билеты геометрия. Билеты аналитическая геометрия. 1. Декартовы координаты на прямой
 Скачать 1.74 Mb.
|
Исследование формы эллипса1. Симметрия. Так как каноническое уравнение эллипса содержит только квадраты текущих координат, то если точка (х, у) находится на эллипсе, то и точка  также находится на эллипсе при произвольном выборе знаков координат, отсюда следует, что координатные оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса.Ось симметрии эллипса, на которой располагаются фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения осей симметрии эллипса – центр эллипса. 2. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.     А1(а; 0), А2(-а; 0), В1(0; b), B2(0; -b) – вершины эллипса. Отрезки А1А2 и В1В2, соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длина 2а и 2b называют соответственно большой и малой осями эллипса. а – большая полуось, b – малая полуось. 3. Форма эллипса. Чтобы исследовать форму эллипса, в уравнении достаточно считать, что  . Из (1)  ,   .С увеличением х от 0 до а, у уменьшается от b до 0. 4. Эксцентриситет и директрисы эллипса. Величина  - эксцентриситет эллипса.Так как,  , Для эллипса < 1. выражение формулы для фокальных радиусов эллипса.Опрделение: Две прямые перпендикулярные к фокальной оси эллипса и отстоящие (от нее) на расстояние  от его центра называются директрисами эллипса. ,  - уравнения директрис эллипса.Свойство директрисы : Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса соответствующей директрисы есть величина постоянная равная .   - свойство директрисы.28. Каноническое уравнение гиперболы. Директриса и эксцентриситет гиперболы. Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина равная 2а. Указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через 2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами  и  , расстояние между ними F1F2 = 2c. По определению  , или  . Пусть дана гипербола. Выберем оси координат так же, как и в эллипсе. То в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид:  (2) - каноническое уравнение гиперболы.  Исследование гиперболы 1. Из канонического уравнения видно, что гипербола имеет две оси симметрии, так как х и у входят во вторую степень. Одна ось проходит через фокусы и называется действительной осью гиперболы. Вторая ось перпендикулярна первой, проходит через начало координат и называется мнимой осью гиперболы. 2. Пересечение гиперболы с осью     А1(а, 0), А2(- а, 0) Пересечение гиперболы с осью    , отсюда следует, что гипербола не пересекается с осью  не  с осью  и называется мнимой осью гиперболы. Действительная ось гиперболы пересекает гиперболу в двух точках А1 и А2, которые называются вершинами гиперболы. 2а – большая ось, а – большая полуось 2b – малая ось, b – малая полуось 3. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основания прямоугольника являются асимптотами гиперболы. В1(0, b), B2(0, - b) 4. Величина  называется эксцентриситетом гиперболы. > 1    Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, значит и форму самой гиперболы. Чем меньше , тем больше вытянут ее основания прямоугольник. 5. Гипербола, полуоси которой равны, называется равносторонней. a  = b     ,  6. Гипербола  называется сопряженной с гиперболой .7. Выражения фокальных радиусов гиперболы.  - произвольная точка гиперболы. , - фокальные радиусы точки М. - для правой ветви гиперболы - для левой ветви гиперболы 8. Директрисы гиперболы. Определение: Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположена относительно центра на расстоянии  от него, называются директрисами гиперболы. - уравнение директрис.9. Свойство директрисы: Если r– расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса, а d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение  - постоянная величина, равная  гиперболы. =  29. Каноническое уравнение параболы. Директриса параболы Уравнение параболы, свойства Определение: Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокусы параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы – буквой p . Число p называется параметром параболы.  координаты фокуса. Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой. В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением:  - (3) каноническое уравнение параболы.В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение:  - уравнение директрисы параболы |