Технологии моделирования сложных систем управления. Введение Разработка математической модели исходной сау

• Название: Введение Разработка математической модели исходной сау
• Анкор: Технологии моделирования сложных систем управления
• Дата: 07.04.2023
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: Технологии моделирования сложных систем управления.doc
• Тип: Анализ; #1044914

Содержание

Введение……………………………………………………………………………..4

1. 
   Разработка математической модели исходной САУ………………...………..5
   
2. 
   Анализ качества исходной САУ....................................…...……………….......8
   
3. 
   Синтез корректирующих устройств..................................................................11
   
4. 
   Анализ качества скорректированной САУ...................…………...……….....13
   
5. 
   Анализ точности САУ........................................................................................16
   
6. 
   Расчет параметров корректирующих устройств.........…..…………………...18
   

Заключение ………………………………………………………………………...21

Список использованных источников……………………………………………..22

Приложение А

Введение

Теория автоматического управления (ТАУ) изучает методы управления технологическими процессами, общие принципы построения систем автоматического управления (САУ), их расчета, математического моделирования, исследования и настройки. Целью управления является обеспечение требуемого течения процесса в объекте или требуемого изменения его состояния.

Целью выполнения курсовой работы по ТАУ является освоение теоретических методов и получение навыков по применению технологии моделирования сложных систем управления.

Задачи решаемые в курсовой работе :

1. 
   анализ качества исходной САУ;
   
2. 
   синтез методом оптимальных настроек регулятора;
   
3. 
   анализ качества спроектированной САУ;
   
4. 
   анализ точности спроектированной САУ;
   

Выполнение курсовой работы предусматривает получение дифференциального уравнения и передаточной функции объекта управления и его кривой разгона, исследование устойчивости САУ и качества регулирования.

1. Разработка структурной схемы и математической модели САУ

Построим кривую разгона по данным из приложения А таблицы А1 в соответствии с вариантом 1.1. [1, стр. 14]



Рисунок 1 – Заданная кривая разгона

Исходные данные:

1. 
   требуемое время регулирования t_p=30,
   
2. 
   допустимое динамическое отклонение регулируемого параметра от установившегося значения ₁ = 10,
   
3. 
   величина внешнего возмущающего воздействия  = 0,6.
   

Для нахождения передаточной функции разомкнутой системы W(p) аппроксимируем исходную кривую разгона. Для аппроксимации можно выбрать апериодическое звено 2-го порядка или звено чистого запаздывания.

Выберем апериодическое звено 2 порядка, так как оно обеспечивает хороший запас устойчивости по амплитуде и по фазе.

Передаточная функция апериодического звена 2 порядка имеет вид:



Для нахождения значений параметров Т₃и Т₄составим систему уравнений:




Решив систему уравнений, получим: Т₃ = 3,7 и Т₄ = 4,3с.

Коэффициент усиления К=20.

Таким образом, получили передаточную функцию разомкнутой системы:

;

Построим кривую разгона по полученной передаточной функции.

Рассчитаем среднеквадратичное отклонение полученной кривой разгона от заданной:

,

где у_з – заданное значение выходной координаты;

у_р – рассчитанное значение выходной координаты;

N – число экспериментальных точек.

Значение sigma не должно превышать 10.

Для полученных значений можно записать:



Полученное значение sigma меньше 10, значит, кривую разгона можно выразить полученной нами передаточной функцией разомкнутой системы:



ω₁=1/Т₁=0.27 (lg0.27=-0.57 1/c)

ω₂=1/Т₂= 0.23lg= 0.23=-0.63 1/c)

Структурная схема представленной САУ изображена на рисунке 2,

где W₁ – устройство управления:

W₂ – объект управления:



Рисунок 2 – Структурная схема исходной САУ

2 Анализ качества исходной САУ

1. 
   Главная передаточная функция замкнутой системы:
   

2. 
   Передаточная функция по возмущению:
   

Анализ качества системы автоматического управления принято оценивать с помощью следующих показателей – времени регулирования, величины перерегулирования, значения ошибки в установившемся режиме, точности, и числа колебаний регулируемой величины за время переходного процесса.

Интервал времени, по истечении которого отклонение переходной характеристики от установившегося значения не превышает величины d = 5%, называется временем регулирования t_p. Время регулирования является основной характеристикой быстродействия системы, т.е. определяет длительность переходного процесса.



Рисунок 4 – График главной передаточной функции исходной САУ

Анализируя главную передаточную функцию замкнутой системы Ф(р) (рисунок 3), с помощью программного пакета MATLAB, получили следующие характеристики:

Время регулирования t_р = 11,7с.

Величина перерегулирования .

Определим запасы по фазе и амплитуде исходной САУ, используя графики логарифмических частотных характеристик (рисунок 4).



5 – ЛФЧХ и ЛАЧХ главной передаточной функции исходной САУ

Запас по фазе: Δφ(ω)= 28 град.

Запас по амплитуде: ΔL(ω) обеспечен.

Построим график передаточной функции по возмущению (рисунок 5 ):



Рисунок 6 – Кривая переходного процесса по возмущению

Время регулирования t_р=16,2 с.

В таблице 1 приведены показатели исходной и желаемой САУ.

Таблица 1

Показатели качества	Перерегулирование σ , %	Время переходного процесса tp	Коэффициент усиления K
Желаемые	30	30	33.3
Полученные	49.4	11.7	20

Из анализа качества системы автоматического управления видно, что исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества. Повысить качество процесса регулирования можно с помощью синтеза САУ, то есть необходимо изменить динамические свойства системы регулирования с помощью корректирующих устройств.

3 Синтез корректирующих устройств

Повысить качество процесса регулирования можно с помощью синтеза САУ, т.е. изменяя динамические свойства системы регулирования с помощью корректирующих устройств. Динамические свойства системы автоматического регулирования можно улучшить как последовательными, так и параллельными включениями корректирующих устройств.

Рассмотрим синтез САУ с помощью охватывания звеньев с наихудшими показаниями обратной связью с корректирующим устройством.

Построим ЛАЧХ для исходной системы и для желаемой.

Строим ЛАЧХ для располагаемой САУ (приложение А):

На высоте проводим прямую 0 дБ/дек начиная слева и до частоты . Затем от этой точки в том же направлении проводим прямую с наклоном -20 дБ/дек до частоты . Далее от этой точки проводим прямую с наклоном –40 дБ/дек.

Строим ЛАЧХ для желаемой САУ (приложение А):

ЛАЧХ желаемой системы должна соответствовать требованиям качества переходного процесса. Для ее построения, зная желаемое время переходного процесса(t_р=15с) определим необходимую частоту среза ω_ср по формуле:

с^-1,

где – число полуколебаний в процессе. Я взяла .

На частоте среза в области сопряженных частот будет наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек. Протяженность среднечастотной части желаемой ЛАЧХ рассчитывается по формулам: , , (5)

где M – показатель колебательности. Я выбрала М=2,25.

В своей курсовой работе я подбирала такие и М, чтобы скорректированная система удовлетворяла параметрам желаемой САУ.

ω_c1 = ω_с(M+1)/M =0,24(1.5 + 1)/1.5 = 0.35 с^-1,

ω_c2 = ω_с(M-1)/M = 0,24 (1.5 - 1)/1.5 = 0,05 c^-1,

где М = 1,5 – показатель колебательности:

Находим по формулам (5) и :

, т.е. с, с^-1,

, т.е. с, с^-1.

Я выбрала такие сопряженные частоты, с, с^-1, ,

с, с^-1, .

Построив ЛАЧХ исходной и желаемой систем, стоим ЛАЧХ корректирующего устройства: .

Определяем по графику передаточную функцию последовательного корректирующего устройства:

.

находим по графику: .

с определили по ЛАЧХ исходной и желаемой систем, так как с.

Запишем передаточную функцию желаемой разомкнутой системы, зная, что

.

(6)

Определим эту же функцию по графику: , (7)

где .

Исходя из того, что выражения (6) и (7) равны, можно сделать вывод, что является передаточной функцией скорректированной системы.

.

Найдем передаточную функцию самого корректирующего устройства.



.

Проделав математические преобразования, получаем:

.

Построение исходной ЛАЧХ происходит вычитанием из располагаемой желаемой ЛАЧХ:



Передаточная функция скорректированной системы имеет вид определяется по формуле: ,

где W_ск – передаточная функция скорректированной системы.



Рисунок 7 – Структурная схема желаемой САУ (с параллельной коррекцией)

4 Анализ качества скорректированной САУ

Анализ качества скорректированной системы автоматического управления произведем таким же образом, как и в случае исходной системы. Для этого будем использовать показатели качества (время регулирования t_p и величину перерегулирования σ). Для этого построим переходные характеристики скорректированной САУ. Запасы устойчивости по фазе и по амплитуде определим по логарифмическим характеристикам САУ.

Передаточная функция для скорректированной системы:

.

1. 
   Главная передаточная функция:
   

2. 
   Передаточная функция по ошибке:
   

3. 
   Передаточная функция по возмущению:
   

Анализируя главную передаточную функцию скорректированной замкнутой системы (рисунок ), получили следующие характеристики:

Время регулирования t_р =30 с.

Величина перерегулирования .

Передаточная функция скорректированной САУ по возмущению (рисунок):

Проанализировав полученные кривые, заключаем, что скорректированная система удовлетворяет заданным показателям качества и обеспечивает следующие запасы устойчивости, по амплитуде L обеспечен, по фазе  = 83,5⁰

Таблица 2

САУ/Параметры	tр , с	σ, %	, град	L, дБ
Желаемая	12	42	>40	16…20
Экспериментальная	11.3	39.8	83.5	обеспечен

Рисунок 8 – График переходного процесса скорректированной САУ

Время регулирования t_р =16,2 с.

Величина перерегулирования .



Рисунок 9 - ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ.

Запас по фазе: _ж() = 55⁰.

Запас по амплитуде: L_ж() обеспечен.

Рисунок10 - График передаточной функции по возмущению скорректированной САУ

Время регулирования t_р =15,8 с.

6. Расчет элементов корректирующего устройства

Разбиваем передаточную функцию корректирующего устройства (формула 4.6) на типовые корректирующие звенья.



В результате получаем, что корректирующее устройство реализуется последовательным соединением трех звеньев .

1. 
   Интегрирующе-дифференцирующее звено (рис. 6.1)
   

;

где Т₁=(R₀+R₁)C₁; T₂=R₁C₁; [4]

2. 
   Пассивное интегро-дифференцирующее звено (рис.6.2)
   

;

где Т₁=(R₂+R₃)C₃; T₂=R₃C₃; T₃=R₂C₂; T₄=(R₂//R₃)C₂; [4]



рис.6.1 рис.6.2

При расчете следует руководствоваться правилом согласования входных и выходных импедансов : R_вх = 10R_вых,

где R_вых– выходное сопротивление предыдущего контура,

R_вх – входное сопротивление рассчитываемого контура.

При расчете первого звена принимаем выходное сопротивление предыдущего контура R_вых=100 Ом, а R_вх=R₀=1000 Ом (ω_ср=0.4 с^-1).

Далее выходное сопротивление рассчитывается по формуле 6.1.

, (6.1)

Определим номиналы элементов корректирующего устройства для звеньев (Рис. 6.1, 6.2) :

1)Для пассивного интегрирующего звена:



Т₁=(R₀+R₁)C₁; (6.2)

T₂=R₁C₁; (6.3)

где T₂ = 5 с;

Т₁ = 29 с.

Рассчитаем номиналы звена:

С₁ рассчитывается из условия


Откуда получим

Ом,

По формуле (6.1) определяем выходное сопротивление звена:

Ом
2) Аналогично рассчитываются параметры пассивного интегро-дифференцирующего звена

R₂=R_вх(1+2*ω_ср)=347.4 Ом, C₃=(T₁-T₂)/R₂=(5.6-1.6)/347.4=11.5 мФ,

C₂ =T₃/R₂=2/347.4=5.8 мФ, R₃ =T₂/C₃=1.6/0.0115=138.96 Ом,

Для получения требуемого коэффициента усиления в цепь включается усилитель:



Рисунок 6.3 – Неинвертирующий операционный усилитель с обратной связью

Для К_ку=1.67 рассчитаем неинвертирующий операционный усилитель с обратной связью (рис. 6.2).

По формуле 6.1 получили R₄ =258 Ом. Сопротивление R₅ определим из следующего соотношения:

R₅ =(К _ку- 1)*R₄ = (1.67-1)*258 = 172.86 Ом.



Рисунок 11-Электрическая схема корректирующего устройства

2. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ САУ

Точность системы задается и определяется в установившихся режимах.

Передаточная функция по ошибке для располагаемой системы имеет вид:

; (7.1)

Передаточная функция по ошибке для скорректированной системы
; (7.2)

По передаточной функции по ошибке мы можем определить скоростную ошибку (Е_СК). Скоростная ошибка – это ошибка системы, которая при задающем воздействии с постоянной скоростью не будет нарастающей. График передаточной функции по ошибке располагаемой системы показан на рисунке 7.1, а системы после коррекции – на рисунке 7.2. Из графиков определяем, что ошибка располагаемой САУ составляет 0.085, а скорректированной САУ равна 0.06.



Рисунок 12 – Функция по ошибке располагаемой САУ

Е = 0.046





Рисунок 13 – Функция по ошибке скорректированной САУ

Е = 0.0116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель, поставленная перед нами, в курсовом проекте достигнута.

В ходе выполнения курсовой работы было получено дифференциальное уравнение и передаточная функция объекта управления и его кривая разгона, исследована устойчивость САУ. Так как система не удовлетворяла заданным показателям качества, был проведен синтез системы методом ЛАЧХ, задачей которого было подобрать последовательное корректирующее устройство, при котором система удовлетворяла заданным требованиям к ее качеству.

В результате коррекции:

• 
  показатели качества скорректированной САУ (время регулирования t_p, величина перерегулирования σ) практически совпали с желаемыми (таблица 5.1);
  
• 
  полученные запасы по амплитуде и по фазе удовлетворяют требованиям, предъявляемым к САУ по устойчивости;
  
• 
  точность системы увеличилась (Е=0.085, Е_ск=0.06 ) .
  

Т.о. спроектированная система удовлетворяет всем заданным требованиям.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. 
   Методические указания для студентов специальности Т.11.03 “Автоматизация технологических процессов и производств” (Кузьмин Б.П., Иванова И.Д., Волынская Е.Л.) Могилев, ротапринт МТИ, 2000г.
   
2. 
   Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1989.
   
3. 
   Анхимюк В.Л. Теория автоматического управления. Мн.: Вышэйшая школа, 1979.
   
4. 
   Бесекерский В.А. , Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.