Термех. Теорит. механика. Введение. Теоретическая механика представляет собой один из разделов общей механики. Механикой называется естественная наука, которая изучает простейшие формы движения вещества
 Скачать 1.71 Mb.
|
Введение. Теоретическая механика представляет собой один из разделов общей механики. Механикой называется естественная наука, которая изучает простейшие формы движения вещества. Простейшими будем называть простые перемещения частиц вещества или изображения их точек из одного положения в пространстве и времени в другое. Теоретическая механика, являясь частью общей механики, характеризуется тем, что в ней абстрагируются от большинства свойств реальных физических тел и рассматривается механические движения искусственных упрощенных моделей тел, к которым относятся материальная точка, система материальных точек и абсолютно твердое тело. Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь при решении некоторых задач механики. Например, в небесной механики Земля рассматривается как материальная точка. При изучении движения спутника Земли, ее нельзя рассматривать как материальную точку. Так как на движение спутника Земли влияет рельеф местности. Системы материальных точек называется совокупность материальных точек, движения положения которых связаны между собой. Если рассматривать частицу вещества как материальную точку, то можно принять, что все окружающее нас тела являются системами материальных точек. Система материальных точек считается неизменяемой, если ее конфигурация не изменяется во времени и под действием приложенных к ней сил. При этом сохраняется постоянным взаимное расположение составляющих ее точек. В частном случае неизменяемой системой является абсолютно твердое тело. Теоретическая механика отличается от большинства физических свойств тел от молекулярного строения вещества и рассматривает тела как сплошную среду. Абсолютно твердое тело – это не деформирующая сплошная среда и расстояние между точками абсолютно твердого тела остаются неизмененными при его движении. Теоретическая механика изучает общие законы движения твердых тел, отвлекаясь от их деформации. Изучаются наиболее общие свойства тел справедливые для всех агрегатных состояний. По своей структуре теоретическая механика напоминает геометрию и алгебру. В ее основе лежит система аксиом, на которых строятся теоремы, те. законы. В основе теоретической механики лежат основные понятия пространства и время. На математических началах натуральной философии Ньютон ввѐл понятие об абстрактной теории на связанном по своим свойствам сдвижением материалов в нем одинаковых и неподвижных во всей Вселенной, его свойства определяется системой аксиом теоремы Евклида. Время ( согласно Ньютону) протекает равномерно и непрерывно, независимо от внешних факторов. Единственной единицей изменения времени являются звездные сутки. Курс теоретической механики разделяется на 2 части - кинематику - кинетику В кинематике изучают геометрию свойства движения материальных точек и абсолютно твердых тел независимо от физических факторов, вызывающих на этих движениях. Кинематикой называют геометрией движения. Кинетика состоит из статики и динамики. В статике изучают свойства и способы преобразования механических сил, действующих на материальные точки и абсолютно твердое тело. Частной задачей статики является задача о равномерной системе сил, приложенных к материальной точке или телу. Статику называют геометрией сил. В динамике изучают наиболее общее свойство механических движений, движения материальных точек и абсолютно твердых тел рассматриваются в связи механическими взаимодействиями между ними. =i x +j y +k z (c) Найдем вектор скорости, взяв производную повремени) Cравнив правые части выражения си, найдем, что x =xº, y =yº, z =zº (1.13) Формула 1.13 полностью определяет вектор скорости, так как | Направляющие косинусы определяются по формуле с |, cos( )= y /| |, cos ( , )= /| | 3º Определение скорости точки при естественном способе задания движения. Рисунок 8 В этом случае дуговая координата S задается как функция времени. Радиус- вектор т. М изменяется в зависимости от дуговой координаты. Сложная функция времени S = (S(t)) Дифференцируя повремени, получим, что =dr/ds*ds/dt (e) Рассмотрим вектор dr/ds= есть превращение вектора . - превращение вектора в положение r´, а S – изменение при этом дуговой координаты. Если S>0, то направлен по секущей ММ траектории точки, а вектор dr/ds направлен по касательной в сторону увеличения дуговой координаты. Если точка будет двигаться в противоположном направлении, то превращение дуговой координаты S<0 и <0 => >0 dr/ds будет направлен в сторону возрастания S. Вектор dr по ds всегда направлен в сторону положительного отсчета дуговых координат. Рассмотрим длину вектора | dr/ds|= ( )=1 Так, как это предел отношения длины хорды к длине дуги, следовательно, этот вектор единичный, он является центром касательной и обозначают его . = (1.15) Он всегда направлен в сторону возрастания дуговой координаты S. Возвращаясь к определению скорости, получаем, что = (ds(t)/dt) (1.16 a) ds/dt= (1.17) - есть проекция скорости на направление орта = (1.16 b) При этом, >0 Если же направлен в сторону уменьшения дуговой координаты, то <0. Радиус-вектор точки М является сложной функцией от t. Производная — = г, определяется по формуле 1.15. ds Рассмотрим производную — = dr lim At (е) Допустим , что задана ds As —> 0 As точки. рисунок 14. Чтобы найти вектор — предадим дуговой координате положительное приращение As и As найдѐм касательный вектор г в точке М , находящийся на расстоянии As от точки М. После перехода точки М в положение М , вектор г получает приращение Дг так как изменяется направление этого касательного вектора, а его длина таки останется равной 1. Вектор r+Аг перенесѐм в точку М. Вектор Аг определим из треугольника MNP. Этот треугольник равнобедренный и его стороны равны 1. MN=MP=1. Обозначим угол ф - это угол между ги г + Аг -р = г + Аг Тогда угол MNP будет равен - - AMNP При стремлении As к нулю , точка М стремится к точке М вдоль траектории , при этом угол Да ДМЫР -» . Вектор Дг направлен по нормали к касательной кривой. 4. Если касательное и нормальное ускорение точки = 0, то движение точки будет равномерными прямолинейным. 5. Если касательное ускорение точки постоянно W τ= dVτ/ dt = a = const, то движение точки называется равнопеременным, если a > 0 – равноускоренное, а если a< 0 – равнозамедленным. При этом с помощью интегрирования W τ= ϊ (t), где s – дуговая координата. В случае равнопеременного движения d 2 ρ/dt 2 = a. Решим это уравнение с помощью понижения порядка. Обозначим Vτ = ds/dt, тогда dVτ/ dt = a. Решим его как уравнение с разделѐнными переменными dVτ = adt Слева и справа стоят дифференциалы некоторых функций. Взяв интеграл от обеих частей и добавив произвольную постоянную, получим ∫ dVτ = a ∫ dt + C 1 Vτ = at + C 1 Учитывая замену, получим Ds/ dt = at + C 1 Ds = (at + C 1 ) dt Взяв интеграл от обеих частей, и добавив ещѐ одну произвольную постоянную интегрирования, получим ∫ Ds = ∫ (at + C 1 ) dt + С Вычисляя интеграл, найдѐм ρ = at2/2 + С + C 2 Если заданы начальные условия. S (0) > S 0 ; Vτ(0) = V 0 , то находим C 2 = F 0; C 1 = V 0 . Тем самым мы из общего решения дифференциального уравнения, содержащего 2 произвольные постоянные C 1 и C 2 , находим частные решения ρ = ½ at 2 + V 0 t + F 0 , являющаяся решением задачи Каши. Задача Каши – это совокупность дифференциального уравнения и начальных условий. Простейшие движения твѐрдого тела. Простейшими движениями твѐрдого тела называют поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси. 1. Поступательное движение твѐрдого тела. |
1. 3 способа задания движения точки в пространстве. Кинематика состоит из кинематики точки и кинематики твердого тела. Движение точки будем рассматривать по отношению Земли.
Законом движения точки будем называть способ перехода точки из одного положения в пространстве и времени в другое. Говорят, что закон движения точки известен, если в любой момент времени можно указать положение точки в пространстве и то каким образом при изменении времени точка перейдет из этого положения в соседнее.
Для математического определения математического движения точки существует 3 способа
- векторный
- координатный
- естественный Рассмотрим векторный способ В М Кривая, которая описывается. r
АВ – траектория. АО Положение точки М в пространстве можно определить, если из некоторой неподвижной т. О провести к движущейся точке радиус – вектор r, при движении точки r изменяет свою величину и направление стечением времени. К каждому моменту времени t определяет положение точки в каждый момент времени и следовательно является функцией времени r = r(t) (1.1) равенство (1.1) определяет закон движения т. М по ее траектории и называется векторным уравнением движения.
Рассмотрим координатный способ движения точки. t
M(x,y,z) r n i
O j y x Положение т.М будет известно, если известны координаты т.М как функции времени.
X=x(t), y=y(t), z=z(t) (1.2) Равенство (1.2) называют кинематическими уравнениями движения точки в координатной форме. Они определяют закон движения точки ив тоже время определяют траекторию движения точки в парам. форме.
T=φ(z) (1.3)
X=x[φ(z)]
Y=y[φ(z)]
(1.4) Эта система определяет траекторию как линию пересечения двухцилиндровых поверхностей, проектирующих траекторию на координатной плоскости Oxz и Oyz Пусть (i,j,k) – орты координатных осей. Из рис видно, что проекции r на оси координат равны координатам т.М.
R(t) = ix(t) +/- jy(t) + kz(t) (1.5) Естественный способ задания движения точек. Дана форма траектории точки. Рисунок 3 Выберем начало отсчета дуговых координат точки О. Положение точки М определяется дуговой координатой S. При движении точки М в каждый момент времени М соответствует своя дуговая координата, так, что мы можем написать м
S=S(t) (1.6) Функциональная зависимость (1.6) называется уравнением движения точки по траектории. Нельзя смешивать понятия дуговой координаты S и пути, проходимые точкой S. Путь будет равен сумме абсолютных значений дуговых координат.
S= ∑∆Si (1.7)
δ=∑(∆Si) (1.8)
2) Скорость материальной точки. Рассмотрим одну из основных характеристик движения точки - ее скорость. Это понятие принадлежит к элементарным. Поэтому скорость движущееся точки нельзя выразить через более простые понятия.
1º Определение скорости при векторном способе задания ее движения Сначала рассмотрим скорость точки, совершающей равномерные прямолинейные движения. Прямолинейными называют движения, если траектория точки прямая. Предположим, что движущаяся по прямой за промежеток времени ∆t. Рисунок Движение точки называют равномерными прямолинейным, если
∆r/∆t является постоянным вектором.
∆r=r1-r2 (a)
∆t=t-t1(b) Подставим формулы (a), (b) в формулу 1.9. Получим r=r1+ ( t-t1) (1.10) В уравнении (1.10) это векторное уравнение равномерного прямолинейного движения. В общем случае точка может двигаться неравномерно и непрямолинейно, описывая произвольную траекторию в пространстве. Рисунок Предположим, что точка М переместилась в положение М за некоторое время ∆t.
Пусть промежуток времени ∆t достаточно мало и тогда превращение
∆r тоже мало. Тогда можно приближенно заменить неравномерное движение точки по дуге ММ равномерными прямолинейным движением по хорде. Подберем ∆t так, чтобы точка попала из положения М в положение М, что по дуге, что по хорде одновременно. Тогда – скорость этого условно-равномерного и прямолинейного движения будет мм средняя скорость точки иона направлена по хорде. Такая замена тем меньше, чем истинная. Устремим ∆t к нулю. Предел при этом и будет скоростью точки в данный момент.
= m=
∆r/∆t==dr/dt=r(t) Скорость точки – физическая величина, характеризующая быстроту изменения стечением времени. Вектор скорости направлен по касательной ∆r.
2º Определение скорости точки при координатном способе задания движения. Векторный способ удобен при доказательстве теорема координатный способ удобен при решении задач. Рисунок 7 Рассмотрим произвольное движение точки М в пространстве относительно прямоугольной системы Декарта. Вектор скорости будет определен если будут известны проекции на оси координат.
At—>0. _dr _ lim Ar dt At -» 0 At
(1.18) Скорость направлена по касательной к годогофу радиус-вектор точки. Ускорение точки.
У.т. являющееся второй важнейшей хар-ой движущейся точки называется физическая величина определяющая быстроту изменения скорости точки при изменении времени , и как любая быстрота изменения определяются производной повремени от скорости точки. Обозначим ускорение w и определим как . w =
± (1.19). dt Очевидно что вектор ускорения направлен по касательной к годогрофу вектора скорости.
1.. Ускорение точки при векторном способе задания движения . При этом способе положение точки определяется значением радиус-вектора в каждый момент времени. Взяв производную от вектора скорости повремени или вторую производную от радиус- вектора повремени, находим ускорение точки. dv d
2
r .. dt dt
2
г
2 Ускорение точки при координатном способе задания движения точки. при этом способе задание движения точки еѐ координаты задаются как К определению проекций ускорения на координатные оси.
x
+ jv
e
+ kv, (в) Вектор ускорения является производной от вектора повремени другой стороны и вектор ускорения можно разложить на оси координат w = iw
x
+ jw
y
+ bv, (d) Сравнивая выражения си) получим значение в проекции ускорения на оси координат. w
x
=v
x
{t),w
y
=vy{t),w
:
= v
z
(t)
(1.21)
\w\ = д +vy
2
+vz
2
(1,22a) При этом можем найти вектор ускорения и его направляющие cos.
/ лук Тем самым полностью определяется вектор ускорения. Определение ускорения точки при естественном способе задания В этом случае положение точки М определяется дуговой координатой S , о считываемой от заданного начала О. г = r(s\s = s(t)
(F) из рисунка 14 видно, что .......... А - это основание равнобедренного AMNP , значит
(Ar)=2*lsin^
1 z
«2*1 ^- = Ар (g) Из формул (f) и (g) полумаем кривизны кривой.
dr . 1
-- = у
щ
—
ds Рассмотрим естественный трѐхгранник
Найдѐм модуль —.
ds
dr
lim
Ar
ds
As —»
0
As
dr
lim
Ar
lim A(p 1
ds
Av —»
0
As
Av -> 0 Av q
(h) , где q - радиус
1. Если в течение конечного промежутка времени нормальное ускорение
= 0
Vτ
2
/ p = 0, то радиус кривизны бесконечен ρ = ∞ и движение точки будет прямолинейным.
2. Если при движении точки касательное ускорение = 0
DVτ/ dt = 0, то скорость точки постоянна по величине и движении будет равномерным.
3. Если в некоторый момент времени касательное ускорение неравно нулю, анормальное ускорение, изменяясь, принимает в этот момент значение = 0, то соответствующая точка траектории будет точкой перегиба.
0 ив точке Аи из точки О в точку А r Допустим, что уравнение движения точки О известно, и выражается в виде r o
> r o
(t) (a). Из рисунка 16 видно, что r a
(t) = r o
(t) + r oa
(2.1).
R
oa постоянен по величине и направлению. Он не зависит от движения тела и определяется только расположением точек О и А. Векторное уравнение (2.1.) показывает, что траектория точки А получается из траектории точки О путѐм параллельного переноса еѐ на величину постоянного вектора r oa
. Что и требовалось доказать. Докажем теорему о скоростях и ускорениях точек тела при поступательном движении. При поступательном движении твѐрдого тела все его точки в данный момент времени имеют одинаковые по величине скорости и ускорения. Чтобы найти V точки А продифференцируем повремени вектор r И согласно (2.1.) получим
V
a = r
a
(t) = r a
(t) + r oa
(b). Но вектор r oa не меняется стечением времени, поэтому r oa
=0. И равенство (b) можно окончательно записать в виде
V
a
= V
o
, V
o
= r o
( 2.3) Поскольку точка А выбрана произвольно, то мы доказали, что все точки тела имеют одинаковые Чтобы найти ускорение, надо продифференцировать оби части уравнения повремени Из этой теоремы следует, что для того, чтобы написать уравнение поступательного движения всего тела, достаточно написать уравнение движения одной его точки. Таким уравнением можно считать уравнение а, следовательно, все формулы кинематики точки, могут быть применены при изучении поступательного движения твѐрдого тела.
2. Вращательное движение твѐрдого тела вокруг неподвижной оси. Вращательным движением тела вокруг неподвижной оси, называют такое движение, при котором какие-либо 2 точки тела остаются неподвижными. Прямая АВ, проведѐнная через неподвижные точки, называется осью вращения. Отметим на оси вращения положительное направление оси
AZ. В начальный момент времени положение тела, характеризовалось неподвижной плоскостью P
o
, через некоторое время t , точки тела, движущиеся вместе с ним, переместились в другую подвижную плоскость P
1
. Двугранный угол, образованный плоскостями P
o и P
1 характеризует положение тела в каждый момент времени. Он измеряется линейным углом φ
1
, который называется углом поворота. Угол поворота положительный, если наблюдателю, смотрящему с положительного конца оси OZ, вращение тела будет казаться происходящем против часовой стрелки. Если известно, φ то будут известны положения всех точек тела в каждый момент времени, записывая φ > φ (t) (2.5), будем называть это уравнение уравнением вращательного движения тела вокруг неподвижной оси или законом движения тела.
3. Угловая скорость и угловое ускорение тела вращающегося вокруг неподвижной оси.
W – Угловая скорость. Она измеряется в (рад/с ). В технике еѐ задают числом оборотов в минуту
(n об./мин). W = П рад/с. (2.7). Угловым ускорением называют физическую величину, характеризующую быстроту изменения угловой скорости тела во времени. ЕЕ угловое ускорение.