Геометрия. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике
 Скачать 31.65 Kb.
|
|
Билет №1
5. sin²α + cos²α = 1 2.) Согласно теореме о внешнем угле треугольника, искомый угол равен сумме углов не смежных с ним Билет№2 1.) 1. I. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. II. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. III. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. 2.) Параллелогра́мм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб Билет№3
2. Билет№4
Свойство 1. Площадь фигуры является неотрицательным числом. Свойство 2. Площади равных фигур равны. Свойство 3. Если фигура разделена на две части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей образовавшихся частей. Формула площади прямоугольника SABCD=ab a-длина прямоугольника b-ширина прямоугольника Формула площади параллелограмма S=ah a-основание h-высота
Билет№5 Диагонали прямоугольника обладают такими свойствами
Билет№6 1.)Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат — правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Свойства прямоугольника 1. Противоположные стороны равны. 2. Все углы равны. 3. Диагонали равны 4. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 5. Диагонали делят прямоугольник на две равных треугольника 6. Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180°. Признаки 1. Если в параллелограмме все углы равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 2. Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником. 3. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 4. Если в четырехугольнике три угла прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником. 5. Если в четырехугольнике все углы равны, то этот четырехугольник является прямоугольником Свойства Ромба Ромб обладает 4-мя свойствами параллелограмма + 2 собственных: 1. Сумма углов при соседних вершинах ромба равна 180°. 2. Диагональ разбивает ромб на два равных треугольника. 3. У ромба противоположные углы равны 4. . Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. 1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 2. Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов. Признаки 1. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб. 2. Если у параллелограмма одна из диагоналей лежит на биссектрисе угла, то этот параллелограмм - ромб. Билет№7 2.) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. II. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. III. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны. Билет №8 1.) 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными: 2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны: 3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны: 4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны: 5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны: 2.) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Билет№9
Остроугольный треугольник Тупоугольный треугольник Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Билет№10 1 Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая. 2 Теорема Пифагора — сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный Билет №11 1Катет лежащий напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.2Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.Доказательство.Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OB как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника. Теорема доказана.Билет№121 Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Биссектри́са угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла.Высота в элементарной геометрии — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на продолжение основания. 2 Теорема косинусов : квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.Билет№131) Треуго́льник -геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.Неравенство треугольника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах это одно из интуитивных свойств расстояния.2) Круг — множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга — o) на расстояние, не превышающее заданное .Круговой сектор — геометрическая фигура, часть круга, ограниченная двумя радиусами.Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой)Билет№141)Трапе́ция — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны.Виды трапеции: равнобедренные трапеции, прямоугольные трапеции,произвольные трапеции.S=½h(a+b)2) Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.Билет№151) Параллелогра́мм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.Противолежащие стороны попарно равныПротиволежащие углы равныДиагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополамПротиволежащие стороны попарно параллельныСумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180градусовКаждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника2) 1 Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.2 Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.Билет№161, берем линейку и чертим произвольный отрезок2, берем циркуль, и возьмем раствор циркуля немного большеполовины3, с первого конца отрезка чертим дугу (на этом отрезке ) анологично со второго конца4, на пересечение этих двух дцг и будет середина отрезка2) Свойства прямоугольного треугольника:1. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.Билет№171) Треугольники называют равные, если они при наложении совпадают.Треугольники могут быть равны -по двум сторонам и углу между ними -по стороне и двум прилежащим к ней углам -по трем сторонам 1 Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.2 Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.2) Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается, либо дополняет половину центрального угла до 180ТЕОРЕМА: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опираетсяпусть уг.ABC - вписанный угол окружности с центром O, опирающийся на дугу AC. Докажем, что ABC=1/2 дуги AC. Есть 2 возможных варианта расположения луча BO относительно уг.ABC1) луч OB совпадает с одной из сторон угла ABC, например со стороной BC. В этом случае дугаAC меньше полуокружности, поэтому уг.AOC=дуге AC. Так как угол AOC - внешний угол равнобедренного треугольника ABO, ф углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то уг.AOC=уг.1+уг.2=2 уг.1Отсюда следует, что 2 уг.1=дуг.AC или уг.ABC=уг1=1/2 дуги AC2) луч BO делит угол ABC на два угла. В этом случае луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D. Точка D разделяет дугу AC на две дуги: дуга AD и дуга DC. По доказонному в номере один, уг ABD=1/2 дуги AD и угDBC=1/2 дуги AD+1/2 дугиDC. Складывая эти равенства попарно, получаем: угABD+DBC=1/2 дугAD+1/2 дугDC, или угABC=1/2 дугиACБилет№181) В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Скаля́рное произведе́ние (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами, результатом которой является число , не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними2) S=1/2a*hS=√p(p-a)(p-b)(p-c)P=a+b+c/2S=1/2a*b*sina |