.14).




Рис. 14
По свойству биссектрисы имеем равенство: или . Решим квадратное уравнение и получим, что , <0. следовательно, . И боковые стороны этого треугольника равны .

Ответ: , и .
Задача 15. С помощью циркуля и линейки построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла, который образуют заданные стороны.
Решение. Рассмотрим чертеж ( , – стороны, – биссектриса) (рис.15).

Для решения задачи воспользуемся дополнительным построением (1).

Из подобия и следует, что


Рис. 15
.

С помощью циркуля и линейки можно построить отрезок MF. Затем построим треугольник со сторонами , , .

И искомый треугольник строится (через А проводится прямая параллельно BF и откладывает на этой прямой отрезок ). Очевидно, что треугольник АВС – искомый.

Замечание. Рассмотрим решение данной задачи с помощью другого дополнительного построения (прямая параллельна биссектрисе).

Тогда . Строим . Продолжим FA, и треугольник АВС – искомый.

Замечание. Данную задачу можно решить, используя формулу .

Строим отрезок , строим отрезок . Можно построить отрезок , равный . Получили, что .

Тогда построив прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе , получим угол . Дальнейшее очевидно.