Главная страница
Навигация по странице:

  • Введем понятие нормы матрицы (

  • Лаба. 1 лаба СЛАУ итер (2). Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом итераций Введение Пусть дана система уравнений (10) в обшем систему уравнений (1 0 ) можно представить в виде (1)


    Скачать 154.55 Kb.
    НазваниеРешение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом итераций Введение Пусть дана система уравнений (10) в обшем систему уравнений (1 0 ) можно представить в виде (1)
    Дата15.12.2021
    Размер154.55 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла1 лаба СЛАУ итер (2).docx
    ТипРешение
    #305108


    1. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

    методом итераций

    Введение

    Пусть дана система уравнений


    (10)

    В обшем систему уравнений (10 ) можно представить в виде

    (1)

    Где - матрица коэффициентов системы уравнений, а матрица столбец (свободных членов) системы.

    Начальную систему уравнений можно привести к виду



    Запишем эту систему в матричном виде , или обозначая матрицу через матрицу приходим к виду
    , (2)
    здесь - числовая квадратная матрица -го порядка - заданный вектор столбец, . Выбирается произвольный вектор (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле

    (3)
    Введем понятие нормы матрицы ( ). Норма матрицы символически записывается двумя вертикальными черточками в отличии от абсолютной величины. Первая (по максимальному значению) и вторая (по средне квадратичному) нормы матрицы ( ) вычисляются по формулам

    , .

    Если хотя бы одна из норм меньше единицы, то итерационный процесс сходится.
    Пример пусть определитель матрицы ( )
    ,



    .
    Теорема 1. Если норма матрицы , то система уравнений (2) имеет единственное решение и последовательные приближения (3) сходятся к решению со скоростью геометрической прогрессии.

    Доказательство. Пусть - решение, тогда

    , (4)

    тогда для нормы имеем оценку

    ,

    , поскольку , то

    (5)

    Из (2) однородной системы при вытекает единственное решение, а следовательно, существование и единственное решение систем (2) и (1) при любом .

    Пусть пусть погрешность k- ой итерации , где -решение системы (2). Вычитая (4)-(3) получаем

    (6)

    т.е. , следовательно , где - - ая степень матрицы ,

    - погрешность - ой итерации.

    , (7)

    т.е. норма погрешности не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем .

    Из выражения (7) определяется число необходимых итераций при решении для достижения заданной точности
    . (8)

    Пример. Методом простой итерации решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов



    Система уравнений имеет вид



    Пусть - точное решение, - -ое приближение



    - погрешность нулевого приближения. За погрешность принимается норма столбца . А первая норма основной матрицы составляет

    ,

    итерационный процесс сходится.

    ; ;

    ;

    При достигается точность и итерации производятся по формуле в таблице 1

    При примем , , , .

    А при находим и далее


    Таблица 1











    0

    2,15

    -0,83

    1,16

    0,44

    1

    2,9719

    -1,0775

    1,5093

    -0,426

    2

    3,356

    -1,0721

    1,5075

    -0,7317

    3

    2,3555

    -1,0106

    1,5015

    -0,8111

    4

    3,5017

    -0,9277

    1,4944

    -0,8321

    5

    3,5511

    -0,9563

    1,4834

    -0,8298

    6

    3,5637

    -0,9566

    1,4890

    -0,8332

    7

    3,5678

    -0,9575

    1,4889

    -0,8356

    8

    3,5700

    -0,9573

    1,4880

    -0,8362

    9

    3,5709

    -0,9571

    1,4889

    -0,8364

    10

    3,5713

    -0,9570

    1,4890

    -0,8364


    Сходимость в тысячных долях имеет место уже при .

    Ответ:









    3,5713

    -0,9570

    1,4890

    -0,8364



    Задании по лабораторной работе №1. Решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов итераций.

    №1.

    №2.



    №4.

    №5.

    №6.

    №7.

    №8.

    №9.

    №10.

    №11.

    №12.

    №13

    №14.

    №15.

    №16.

    №17.

    №18.

    №19.

    №20.

    №21.

    №22.

    №23

    №24.

    №25.

    №26.

    №27.

    №28.

    №29.

    №30.


    написать администратору сайта