Лаба. 1 лаба СЛАУ итер (2). Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом итераций Введение Пусть дана система уравнений (10) в обшем систему уравнений (1 0 ) можно представить в виде (1)

• Название: Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом итераций Введение Пусть дана система уравнений (10) в обшем систему уравнений (1 0 ) можно представить в виде (1)
• Дата: 15.12.2021
• Размер: 154.55 Kb.
• Имя файла: 1 лаба СЛАУ итер (2).docx
• Тип: Решение; #305108

1. 
   Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
   

методом итераций

Введение

Пусть дана система уравнений

(10)

В обшем систему уравнений (1⁰ ) можно представить в виде

(1)

Где - матрица коэффициентов системы уравнений, а матрица столбец (свободных членов) системы.

Начальную систему уравнений можно привести к виду



Запишем эту систему в матричном виде , или обозначая матрицу через матрицу приходим к виду
, (2)
здесь - числовая квадратная матрица -го порядка - заданный вектор столбец, . Выбирается произвольный вектор (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле

(3)
Введем понятие нормы матрицы ( _). Норма матрицы символически записывается двумя вертикальными черточками в отличии от абсолютной величины. Первая (по максимальному значению) и вторая (по средне квадратичному) нормы матрицы ( ) вычисляются по формулам

, .

Если хотя бы одна из норм меньше единицы, то итерационный процесс сходится.
Пример пусть определитель матрицы ( )
,



.
Теорема 1. Если норма матрицы , то система уравнений (2) имеет единственное решение и последовательные приближения (3) сходятся к решению со скоростью геометрической прогрессии.

Доказательство. Пусть - решение, тогда

, (4)

тогда для нормы имеем оценку

,

, поскольку , то

(5)

Из (2) однородной системы при вытекает единственное решение, а следовательно, существование и единственное решение систем (2) и (1) при любом .

Пусть пусть погрешность k- ой итерации , где -решение системы (2). Вычитая (4)-(3) получаем

(6)

т.е. , следовательно , где - - ая степень матрицы ,

- погрешность - ой итерации.

, (7)

т.е. норма погрешности не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем .

Из выражения (7) определяется число необходимых итераций при решении для достижения заданной точности
. (8)

Пример. Методом простой итерации решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов



Система уравнений имеет вид



Пусть - точное решение, - -ое приближение



- погрешность нулевого приближения. За погрешность принимается норма столбца . А первая норма основной матрицы составляет

,

итерационный процесс сходится.

; ;

;

При достигается точность и итерации производятся по формуле в таблице 1

При примем , , , .

А при находим и далее


Таблица 1

0	2,15	-0,83	1,16	0,44
1	2,9719	-1,0775	1,5093	-0,426
2	3,356	-1,0721	1,5075	-0,7317
3	2,3555	-1,0106	1,5015	-0,8111
4	3,5017	-0,9277	1,4944	-0,8321
5	3,5511	-0,9563	1,4834	-0,8298
6	3,5637	-0,9566	1,4890	-0,8332
7	3,5678	-0,9575	1,4889	-0,8356
8	3,5700	-0,9573	1,4880	-0,8362
9	3,5709	-0,9571	1,4889	-0,8364
10	3,5713	-0,9570	1,4890	-0,8364

Сходимость в тысячных долях имеет место уже при .

Ответ:

3,5713	-0,9570	1,4890	-0,8364

Задании по лабораторной работе №1. Решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов итераций.

№1.

№2.

№

№4.

№5.

№6.

№7.

№8.

№9.

№10.

№11.

№12.

№13

№14.

№15.

№16.

№17.

№18.

№19.

№20.

№21.

№22.

№23

№24.

№25.

№26.

№27.

№28.

№29.

№30.