математическое моделирование. Задача 1 Полигон с четырьмя станциями А, Б, в и г должен пропустить суточные объемы вагонопотоков N

• Название: Задача 1 Полигон с четырьмя станциями А, Б, в и г должен пропустить суточные объемы вагонопотоков N
• Анкор: математическое моделирование
• Дата: 09.04.2022
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: 7_variant_matematicheskoe_modelirovanie.docx
• Тип: Задача; #457141
• страница: 1 из 3

Задача 1

Полигон с четырьмя станциями А, Б, В и Г должен пропустить суточные объемы вагонопотоков N_АГ и N_БГ по заданному назначению в соответствии с нормативными показателями работы сортировочных парков на станциях А, Б и В.

Требуется:

1. Составить план формирования поездов.

2. Выполнить вероятностный анализ плана и рассмотреть возможные его варианты с учетом случайного характера суточных объемов вагонопотоков N_АГ и N_БГ.

Таблица 1 – Исходные данные

Исходные данные	станция
Вагонно-часы простоя под накоплением, T = cm	А	1 100
	Б	850
	В	1 100
Экономия от проследования станции без переработки, tэк, ч/ваг	Б	2,80
	В	3,00
Среднее квадратическое отклонение вагонопотоков, 		87
Среднесуточные вагонопотоки	АГ (N1)	200
	БГ (N2)	380
Законы распределения вагонопотоков	АГ (N1)	Н
	БГ (N2)	Н

Решение

1. 
   Согласно условию, определяем критические значения вагонопотоков N_АГ и N_БГ:
   

Вывод: если N₁ > N_1кр = 190, то вагонопоток N₁ пропускаем сквозным назначением до станции Г, минуя попутные технические станции Б и В; если N₁ < 190, то N₁ подлежит переработке на станциях Б и В. Аналогично, для потока N₂: N₂ > N_2кр = 284, то N₂ пропускается до станции Г сквозным назначением, минуя станцию В; при N₂ < 284 поток N₂ проходит переработку на станции В.

2. Устанавливаем всевозможные варианты плана формирования поездов, соответствующие следующим случайным событиям:

А₁: N₁ 190, N₂ > 284  вариант 1,

А₂: N₁ 190, N₂ < 284  вариант 2,

А₃: N₁ 190, N₂ > 284  вариант 3,

А₄: N₁ 190, N₂ < 284  вариант 4.

3. Каждое из событий А₁, А₂, А₃ и А₄ равносильно одновременному наблюдению соответствующих двух независимых событий. Поэтому на основании теоремы умножения вероятностей независимых событий получаем:

Р(А₁) = Р(N₁ > 190, N₂ > 284) = P(N₁ > 190) × P(N₂ > 284),

Р(А₂) = Р(N₁ > 190, N₂ < 284) = P(N₁ > 190) × P( N₂ < 284),

Р(А₃) = Р(N₁ < 190, N₂ > 284) = P(N₁ < 190) × P(N₂ > 284),

Р(А₄) = Р(N₁ < 190, N₂ < 284) = P(N₁ < 190) × P(N₂ < 284).

4. Определяем вероятность реализации вариантов 1, 2, 3, 4 плана формирования поездов, как вероятности случайных событий А₁, А₂, А₃, А₄ согласно заданным законам распределения вероятностей вагонопотоков N₁ и N₂.

Согласно нормальному закону распределения:

Р(N₁  190) = 1 – Р(N₁  190) =

где Ф(x) – функция распределения стандартной нормальной случайной величины (функция Лапласа):



Значение функции Ф(х) взято в приложении 2 [Карпухин, В. Б. Теория и практика математического моделирования в задачах транспортной системы : учебное пособие / В. Б. Карпухин ; М-во транспорта Рос. Федерации, Рос. ун-т транспорта (МИИТ), Рос. Открытая акад. транспорта. – Москва : РУТ (МИИТ): РОАТ, 2021. – 111 с.].

В расчете вероятности Р(N_АГ > 190) использована теорема сложения вероятностей противоположных событий:

Р(Х > х) + Р(Х < х) = 1.

Аналогично получаем вероятность выделения потока N₂ в сквозное назначение при N₂ > 284:

Р(N₂  284) = 1 – Р(N₂  284) =

Замечание: при вероятностном анализе вагонопотоков кроме нормального закона распределения вероятностей, описываемого функцией Лапласа Ф(x), рассматриваются также законы показательного, Эрланга 2-, 3- и 4-го порядков и равномерного распределений.

Используя полученные результаты, определяем:

Р(А₁) = Р(N₁ > 190, N₂ > 284) = 0,5478  0,8643 = 0,4735

P(А₂) = P(N₁ > 190, N₂ < 284) = 0,5478  (1 – 0,8643) = 0,0743

P(А₃) = P(N₁ < 190, N₂ > 284) = (1 – 0,5478)  0,8643 = 0,3908

P(А₄) = P(N₁ < 190, N₂ < 284) = (1 – 0,5478)  (1 – 0,8643) = 0,0614

5. События А₁, А₂, А₃, А₄ являются несовместными и составляют полную систему событий. На основании теоремы о вероятности суммы событий, составляющих полную систему, при суммировании вероятностей событий А₁, А₂, А₃, А₄ должна получится единица:

Р(А₁ + А₂ + А₃ + А₄) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) + Р(А₄) = 0,4735 + 0,0743 + 0,3908 + 0,0614 = 1,0000

Полученный результат свидетельствует о правильности выполненного вероятностного анализа плана формирования поездов в соответствии с исходными данными.

6. Вариант 4, соответствующий событию А₄, предусматривает организацию вагонопотока N₁ через станции Б и В и вагонопотока N₂ через станцию В c переработкой, без сквозного назначения. Однако в силу случайного характера вагонопотоков N₁ и N₂ их величины могут быть таковыми, что возможны два несовместных подварианта варианта 4:

4а: N₁ + N₂ < N_2кр, N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр,

4б: N₁ + N₂ > N_2кр, N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр,

Если имеет место подвариант 4б, то открывается возможность сформировать на станции Б суммарный вагонопоток N₁ + N₂ > N_2кр, который проходит сквозным назначением через попутную станцию В до станции Г.

7. Определяем вероятности Р(4а) и Р(4б) подвариантов 4а и 4б.

7.1. Согласно анализу события А₄ с помощью рис. 1 имеем два случая.

Случай 1: N_1кр < N_2кр.

1) Событие А₄ равносильно наблюдению точки M(N₁, N₂) с координатами N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр в площади четырехугольника ON_2кр M₀ N_1кр.

2) Прямая N₁ + N₂ = N_2кр делит прямоугольник ON_2кр M₀ N_1кр на две части:

- трапецию ON_2кр M₂ N_1кр, точки которой имеют координаты N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр, N₁ + N₂ < N_2кр, что соответствует подварианту 4а;

- треугольник N_2кр M₀ M₂, точки которого также с координатами N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр, но N₁ + N₂ > N_2кр, что соответствует подварианту 4б.

3) Для определения вероятности P(4а) используем тот же метод, который применили для определения вероятности P(А4), перемножая P(N₁ < N_1кр) на P(N₂ < N_2кр). С этой целью:

а) Разобьём трапецию ON_2крM₂N_1кр на несколько частичных трапеций (рис. 1). Чем их больше, тем точнее выразим вероятность наблюдения точки M(N₁, N₂) с координатами N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр, N₁ + N₂ < N_2кр через сумму вероятностей их наблюдения в площадях частичных трапеций. На рис. 1 трапеция ON_2кр M₂ N_1кр разбита на три частичные трапеции (минимальное рекомендуемое число).

б) Частичные трапеции заменим равными по площади прямоугольниками

- OM₃ M₄ M₅ с основанием 0  N₁  50, высотой 0  N₂  259,



- M₅ M₆ M₇ M₈ с основанием 50  N₁  100, высотой 0  N₂  209,



- M₈ M₉ M₁₀ N_1кр с основанием 100  N₁  190, высотой 0  N₂  139,



в) используя заданные (оба нормальные) законы распределения вероятностей вагонопотоков N₁ и N₂, по формуле



находим вероятности наблюдения точки M(N₁, N₂) с координатами N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр, N₁ + N₂ < N_2кр в площадях прямоугольников

OM₃ M₄ M₅:

P₁(0  N₁  50, 0  N₂  259) = P(0  N₁  50).

(0,0427 – 0,0107)  (0,0823 – 0,0000) = 0,0026

M₅ M₆ M₇ M₈:

P₂(50  N₁  100, 0  N₂  209) = P(50  N₁  100).

(0,1215 – 0,0427)  (0,0244 – 0,0000) = 0,0019

M₈ M₉ M₁₀ N_1кр:

(0,4522 – 0,1251)  (0,0026 – 0,0000) = 0,0009

г) Вероятность подварианта 4а равна P(4а) = P₁ + P₂ + P₃ = 0,0026 + 0,0019 + 0,0009 = 0,0054

4) Вероятность P(4б) определяем либо по аналогии с определением вероятности P(4а), разбивая треугольник N_2кр M₀ M₂ на частичные трапеции и треугольник и заменяя их равными по площади прямоугольниками, либо по теореме о вероятности суммы несовместных событий, поскольку события 4а и 4б несовместны.

Имея по теореме

P(4а) + P(4б) = P(A4),

получим

P(4б) = P(A₄) – P(4а) = 0,0614 – 0,0054 = 0,0560

7.2. Случай 2: N_1кр > N_2кр.

На рис. 1 вариант 4 соответствует наблюдению точки M(N₁, N₂), N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр в площади прямоугольника ON_2крM₁N_1кр, подвариант 4а соответствует наблюдению точки M(N₁, N₂), N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр, N₁ + N₂ < N_2кр в площади треугольника ON_2кр (N_2кр = N₁), подвариант 4б соответствует наблюдения точки N₁ < N_1кр, N₂ < N_2кр, N₁ + N₂ > N_2кр в площади трапеции (N_2кр = N₁) N_2крM₁N_1кр. Вероятности варианта 4 и подвариантов 4а и 4б определяют по аналогии случая 1.



Рис. 1. Вариант 4, подварианты 4а и 4б

8. Схема полигона АГ и варианты плана формирования поездов представлены на рис. 2.



Рис. 2. Полигон АГ и варианты плана формирования поездов.

ЗАДАЧА 2

На станции отправления формируются вагонопотоки на 2 назначения А и Б.

Определить оптимальный ежесуточный объем вагонопотоков, обеспечивающий РЖД максимальную прибыль при доставке грузов к станциям назначения, если формирование осуществляется с помощью 3 технологических операций:

1) осмотр 1 вагона назначения А требует t₁₁ – 0,15 часа, назначения Б t₁₂ – 0,4 часа,

2) формирование 1 вагона в вагонопоток назначения А t₂₁ – 0,23 часа, назначения Б t₂₂ – 0,34 часа,

3) погрузка 1 вагона назначения А t₃₁ – 0,4 часа, назначения Б t₃₂ – 0,16 часа.

Прибыль от доставки груза 1 вагоном на станцию назначения А составляет с₁ – 10, на станцию назначения Б с₂ – 12 денежных единиц.

вагонопоток х1 = 46, х2 = 35

прибыль назначения СА = 460, СБ = 420

общая прибыль на РЖД С = 880

РЕШЕНИЕ

1.Математическая модель стандартного вида для данной задачи.

Суммарная прибыль

(2.1)

Общее время проведения i-ой технологической операции

(2.2)

где b – заданное время формирования объема вогонопотоков, b= 24часа

Максимальное значение целевой функции

(2.3)

Запишем уравнения математической модели для конкретной задачи согласно уравнениям (2.1), (2.2), (2.3).

(2.4)

(2.5)

(2.6)

2. Введем балансовые переменные . Обращая неравенства (2.5) в равенства

(2.7)

На множестве неотрицательных решений системы уравнений (2.7) необходимо найти максимальное значение линейной функции (2.4).

3. Исследуем систему (2.7) на совместимость. Поскольку ранг матрицы А и расширенной матрицы А|B равны и меньше числа переменных n=5



то в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли систему (2.7) является совместной и неопределенной, базисных переменных 3, свободных 2.

4. Для поиска оптимального решения симплексным методом представим выражения (2.4) и (2.7) в базисной допустимой форме согласно условиям:

1) в каждом из выражений (2.7) должна входить только одна базисная переменная с коэффициентом 1;

2) свободные члены системы уравнений (2.7) должны быть неотрицательными;

3) целевая функция (2.4) должна быть выражена только через свободные переменные.

В качестве базисных переменных принимаем переменные , а свободных - , тогда выражения (2.4) и (2.7) соответствуют условия базисной допустимой формы и позволяют получить 1-е базисное допустимое решение поставленной задачи при равенстве нулю свободных переменных:

(2.8)

(2.9)

Решение (2.8) и (2.9) – опорное.

5. Перейдем к новой базисной допустимой форму и получим на её основе новое базисное допустимое решение

1) в системе (2.7) выразим базисные переменные через свободные переменные



(2.10)
2) пусть



тогда min(60; 70,59; 150) = 60 = Х2min при х3 = 0.

Получаем новые свободные переменные х1 = 0 и х3 = 0 и новые базисные переменные .

3) Из уравнения (2.10в) выразим х2через х1 и х3



и подставим в (2.10б), (2.10а) и (2.4)







получим новую базисную форму

(2.11)

_(2.12)

4) из уравнения (2.11) и (2.12) получим 2 е базисное решение при

х2 = 0 и х5 = 0

(2.13)

(2.14)

Вывод: из (2.12) видно, что при увеличении целевая функция увеличивается, при увеличении – уменьшается, поэтому принимаем =0, 0 и находим допустимое значение .

6. От базисной допустимой формы (2.11), (2.12) перейдем к новой базисной форме

1) пусть



тогда min(160; 35,12; 42,35) = 35,12 = Х1min при х4 = 0.

Получаем новые свободные переменные х3 = 0 и х4 = 0 и новые базисные переменные .

3) Из уравнения (2.11а) выразим х1 через х3 и х4





и подставим в (2.11б), (2.11в) и (2.12)







получим новую базисную форму

(2.14)

_(2.15)

4) из уравнения (2.14) и (2.15) получим 3 е базисное решение при

х3 = 0 и х5 = 0

(2.16)

(2.17)

Вывод: из (2.15) видно, что при увеличении х3 и х5 уменьшается . Симплекс процесс завершен.

Графическое решение задачи представлено на рис. 2.1.


Рис. 1.1. Графическое решение задачи