билеты геометрия. Билеты аналитическая геометрия. 1. Декартовы координаты на прямой
 Скачать 1.74 Mb.
|
Свойства параболы1.Парабола имеет ось симметрии (OX). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. 2. Вся парабола располагается в правой полуплоскости OXY. R=d  .3.Директриса параболы, определяемая уравнением  , имеет вид:  .К  анонические уравнения:            4  .Фокус r произвольной точки M(x;y)  r = x+  Общее определение. Коническое сечение (эллипс, гипербола, парабола) есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых до данной точки (F) и до данной прямой (директрисы) есть постоянная величина -  .30. Эллипсоид Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением  (1)Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.  Исследуем форму эллипсоида. В уравнение (1) переменные  входят только во второй степени. Отсюда следует, что если точка  лежит на эллипсоиде, то и точки  ,  ,  ,  ,  ,  ,  также лежат на эллипсоиде. Следовательно, эллипсоид симметричен относительно всех координатных плоскостей, координатных осей и начало координат. Начало координат является центром симметрии эллипсоида, оси координат – осями симметрии, координатные плоскости – плоскостями симметрии. Точки пересечения эллипсоида с его осями симметрии называются вершинами эллипсоида. Следовательно, эллипсоид имеет шесть вершин:  ,  ,  ,  ,  ,  . Из уравнения эллипсоида  , следует, что  . Это означает, что эллипсоид расположен внутри прямоугольного параллелепипеда, ограниченного плоскостями  ,  ,  ,  ,  ,  . Каждая грань параллелепипеда имеет с эллипсоидом только одну общую точку – вершину эллипсоида. Найдем сечения эллипсоида его плоскостями симметрии и изобразим исследуемую поверхность. Плоскость  пересекает эллипсоид по линии  или  плоскость  - по линии или  плоскость  - по линии  или  В сечениях эллипсоида координатными плоскостями мы получили эллипсы. Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Найдём сечения эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости  : или  При  в сечении получается эллипс, оси которого параллельны осям  и  ; при  - точка (вершина эллипсоида); при  - мнимый эллипс.Аналогичная картина наблюдается при пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостями или  .Если для эллипсоида  , то или  .Это сфера, центр которой совпадает с началом координат и радиус равен  .31.Гиперболоиды Существуют два вида гиперболоида: однополостный и двуполостный. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением  (2)Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением  (3)Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так как в уравнение (2) переменные x, y и z входят только во второй степени, то это значит, что однополостный гиперболоид, определяемый уравнением (2), симметричен относительно всех трех координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Из уравнения (2) следует, что поверхность не пересекает оси Oz, которая является поэтому мнимой осью поверхности. Каждую из осей Ox и Oy однополостный гиперболоид пересекает в двух точках:  (a; 0; 0),  (-a; 0; 0) и  (0; b; 0),  (0; -b; 0) соответственно. Найдем сечения однополостного гиперболоида его плоскостями симметрии и плоскостями, им параллельными.  Плоскость yOz пересекает однополостный гиперболоид по гиперболе и  ли плоскость xOy –по эллипсу  или  а плоскость xOz –по гиперболе  или  Плоскость z=h пересекает однополостный гиперболоид по эллипсу  или  полуоси которого увеличиваются с увеличением  .Плоскость x = һ пересекает однополостный гиперболоид по линии  или  или  Если  , то в сечении получается гипербола, действительная ось которой параллельна оси Oy, а мнимая - оси Oz. Центр гиперболы находится в точке (h; 0; 0). При  в сечении получается две пересекающиеся прямые:  или   которые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида. Если же  , то сечении получаем гиперболу, действительная ось которой параллельна оси Oz, а мнимая – оси Ox. Центр гиперболы находится в точке (h; 0; 0).Аналогичная картина получается при пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости хОz . Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так как в уравнение (3) поверхности переменные X, Y, Z входят только во второй степени, это значит, что поверхность симметрична относительно всех координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Из уравнения (3) следует, что поверхность не пересекает осей OY и OZ, а ось OX пересекает в двух точках:  (a;0;0) и  (-а;0;0), которые называются вершинами двуполостного гиперболоида.Найдем сечения двуполостного гиперболоида его плоскостями симметрии и плоскостями, им параллельными.  Плоскость ХОY пересекает двуполостный гиперболоид по гиперболе  или  плоскость XOZ - по гиперболе  или  а плоскость Х=h – по линии  или  Если   >0. Следовательно, в сечении получаем мнимый эллипс, а значит, плоскость не пересекает поверхности.Если =a, то 1- =0. Следовательно, имеем  Значит, плоскость касается поверхности в одной точке – вершине двуполостного гиперболоида. Если >a, то уравнение линии можно записать в виде В сечении получаем эллипс, оси симметрии которого параллельны осям OY и OZ, а полуоси увеличиваются с увеличением . Плоскость Z=h пересекает двуполостный гиперболоид по линии или  В сечении получаем гиперболу, действительная ось которой параллельна оси ОХ. Аналогично плоскость Y=h пересекает двуполостный гиперболоид по гиперболе, действительная ось которой параллельна оси ОХ:  |