 ,
 , преобразовывая, получим  (7), уравнение (7) является уравнением прямой, проходящей через две данные точки.
17. Угол между двумя прямыми на плоскости, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности двух прямых
а) Пусть даны две прямые 
Нормальным вектором прямой  является вектор  , а нормальным вектором прямой  является вектор  . Задача об определении угла между этими двумя прямыми сводится к определениям угла  между  и  .
 ,  , 
Условие параллельности и вытекает из условий коллинеарности и
 .
Условие перпендикулярности и вытекает из 
 .
б) Если две прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами 
Если  и  - углы наклона прямых и к оси  , а -один из углов между этими прямыми, тогда  .
Прямые параллельны, когда тангенс угла между ними равен нулю.
 - условие параллельности двух прямых.
Условие перпендикулярности прямых и .
 , то  . Тангенс угла не существует. Знаменатель формулы обращается в нуль.
 - условие перпендикулярности двух прямых.
18.Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
Теорема: Если два общих уравнения  и  определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число  , что справедливы следующие равенства 
 (8) , уравнение (8) называется нормированным уравнением прямой.
Отклонение произвольной точки  от данной прямой  .
П усть число  обозначает расстояние от точки до прямой .
Определение: Отклонением  точки от прямой называется число , если точка и начало координат  лежат по разные стороны от прямой ,  , если точка и начало координат лежат по одну сторону .
Теорама: Левая часть нормированного уравнения прямой (1) равна отклонению точки с координатами  от прямой , определяемой уравнением  .
Алгоритм приведения общего уравнения прямой к нормированному виду.
, . Так как указанные уравнения должны определять одну и ту же прямую, найдется число такое, что
 (2)
 ,  - нормирующий множитель.
Так как по смыслу расстояние  всегда неотрицательно, то из третьего равенства (2) следует, что знак противоположен знаку  .
Таким образом, для приведения общего уравнения прямой к нормированному виду следует умножить его нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку .
 - формула для вычисления расстояния от точки до прямой.
19. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
Общее уравнение плоскости
Теорема: В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.
 (1) Общее уравнение плоскости
Определение: Вектор, перпендикулярный к плоскости называется нормальным вектором плоскости , 
 (2) - есть уравнение плоскости проходящей через точку  и имеющей нормальный вектор .
Неполные уравнения плоскости
Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты  отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение называется неполным.
Различные виды неполных уравнений.
1) Если  ,тогда  , определяет плоскость, проходящую через начало координат.
2) Если  , тогда  , определяет плоскость параллельную оси .
3) Если  , тогда  , определяет плоскость параллельную оси  .
4) Если  , тогда  определяет плоскость параллельную оси  .
5) Если  , тогда  , определяет плоскость параллельную координатной плоскости  (либо параллельна осям и ).
6)  , тогда  параллельна оси  .
7)  , тогда  параллельна оси  .
8  , тогда  определяет координатную плоскость .
9)  , тогда  определяет координатную плоскость .
10)  , тогда  определяет координатную плоскость .
Уравнение плоскости «в отрезках». Рассмотрим общее уравнение (1). Уравнение
 (3) - называется уравнением плоскости «в отрезках».
В уравнении (3) числа а, в и с имеют простой геометрический
смысл: они равны величинами отрезков, которые отсекают
плоскость на осях  соответственно.
Отрезки отсчитываются от начала координат.
20.Уравнение плоскости проходящей через три различные точки не лежащие на одной прямой
 ,  , -данные точки.  – произвольная точка плоскости.
Точка лежит в одной плоскости с точками  тогда и только тогда, когда векторы ,  ,  - компланарны.
 (4) - уравнение плоскости проходящей через три различные точки не лежащие на одной прямой.
20 Угол между двумя плоскостями.
Пусть две плоскости  и  заданы общими уравнениями.
 
 
Вопрос об определении угла между плоскостями сводиться к определению угла между их нормальными векторами 
22. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Условие параллельности: параллельна , следовательно  и  коллинеарные, следовательно 
Условие перпендикулярности:  , следовательно
Теорема: Если два уравнения в плоскости и
определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны.
23. Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Рассмотрим плоскость  .
Проведем через начало координат прямую  , перпендикулярно к плоскости .  точка прямой и плоскости . На прямой возьмем единичный вектор, направление которого совпадает с направлением  . Найти уравнение плоскости .
Через длину отрезка , =
Через углы наклона  вектора  к осям соответственно.
Так как –единичный вектор, то его координаты имеют вид: 
Точка лежит на плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора  на ось, определяемую вектором , равна т.е при условии 
Так как – единичный вектор  ,  .
 следовательно
 (5) нормированное уравнение плоскости.
Понятие отклонения произвольной точки  от данной плоскости .
Пусть число обозначает расстояние от точки до плоскости.
Определение: -отклонением точки от плоскости называется число + , когда точка и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости и число – , если точки и О лежат по одну сторону от плоскости .
Теорема: Левая часть нормированного уравнения плоскости (5) равна отклонению точки с координатами  от плоскости определяемой общим уравнением плоскости (1)
Для нахождения отклонения точки от плоскости следует в левую часть нормированного уравнения плоскости подставить на место координаты точки  .
Расстояние от точки до плоскости равно модулю отклонения. 
Алгоритм приведения общего уравнения плоскости к нормированному виду
Дано общее уравнение и
эти плоскости должны определять одну и ту же плоскость, то найдется число такое, что   ,  , 
 следовательно 
Так как по смыслу расстояние всегда неотрицательно, то из заключаем, что знак противоположен знаку  . Для приведения общего уравнения плоскости к нормированному виду, следует его умножить на нормирующий множитель, знак которого противоположен по знаку
 - формула для вычиления расстояния от точки до плоскости.
24. Уравнение прямой в пространстве. Его каноническое уравнение. Параметрические уравнение прямой. Уравнение прямой проходящей через данные две точки
Канонические уравнения прямой в пространстве
Определение: Прямая линия в пространстве определяется как пересечение двух плоскостей, определяется совместным заданием двух уравнений первой степени  (1) при условии 
Определение: Любой не нулевой вектор параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой.
Вывод уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства  и имеющий заданный направляющий вектор  .
Точка  лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы  и коллинеарны.
Условие коллиниарности  (2)
Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Иногда имеет случай  
Обращение в нуль одного из знаменателей в (2) означает что обращение в нуль и соответствующего числителя.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки  , 
Уравнение прямой проходит через точку и имеет направляющий вектор  .
 (3) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки ,
Параметрические уравнения прямой получаются из канонических уравнений прямой.
 , где  .
 (4) – параметрические уравнения прямой.
25. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Пусть прямые и  заданы своими каноническими уравнениями.
 .
Тогда задача определение угла между прямыми и сводится к определению угла между их направляющими векторами:  , 
 (5) –формула для определения угла между двумя прямыми.
Условие параллельности прямых и -  (6).
Условие перпендикулярности прямых и -  (7).
26. Угол между прямой и плоскостью.
Условия параллельности и перпендикулярности прямой к плоскости
Рассмотрим плоскость , заданную общим уравнением  и прямую , заданную каноническими уравнениями 
У гол между прямой и плоскостью является дополнительным к углу  между векторами  и 
Через скалярное произведение векторов находим:
, ,
 ,
 (9) - формула для определения угла между прямой и плоскостью.
Условие параллельности прямой и плоскости .
 
Условие перпендикулярности прямой и плоскости .
  .
27. Каноническое уравнение эллипса. Директриса и эксцентриситет эллипса.
Уравнение эллипса, свойства
Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина.
F1, F2 – фокусы, точка М – произвольная точка эллипса.
F1M, F2M – фокальные радиусы эллипса.
По определению F1M+ F2M = 2a.
F2F1 = 2cрасстояние между фокусами. По определению эллипса  или  .
F2(-c; 0), F1(c; 0) - координаты фокусов.
Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно заданной системы координат, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:
 (1) – каноническое уравнение эллипса
 ; очевидно  .
|
Скачать 1.74 Mb.