СОПРОМАТ. Сопротивление материалов. Введение
 Скачать 1.44 Mb.
|
|
1 Сопротивление материалов. Введение В процессе эксплуатации машин и механизмов всякий элемент конструкции в ре- зультате действия на него внешних сил изменяет в той или иной степени свои первона- чальные размеры форму, т.е. деформируется. Указанные изменения могут привести либо к разрушению элементов, либо к недо- пустимому искажению его формы и размеров. Чтобы этого не произошло необходимо правильно выбрать материал и сечение каждого элемента конструкции в зависимости от характера действия сил и условия эксплуатации. Основание для этого дает наука – со- промат, в которой изложены инженерные методы расчета элементов сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Под прочностью понимается способность конструкций, ее частей и деталей вы- держивать максимальную нагрузку, не разрушаясь. Под жесткостью понимается способность конструкции и ее элементов выдержи- вать максимальную нагрузку в отношении деформации, т.е. при заданных нагрузках де- формация не должна превышать какой-то предельной величины. Устойчивостью называется способность конструкции и ее деталей выдерживать максимальную нагрузку сохраняя первоначальную форму равновесия. Основной задачей науки сопромата является разработка надежных и наиболее эко- номичных в отношении стоимости и веса деталей, а также отдельных элементов и изде- лия в целом. Расчет является тем надежнее, чем он ближе отражает реальную работу де- тали и изделия. Нагрузки Силы, действующие на элемент конструкции, в сопромате называются нагрузками. Сопротивление тел действию, приложенных к ним внешних нагрузок обуславливается наличием в теле особых внутренних сил, т.е. сил межмолекулярного взаимодействия. Иными словами, изменение внешних сил приводит к изменению сил внутренних и это изменение внутренних сил в сопромате называется усилием. Для определения величины внутренних усилий используется метод сечений. Пусть имеется тело, на которое действует внешняя нагрузка. Мысленно рассечем это тело в интересующем нас сечении плоскостью 1. Раздви- нем это тело и условно отбросим одну из его ча- стей. В месте сечения тело находилось в равнове- сии под действием внутренних сил P лев.части =P прав.части , которые равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, для того, чтобы тело находилось в рав- новесии оно должно быть нагружено внешними нагрузками F и внутренними F в , которые для одной из частей тела яв- ляются уже внешними. Для их определе- ния можно использовать уже уравнение статики. Используя теорию приведения, 2 все силы можно привести к одной центральной силе F и к одному моменту М. Эти вели- чины называются главной силой и главным моментом. Разложим их по осям, при чем оси y и z находятся в плоскости сечения, а ось х перпендикулярна сечению. Проекция ре- зультирующих сил на оси x, y, z обознача- ется: z z y y Q R Q R поперечные силы x x N R - продольная сила. Соответственно, проекция момента на ось х: кр x M M - крутящий момент; изг z x M M M M изгибающие моменты. Действие на тело продольной силы N x приводит к растяжению или сжатию, дей- ствие поперечных сил Q y , Q z приводит к сдвигу одной части тела относительно другой. М кр → к кручению; М изг → к изгибанию. Возникновение сразу нескольких сил на элемент приводит к сложным видам де- формации. Напряжения Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению необхо- димо ввести меру их интенсивности. За такую меру принимается напряжение. Единица напряжение – 1 Па. Рассмотрим сечение некоторого тела: точка К В окрестности точки К выделим площадку ∆S, в преде- лах которой выявлена внутренняя сила ∆F. За среднее напря- жение в этой площадке: S F P ср Если мы будем уменьшать эту площадку ∆S→0, то в пределе возьмем отношение S F lim 0 S , то получим полное напряжение в токе К сечения ∆S→0. Разложим полное напряжение на составляющие. Ось х идет по нормали к плоскости сечения, а y и z находятся в плоскости, получим: - проекцию полного вектора на нормаль, в сопромате обозначается P x =σ – нормальное напряжение; - проекция полного напряжения, находящаяся в сече- ния, обозначается и называется касательным напряжением P y = y и P z = z 3 Если через точку К провести другую площадку, то величина полного напряжения будет другим. Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через точку, называется напря- женным состоянием в точке. Для определения этого напряжен- ного состояния в окрестностях исследуемой точки выделяют эле- мент в виде бесконечно малого параллелепипеда, на грани кото- рого воздействуют силы, которые подразделяются на нормальные и касательные. На невидимых гранях действуют такие же напря- жения. Поворачивая параллелепипед, мы изменим соотношение этих напряжений и в ко- нечном итоге можно добиться такого положения, в котором касательные напряжения на гранях равны нулю. Грани, на которых τ=0, называются главными площадками, а дей- ствующее при этом напряжение, называется главным. При этом возможны три частных случая: 1) напряжение действует только в одной плоскости. Такое напря- женное состояние называется одноосным или линейным. 2) Двухосное или плоское напряженное состояние 3) Трехосное или объемное напряженное состояние На практике чаще всего сталкиваются с третьим случаем, а для упрощения расче- тов применяют первый или второй случаи. Основные допущения, принятые в сопромате 1) однородность материала: предполагается, что все частицы тела обладают оди- наковыми свойствами независимо от размеров тела; 2) изотропность – свойства тела во всех направлениях одинаковы; 3) сплошности – вещество непрерывно заполняет объем тела, пустоты отсут- ствуют; 4) принцип независимости действия сил (суперпозиции); 5) деформация и усилия, возникающие в упругом теле, считаются независимыми от порядка приложения внешних сил, т.е. результирующая деформация получа- ется, как сумма найденных от действия каждой из этих сил; 6) гипотеза об идеальной упругости материала – тело полностью восстанавливает свои формы и размеры после устранения причины, вызвавшей деформации; 7) допущение о малости деформации – деформации настолько малы по сравнению с размерами тела, что не оказывают существенного влияния на расположение нагрузок; 8) допущение о линейной зависимости между деформацией и нагрузками, т.е. пе- ремещения, являющиеся результатом деформации, прямо пропорционально вы- звавшим их нагрузкам; 4 9) принцип начальных размеров, т.е. при составлении уравнения равновесия тело рассматривается как недеформированное; 10) принцип Сен-Венана. Конструктивные элементы машин Любой сложный механизм, как правило, можно разложить на простейшие эле- менты. В сопромате таких элементов два: это брусья и оболочки. Брус – элемент конструкции, у которого один размер (длина) значительно больше остальных. Основные геометрические характеристики бруса – поперечное сечение и ось. Ось бруса – воображаемая линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений. Брус с прямолинейной осью называется стержнем. Оболочки – тела, ограниченные криволинейными поверхностями, расположен- ными на близком расстоянии друг от друга. У этих элементов также один размер больше остальных (толщина). Плоские оболочки называются плитами или пластинами. Растяжение и сжатие Под растяжением понимают такой вид нагружения, при котором в поперечном се- чении бруса возникает только нормальное напряжение, а все прочие силовые факторы равны нулю. Пусть имеется брус длинной ℓ 0 с размером поперечного се- чения a 0 . Если к брусу приложить усилие F, то он получит абсолютное удлинение: 0 к При этом относительное удлинение: % 100 0 (1) При растяжении/сжатии стержня изменяются и его поперечные размеры. Относи- тельная поперечная деформация бруса: % 100 a a a ' 0 к 0 Относительная продольная и поперечная деформация связаны между собой коэф- фициентом Пуассона: ' Данная величина зависит от материала. Рассечем стержень некоторым сечением A-A и отбросим одну из его частей. Стержень будет находиться в равновесии под действием внут- ренних сил N, которые можно найти как: S N где S – площадь поперечного сечения. Напряжения можно найти как: S F S N (2) 5 Экспериментальные исследования показывают, что для любых материалов дей- ствующее напряжение пропорциональны деформации, т.е. выполняется закон Гука для растяжения: E (3) где Е – модуль упругости 1 рода. Характеризует упругие свойства материалов. За- висит от материала (величина справочная). Если объединить и преобразовать формулы (1), (2) и (3), то получим вторую фор- мулу записи закона Гука для растяжения S E F Здесь в знаменателе S E – жесткость бруса при растяжении. В случае действия только сил, приводящих к растяжению, условие прочности при растяжении имеет вид: р max р max р S F где [σ р ] – допускаемое напряжение на растяжение (берется из таблицы, зависит от материала, из которого изготовлена деталь, а также от метода термообработки). Примечание: здесь и далее все, что в квадратных скобках – это допустимые вели- чины. Механические характеристики материалов. Диаграмма растяжения Работоспособность конструкционных материалов при различных видах нагруже- ния определяется величинами, которые называются механическими характеристиками: прочность, твердость, упругость, пластичность и т.д. Все эти характеристики получаются экспериментально, путем испытания образцов. Наиболее распространенное испытание – это испытание на растя- жение, т.к. оно позволяет определить большое количество механиче- ских характеристик. Испытанию обычно подвергаются круглые об- разцы с отношением ℓ/d=10 или 5, а также плоские образцы. При испы- тании получается зависимость, которая называется диаграммой растя- жения. Участок I (OA) – величина де- формации на нем пропорциональная равна нагрузке, действует закон Гука, если в этой зоне снять нагрузку, то образец полностью воз- вратится в исходное положение. Участок II (АВ) – деформации остаются упругими, хотя если снять нагрузку, то образец получит какое-то остаточное удлинение. Участок III (BC)деформации имеют уже неупругий характер и начина. В этой зоне происходит перестройка кристаллической решетки и данный участок называется пло- щадкой текучести. Если снять нагрузку, то образец не вернется в исходной состояние. 6 Участок IV (CD) – происходит дальнейшее удлинение образца, но при увеличении нагрузки. Их соотношение носит снова линейный характер. На данном участке происхо- дит упрочнение образца. снять нагрузку, то образец не вернется в исходной состояние. Участок V (DE). Происходит образование шейки – утончение образца и в точке E разрушение. Нагрузка па- дает, вследствие уменьшения поперечного сечения образца (шейкой). Выше показана диаграмма для пластичного материала. Для хрупкого имеет вид без площадки текучести. Диаграмма растяжения дает следующие характеристики: 1. Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности и он обозначается S F пц nц ; 2. Напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличе- ния нагрузки, называется пределом текучести S F т Т ; 3. Отношение наибольшей нагрузки к первоначальной площади поперечного сече- ния образца называется пределом прочности или временным сопротивлением разруше- нию S F в max С диаграммы можно получить и характеристики пластичности. 1. Относительное удлинение при разрушении % 100 0 0 к , где ℓ к - длина об- разца при разрушении; ℓ 0 – начальная длина; 2. Относительное сужение образца % 100 S S S 0 к 0 , где S 0 – площадь начального сечения; S к – площадь образца в районе шейки непосредственно перед разрушением. Твердость. Твердость материала – это его способность сопротивляться механическому про- никновению в него других тел. Для определения твердости используют три основных метода: Бринелль, Роквелл и Виккерс. 7 Измерение твердости по Бринеллю: индентором является металли- ческий шарик, который вдавливается в поверхность с определенной нагрузкой. О величине твердости судится по диаметру отпечатка. Числа твердости – это отношение нагрузки, с которой вдавливается шарик в поверхность образца к площади полученного отпечатка. S F HB , Н – твердость (Hardness), В – Бринелля. На чертежах деталировок обозначается: НВ200–230. Измерение твердости по Роквеллу: вдавливается алмазный конус (или шарик) с определенными нагрузками (сначала предварительная, потом добавляется основная и после выдержки, снимается основная). О величине твердости судится по глубине отпечатка. На чертежах деталировок обозначается: HRC20…23. H – твер- дость; R – Роквелл; C – вид шкалы (всего по Роквеллу 9 шкал) Метод Виккерса: индентор правильная четырехугольная алмазная пирамидка. О величине твердости судится по диагонали отпечатка. Ис- пользуется, как правило, для измерения поверхностного слоя. На чертежах деталировок обозначается: HV100…120. Метод Бринелля используется для определения твердости образ- цов с твердостью до HB450 (при использовании твердосплавного шарика до HBW850. Роквелл может использоваться для любых материалов. Соотношение между методами не стандартизован, однако HB≈10·HRC, а в шкалу Виккерса можно условно переводить по таблицам. Запасы прочности. Для обеспечения нормальной работоспособности детали необходимо, чтобы фак- тически существующие напряжения не превышали каких-то допустимых значений, т.е., чтобы выполнялось условие прочности, например, для растяжения р max max S F Допускаемые напряжения обычно выражаются в долях опасного n оп , т.е. для хрупких материалов σ оп равняется пределу прочности σ в , для пластичных - равняется пре- делу текучести σ т , n – коэффициент запаса прочности (коэффициент нашего незнания). Этот коэффициент вводится потому, что при составлении расчетных схем никогда не учитывается воздействие всех факторов на тело (расчеты не точны). Также не учитыва- ются случайные факторы, воздействующие на тело (снеговая, ветровая нагрузка). Вели- чина коэффициента запаса прочности зависит: 1) от точности и достоверности расчетов; 2) от того, на сколько они точно, реально отражают нагрузки на конструкцию; 3) от степени ответственности конструкции: для неответственных конструкций n = 1,1 – 1,5. 8 Для конструкций, от которых зависит безопасность людей n=5 или 6. Если изделие состоит из нескольких узлов, коэффициенты запасов прочности которых определены, то результирующий запас определяется как их произведение i n 1 i n П n Напряжения на площадке, расположенной под углом к действующей нагрузке При растяжении и сжатии в сечениях, расположен- ных перпендикулярно действующей силе, возникают нор- мальные напряжения, величина которых S F Однако, если взять площадку, расположенную под некоторым углом α, то ее площадь будет равна cos S S На эту площадку будет действовать полное напряжение: cos S cos F P Это напряжение можно разложить на две составляющие, нормальную: 2 cos cos P касательную: 2 sin 2 cos sin sin p Таким образом, зная нормальное напряжение σ в поперечном сечении, можно опре- делить напряжение в любой площадке сечения. Частные случаи: - если α=0, тогда σ α =σ, τ α =0; - если α = 90º, то σ α =0, τ α =0; - если α = 45º, то σ α =σ/2, τ α =σ/2. То есть, можно сделать вывод, что максимальные касательные напряжения возни- кают в площадках под α=45º. А если взять α=135º получим, что τ 45 =-τ 135 , т.е. касательные напряжения, возникающие в двух взаимно перпендикулярных сечениях, всегда равны по величине, но противоположно направлены. Этот закон называется законом вероятности касательных напряжений. 9 |