ОТУ_Поляков_Часть2_2009. Теория автоматического управления для чайников Часть ii. Управление при случайных
 Скачать 1.41 Mb.
|
|
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» Часть II. Управление при случайных возмущениях. Оптимальные линейные системы К.Ю. Поляков Санкт-Петербург 2009 © К.Ю. Поляков, 2009 2 «В ВУЗе нужно излагать материал на высоком профессиональном уровне. Но поскольку этот уровень проходит значительно выше головы среднего студента, я буду объяснять на паль- цах. Это не очень профессионально, зато по- нятно». Неизвестный преподаватель Предисловие Эта методичка – вторая часть «Теории автоматического управления для чайников». Пред- полагается, что первая часть уже прочитана и понята. Основное содержание второй части – слу- чайные процессы в системах автоматического управления и оптимальные линейные системы. Задача автора – объяснить «на пальцах» основные понятия теории и подготовить читателя к восприятию профессиональной литературы в этой области. Нужно рассматривать это пособие только как первую ступень в изучении предмета, который может стать очень интересным и ув- лекательным. Список существующих учебников и монографий по теории случайных процессов и опти- мальным системам управления огромен. Тем не менее, осваивать серьезную литературу совре- менному студенту сложно. Мозг при восприятии новой информации ищет что-то знакомое, за что можно «зацепиться», и на этой основе «привязать» новое к уже известным понятиям. А ес- ли такая «зацепка» не обнаруживается – просто отключается. В большинстве серьезных трудов материал излагается на высоком научном уровне, гра- мотно, точно и полно. Но читать их очень сложно, потому что такой задачи – написать понятно – не ставилось изначально. Как правило, в основе любой научной теории лежат достаточно простые и понятные идеи. Однако, со временем они «накрываются» таким математическим аппаратом, что читатель- новичок вязнет в нем, не добравшись до самих идей, которые авторам учебников кажутся оче- видными. Автор этого пособия своей основной задачей считал написание понятной книжки, в которой обсуждению идей отводится ведущее место. При любом улучшении приходится чем-то жертвовать. В данном случае в жертву были принесены строгость и полнота изложения. Математик найдет здесь много недоговоренностей и упущений, поскольку (в соответствии с целями пособия) между строгостью и понятностью выбор всегда делается в пользу понятности. Кроме того, были отброшены все второстепенные (на взгляд автора) результаты, о которых на первых порах можно не говорить без существенно- го ущерба для результатов инженерной практики. Сознательно ничего не было сказано о решении рассматриваемых задач с помощью моде- лей в пространстве состояний. Переход в пространство состояний позволяет исследовать про- цессы в более общем виде, но одновременно скрывает (и теряет) важные структурные свойства системы. Например, с помощью моделей в пространстве состояний очень сложно выявить мно- гие особенности задачи синтеза оптимальных регуляторов, которые «лежат на поверхности» при использовании классического (частотного) подхода. Основная часть примеров связана с судовыми системами управления, что определяется личными вкусами автора. Специально для студентов-судостроителей написана глава «Морское волнение», в которой собраны базовые сведения по этой теме. От читателя требуются небольшие предварительные знания. Нужно иметь представление о некоторых разделах курса высшей математики: теории вероятностей, производных и интегра- лах, комплексных числах. Благодарности Автор выражает глубокую признательность к.т.н. В.Н. Калиниченко, который вниматель- но прочитал предварительную версию пособия и высказал много ценных замечаний, которые позволили улучшить изложение и сделать его более понятным. © К.Ю. Поляков, 2009 3 Содержание 1. С ЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ .....................................................................................................................................4 1.1. Что такое случайное событие?..........................................................................................................4 1.2. Случайные величины..............................................................................................................................4 1.3. Гистограмма распределения................................................................................................................4 1.4. Плотность распределения вероятностей..........................................................................................5 1.5. Средние значения...................................................................................................................................7 1.6. Какие бывают распределения?............................................................................................................8 2. С ЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ .................................................................................................................................11 2.1. Что такое случайный процесс?.........................................................................................................11 2.2. Стационарность.................................................................................................................................12 2.3. Эргодичность ......................................................................................................................................12 2.4. Корреляционная функция....................................................................................................................13 2.5. Спектральная плотность ..................................................................................................................14 2.6. Гармонический сигнал.........................................................................................................................16 2.7. Белый шум............................................................................................................................................17 3. О ЦЕНКА И МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ .................................................................................19 3.1. Оценка корреляционной функции.......................................................................................................19 3.2. Оценка спектральной плотности .....................................................................................................19 3.3. Прохождение случайных сигналов через линейные системы..........................................................24 3.4. Моделирование случайных сигналов ..................................................................................................26 4. М ОРСКОЕ ВОЛНЕНИЕ ......................................................................................................................................31 4.1. Что такое морское волнение?...........................................................................................................31 4.2. Кажущиеся спектры ..........................................................................................................................33 4.3. Моделирование действия морского волнения на судно....................................................................36 5. О ПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ...........................................................................39 5.1. Что такое оптимальная система? ..................................................................................................39 5.2. Оптимальная фильтрация .................................................................................................................39 5.3. Оптимальное управление в замкнутых системах............................................................................44 5.4. Стандартная система.......................................................................................................................46 5.5. Особенности задачи оптимизации....................................................................................................48 5.6. Кривая качества..................................................................................................................................50 6. О ПТИМАЛЬНЫЕ СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ...........................................................................................................52 6.1. Постановка задачи .............................................................................................................................52 6.2. Теорема Парсеваля..............................................................................................................................53 6.3. Эквивалентность двух задач .............................................................................................................53 6.4. Разомкнутые системы.......................................................................................................................54 6.5. Замкнутые системы...........................................................................................................................56 З АКЛЮЧЕНИЕ ..........................................................................................................................................................58 Л ИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ЧТЕНИЯ ..........................................................................................................59 © К.Ю. Поляков, 2009 4 1. Случайные события 1.1. Что такое случайное событие? Случайное событие – это такое событие, которое может произойти или не произойти, причем это можно выяснить только в результате опыта. Основная характеристика случайного события – это его вероятность, то есть, частота по- явления события в большой серии опытов. Вероятность события – это знания, которые у нас есть до проведения опыта 1 Если в большой серии из N опытов событие X случилось X n раз, можно говорить о том, что вероятность появлении события ) (X P примерно равна N n X P X ≈ ) ( Это приближенное равенство (теоретически) превращается в точное при стремлении чис- ла опытов N к бесконечности. Например, если из партии в 1000 автомобилей 50 имеют дефек- ты (а остальные – исправны), то вероятность купить дефектный автомобиль, выбрав его наугад из этой партии, составляет 5%. 1.2. Случайные величины Говоря о случайных событиях, мы рассматриваем только два варианта, «случилось» или «не случилось». Однако часто результаты эксперимента можно выразить в виде числа, количе- ственно. Предположим, что нас интересует сопротивление резисторов, купленных в магазине. Но- минальное значение сопротивления, равно, например, 100 Ом. Однако, при изготовлении всегда есть допуски, то есть, разрешенные отклонения от номинала. Например, при допуске ± 3% со- противление взятого наугад резистора может быть любым числом в интервале от 97 до 103 Ом. Это – случайная величина. В общем случае интервал может быть и бесконечным, например, от 0 до бесконечности. 1.3. Гистограмма распределения Разобьем интервал на несколько равных частей (по- дынтервалов), выберем случайным образом N резисто- ров, измерим их сопротивления и подсчитаем, сколько резисторов «попали» в каждый интервал. Изобразим эти данные на столбчатой диаграмме, где высота каждого столбика – это количество резисторов в данном интерва- ле. Это – гистограмма распределения случайной величи- ны. В данном случае по гистограмме мы сразу видим, что больше всего резисторов имеют сопротивление от 100 до 101 Ом. На гистограмме можно показывать не только количество, но и долю резисторов, попавших в данный интервал. Например, если 100 резисторов из 1000 имеют сопротивление от 97 до 1 В науке такие сведения принято называть априорными (лат. a priori, до опыта). 97 98 99 100 101 102 103 x , Ом n ∆ © К.Ю. Поляков, 2009 5 98 Ом, их доля составляет 0,1 от общего числа (10%). Тогда высоту соответствующего (перво- го) столбика гистограммы можно сделать равной 0,1. При этом сумма высот всех столбиков бу- дет равна 1 (или 100%). Кроме того, в данном случае мы выбрали ширину интервала 1 = ∆ , поэтому площадь всех столбиков также будет равна 1. В этом случае гистограмма называется нормированной. В ней высота столбика с номером i равна ∆ ⋅ N n i , где i n – число резисторов, «попавших» в i -ый ин- тервал, а N – их общее количество. 1.4. Плотность распределения вероятностей Теперь уменьшим ширину интервала ∆ в 2 раза и увеличим в 2 раза N , так чтобы произ- ведение ∆ ⋅ N осталось постоянным. Фактически каждый исходный интервал мы разбили на 2 равных подынтервала (рисунок слева). Через 11 n и 12 n обозначим количества резисторов в пер- вом и втором подынтервалах. Поскольку общее количество резисторов удвоилось, в интервал ] 98 ; 97 [ (то есть в два новых по- дынтервала) попало примерно в 2 раза больше резисторов, то есть, 1 12 11 2n n n ≈ + . Поэтому вы- сота обоих столбиков будет (скорее всего) близка к тому, что было раньше. Мы только уточни- ли распределение резисторов внутри исходного интервала ] 98 ; 97 [ Такое деление можно выполнять и для нормированной гистограммы (с единичной площа- дью). В пределе при 0 → ∆ (и ∞ → N ) мы получаем прямоугольники бесконечно малой шири- ны. Через их «вершины» можно провести некоторую линию. Она представляет собой график функции, которую называют плотностью распределения вероятностей (или просто плотно- стью распределения) случайной величины X и обозначают ) (x f (здесь x – одно из допусти- мых значений случайной величины X ). Так как выполняется условие нормировки, площадь под этой линией равна 1, она может быть вычислена как интеграл от функции ) (x f на всем множестве ее допустимых значений. Если заранее известно, что величина x находится в некотором интервале ] ; [ b a , получаем 1 ) ( = ∫ b a x f . В общем случае (если случайная величина может принимать любые вещественные значения), справедлива формула 1 ) ( = ∫ ∞ ∞ − dx x f 97 98 99 100 101 102 103 x , Ом ) (x f 97 98 x , Ом 97 98 x , Ом 1 n 11 n 12 n © К.Ю. Поляков, 2009 6 Интеграл от ) (x f на некотором интервале ] ; [ 2 1 x x определяет вероятность того, что случайная величина x при очередном испытании окажется в этом интервале, то есть выполнится неравен- ство 2 1 x x x ≤ ≤ Чему же равна вероятность точного равенства 1 x x = для некоторого заданного 1 x ? Чтобы ее найти, нужно взять интеграл dx x f x x ∫ 1 1 ) ( . Поскольку верхний и нижний пределы интегрирова- ния совпадают, для «обычных» функций такой интеграл равен нулю, то есть, в рассмотренном выше примере вероятность выбрать наугад резистор с сопротивлением 100 Ом равна нулю. Может ли интеграл dx x f x x ∫ 1 1 ) ( быть ненулевым? Оказывается да, но для этого функция ) (x f в точке 1 x должна быть бесконечной. Этим свойством обладает, например, так называе- мая дельта-функция (или функция Дирака) ) (x δ , которая определяется так: 1 ) ( 0 , 0 , 0 ) ( = ⎩ ⎨ ⎧ = ∞ ≠ = ∫ ∞ ∞ − dx x x x x δ δ Дельта-функция равна нулю во всех точках, кроме 0 = x , где она обращается в бесконечность, причем интеграл от нее по всей оси равен 1. Когда плотность вероятности может содержать дельта-функции? Предположим, что мы измеряем сигнал x на выходе цифрового устройства, который может принимать только два значения, например, 0 или 1. Такой сигнал, принимающий значения только из заранее заданно- го множества, называется дискретным. Пусть вероятность появления нуля равна 0,4, а вероятность появления единицы – 0,6. По- пытаемся построить плотность распределения этого сигнала, используя интуитивные сообра- жения («здравый смысл»). Во-первых, сигнал не может принимать другие значения, кроме 0 и 1, поэтому плотность вероятности равна нулю везде, за исключением этих двух точек. Во-вторых, вероятность того, что 0 = x ненулевая (равна 0,4), и вероятность того, что 1 = x равна 0,6. Таким образом, имеем (при любом малом ε ) 4 , 0 ) ( 0 0 = ∫ + − dx x f ε ε и 6 , 0 ) ( 1 1 = ∫ + − dx x f ε ε Отсюда следует, что плотность распределения ) (x f содержит дельта-функции в точках 0 = x и 1 = x (интегралы от которых равны соответственно 0,4 и 0,6) и равна нулю в остальных точках 2 . Иначе говоря, ) 1 ( 6 , 0 ) ( 4 , 0 ) ( − ⋅ + ⋅ = x x x f δ δ Дельта-функцию, имеющую бесконечное значение, на графике обо- значают стрелкой, высота которой равна ее площади (см. рисунок справа). 2 Может случиться и так, что плотность распределения представляет собой сумму «нормальной» функции и дель- та-функций. Например, мы знаем, что в коробке есть 20 резисторов, сопротивление которых точно равно 100 Ом, а сопротивление остальных может быть любым в пределах допуска, от 97 до 103 Ом. 0 x ) (x f 1 0,4 0,2 0,6 © К.Ю. Поляков, 2009 7 |