электрические и магнитные цепи. 1 электротехнические устройства постоянного тока

• Название: 1 электротехнические устройства постоянного тока
• Анкор: электрические и магнитные цепи.doc
• Дата: 19.08.2018
• Размер: 1.08 Mb.
• Имя файла: электрические и магнитные цепи.doc
• Тип: Документы; #23206
• страница: 5 из 7

2.7 ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ ДЛЯ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ
Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индук­тивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических явле­ний для каждого из этих элементов зависит от выбранного способа аналитического представления синусоидальных величин. В дальней­шем при аналитическом представлении синусоидальных токов, напря­жений и т. д. будем пользоваться как тригонометрическими функциями и для наглядности их графиками, так и комплексными значениями, для которых разработан эффективный математический аппарат анализа электрических цепей.


А. Резистивный элемент. Выберем положительное направление синусоидального тока


в резистивном элементе с постоянным сопротивлением г совпадающим с положительным направлением синусоидального напряжения, при­ложенного к элементу (рис. 2.13). В этом случае для мгновенных значений напряжения-и тока справедливо соотношение, определяемое аналогично (1.1) законом Ома:
или








где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

U_rm=rI_rm (2.27а) а их начальные фазы одинаковые:

¥_u= ¥_i (2.276)

т. е. ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфазно — совпадают по фазе, как показано на рис. 2.13 для начальной фазы ¥_u= ¥_i > 0.

Разделив правую и левую части выражения (2.27а) на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока резистивного элемента

U_r=rI_r (2.28)

Представим теперь синусоидальные ток и напряжение резистивного элемента соответствующими комплексными значениями (2.22):

I_r=I_reⁱ¥_I и U_r=U_r eⁱ¥_u

Так как U_r,=rIr (2.28) и ¥_u = ¥₁(2.276), то для комплексных значений тока I_r, и напряжения U_г резистивного элемента получим закон Ома в комплексной форме:

U_г = rIr (2.29)




Соотношение между комплексными значениями тока и напряжения для резистивного элемента наглядно иллюстрируется векторной диаграммой элемента (рис. 2.14). Из векторной диаграммы также видно, что векторы комплексных значений тока и напряжения рези­стивного элемента совпадают по фазе.

Б. Индуктивный элемент. Если в индуктивном элементе ток синусоидальный:


то по закону электромагнитной индукции (2.3) на индуктивном элементе появится напряжение




где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением







а их начальные фазы — соотношением

Разделив правую и левую части выражения (2.30а) на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока индуктив­ного элемента:



На рис. 2.15 показан график мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения индуктивного элемента (построен при ¥_i > 0),




из которого видно, что синусоидальный ток отстает по фазе от синусоидального напряжения


Индуктивное сопротивление пропорционально угловой частоте синусоидального тока, при постоянном токе (w = 0) оно равно нулю. По этой причине многие аппараты и машины, предназначенные для работы в цепи переменного (синусоидального) тока, нельзя включать в цепь постоянного тока. Для постоянного тока их сопротивление относительно мало, и большой постоянный ток может быть для них разрушительным (например, для первичной обмотки трансформатора в радиоприемнике).

Представим синусоидальные ток i_l и напряжение u_l индуктивного элемента соответствующими комплексными значениями:




На рис. 2.16 приведена векторная диаграмма для индуктивного элемента. На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения тока /, отстает по фазе от вектора комплексного значения напряжения U_Lна угол п/2, что соответствует сдвигу фаз ф = я/2 на рис. 2.15. Пользуясь выражениями (2.31) и (2.26), получим закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента;




Входящая в это выражение величина iwL=ix_L называется комп­лексным сопротивлением индуктивного элемента, а обратная ей вели­чина I/iwL =-ib_L — комплексной проводимостью индуктивного эле­мента.

Комплексное значение напряжения на индуктивном элементе можно выразить и через комплексное значение потокосцепления.

Из (2.1) следует, что ¥ = Li_L, и по (2.32)

U_L=-E_L=iw¥ (2.33)

Это — математическая формулировка закона электромагнитной ин­дукции (2.3) в комплексной форме.

В. Емкостный элемент. Если напряжение между выводами ем­костного элемента изменяется по синусоидальному закону:

u_c=U_cmsin(wt+¥_u)

то по (2.11) синусоидальный ток

i_c=Cdu_c/dt=wCU_cmcos(wt+¥_u)=I_cmsin(wt+¥_u+п/2)= I_cmsin(wt+¥_u)

где амплитуды связаны соотношением

I_cm=Wcu_CM (2.34a)

а начальные фазы соотношением

¥_i=¥_u+ п/2 (2.34б)

Разделив правую и левые части выражения (2.34а) на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока емкост­ного элемента:







Величина b_с=wС в выражении (2.35), единица которой Ом^-1 = См, называется емкостной проводимостью, а обратная величина х_с = I /wС— емкостным сопротивлением. Значения величин х_с и b_с являются пара­метрами емкостных элементов цепей синусоидального тока.
В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидального тока. При постоянном напряжении емкостное сопротивление бесконечно велико.

На рис. 2.17 показан график мгновенных значений синусоидальных напряжения и тока для емкостного элемента (построен при ¥_u > 0), из которого видно, что синусоидальное напряжение u_сотстает по фазе от синусоидального тока i_с на угол ¥_u-¥_n = п /2, т. е. сдвиг по фазе между напряжением и током ¥ = ¥_u-¥_i=- п /2.

Представим синусоидальные ток i_с и напряжение u_с емкостного элемента соответствующими комплексными значениями:

i_с=i_с^еi1 и u_с=u_с ^еi1

На рис. 2.18 приведена векторная диаграмма для емкостного элемента. На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения напряжения u_с отстает по фазе от вектора комплексного значения тока i_c на угол п /2.

Учитывая (2.34) и (2.26), получим закон Ома в комплексной форме для емкостного элемента:




Величина 1/iwС =-ix_с, входящая в это выражение, называется комплексным сопротивлением емкостного элемента, а обратная ей величина iwС = iЬ_С — комплексной проводимостью емкостного эле­мента.
2.8 ЗАКОНЫ КИРХГОФА ДЛЯ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Математическая формулировка двух законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока зависит от выбранного вида представления си­нусоидальных величин. Будем далее пользоваться для аналитического представления синусоидальных величин тригонометрическими функ­циями и соответствующими им комплексными значениями. При первом виде представления законы Кирхгофа определяют зависимость между мгновенными значениями соответствующих синусоидальных величин (для любого момента времени). При втором виде представления законы Кирхгофа определяют зависимость между комплексными значениями соответствующих синусоидальных величин.

А. Первый закон Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа ал­гебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каж­дый момент -времени равна нулю. Для цепей синусоидального тока это означает, что в ветвях, сходящихся в любом узле, алгебраическая сумма мгновенных значений токов равна нулю;

∑ⁿ_R=1 i_r=0 (2.37)

т.е.

∑ⁿ_R=1 I_mRsin(wt+¥_iR)=0 (2.38)
где п — число ветвей, сходящихся в узле. В дальнейшем все синусоидальные токи, положительные направления которых выбраны к узлу (от узла), будем записывать со знаком плюс (минус).

На рис. 2.19 в качестве примера для одного из узлов построены мгно­венные. значения трех синусоидальных токов:



при выбранных положительных направлениях. По первому закону Кирхгофа

для любого момента времени.

Чтобы получить математическую формулировку первого закона Кирх­гофа в комплексной форме, представим все синусоидальные токи в (2.38) соответствующими им комплексными значениями (2.21): i_R=I_r¥_iR




Рис. 2.19. Рис. 2.20.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывается следующим образом:


(2.39)
т. е. алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, сходящихся в каком-либо узле электрической цепи синусоидального тока, равна нулю. Здесь комплексные значения токов, для которых положительные направления выбраны к узлу (от узла), записываются со знаком плюс (минус).

На рис. 2.20 построена векторная диаграмма трех токов: I₁=i₁¥ На векторной диаграмме должно выполняться равенство




(2.40)

Б. Второй закон Кирхгофа. По второму закону Кирхгофа алгеб­раическая сумма напряжений на резистивных, индуктивных и емкостных элементах, т. е- на пассивных элементах, в любом контуре элек­трической цепи в каждый момент времени равна алгебраической сумме ЭДС этого контура. В цепях синусоидального тока значения различных ЭДС и значения напряжений на пассивных элементах любого контура непрерывно изменяются. Но тем не менее алгебраические суммы мгновенных значений напряжений и ЭДС одинаковы:




Или

где пи m — соответственно числа пассивных элементов и ЭДС в кон­туре. В выражении (2.40.) будем считать, что все синусоидальные нап­ряжения и_ьи ЭДС е,,, для которых положи­тельные направления совпадают с произволь­но выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс и в против­ном случае — со знаком минус. Например, для контура на рис. 2.21 с направлением, обхода по направлению движения часовой стрелки по второму закону Кирхгофа





Чтобы получить математическую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме, представим все синусоидальные напряжения и,, и ЭДС е_й в (2.40) соответствующими комплексными значениями (2.21):

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме записывается следую­щим образом:

(2.41)
т. е. алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех пассивных элементах (резистивных, индуктивных, емкостных) какого-либо контура электрической цепи синусоидального тока равна алгеб­раической сумме комплексных значений всех ЭДС этого контура. Здесь комплексные значения напряжений и ЭДС, положительные нап­равления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс и в противном случае — со знаком минус.

Например, для контура рис. 2.21, показанного еще па рис. 2.22, а, по второму закону Кирхгофа в комплексной форме

На рис. 2.22, б построена векторная диаграмма ЭДС и напряжений для этого контура, которая наглядно иллюстрирует второй закон Кирх­гофа в комплексной форме.






2.9 КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
В § 2.7 было показано, что между мгновенными значениями синусоидальных величин (2.20) и их комплексными значениями (2.21) существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому для описания режима работы цепи синусоидального тока можно применять любой из этих видов представления синусоидальных величин. Однако в слу­чае представления синусоидальных величин комплексными значениями законы Ома для резистивных (2.29), индуктивных (2.32) и емкостных (2.36) элементов, первый (2.39) и второй (2.41) законы Кирхгофа записываются в виде алгебраических, а не дифференциальных урав­нений. Совместное решение алгебраических уравнений для опреде­ления комплексных значений токов и напряжений всех элементов элек­трической цепи, т. е. применение комплексного метода расчета, — достаточно простая задача. По найденным комплексным значениям можно сразу записать при необходимости и соответствующие им мгно­венные значения синусоидальных величин.

При расчете режима работы электрической цепи синусоидального тока комплексным методом полезно выделить несколько логически самостоятельных этапов:

1) Представить исходные данные о параметрах всех элементов анализируемой цепи в комплексной форме. Это означает, что, во-первых, синусоидальные ЭДС или токи источников энергии, заданные мгновен­ными значениями (в тригонометрической форме), следует представить комплексными значениями (табл. 2.3) и, во-вторых, для индуктивных и емкостных элементов цепи определить соответствующие комплекс­ные сопротивления или комплексные проводимости (табл. 2.4).

2) Выбрать положительные направления для токов во всех ветвях, указав их стрелками на схеме цепи.

3) Пользуясь законами Ома и Кирхгофа в комплексной форме и учитывая выбранные положительные направления токов в ветвях, составить систему уравнений, определяющую режим работы цепи.
Таблица 2.3. Представление мгновенных значений синусоидальных ЭДС и токов источников комплексными значениями





4) Решить полученную систему уравнений, т. е. определить ком­плексные значения токов в ветвях цепи и комплексные значения на­пряжений на ее элементах.




Найденные комплексные значения токов и напряжений однозначно определяют соответствующие им мгновенные значения синусоидаль­ных токов и напряжений.

.В качестве примера рассмотрим анализ (расчет режима работы) комплексным методом электрической цепи синусоидального тока по рис. 2.23, а с источником ЭДС и источником тока положительные направления которых за­даны, а также с резистивным г, индуктивным Ь и емкостным С элемен­тами. Для этого выполним последовательно все этапы анализа.

1 . Представим синусоидальные ЭДС и ток источников, мгновенные значения которых заданы соответствующим» комплексными значе­ниями 1см. (2.21) и табл. 2.3]:

E=E¥_c J=J¥

Определим комплексные сопротивления индуктивного jwL=jx_L и емкостного 1/jwC = — jх_с. элементов электрической цепи (см. табл. 2.4)

На рис. 2.23, б изображена схема электрической цепи, соответству­ющая схеме электрической цепи рис. 2.23, а, но для которой исход­ные данные о параметрах всех элементов представлены в комплексной форме.

2. Выберем положительные направления неизвестных токов в вет­вях (рис. 2.23, а) и положительные направления напряжений на пас­сивных элементах совпадающими с направлениями токов. Положитель­ные направления соответствующих им комплексных значений такие же (рис. 2.23, б).

3. При выбранных положительных направлениях токов и напря­жений составим полную систему уравнений для анализа цепи. Так как у цепи три узла (а, Ь, с), то по первому закону Кирхгофа в комплек­сной форме (2.39) составим уравнение для двух узлов, например а и Ь:

j+j_c,-j_L = 0; (2.42а)

j_L-j_c-j_r = 0. (2.426)

Цепь имеет три контура-ячейки, т. е. в общем случае по второму закону Кирхгофа следовало бы составить три независимых уравнения. Но так как в верхнем контуре действует источник тока, т. е. в этом контуре ток ^ известен, то составляем уравнения только для двух других контуров, обозначенных на рис. 2.23, б цифрами 1и 2:

U_L-U_c=E, (2.42в)

U_r+U_c = 0. (2.42г)

По закону Ома в комплексной форме для резнстнвного (2.29), индуктивного (2.32) и емкостного (2.36) элементов электрической цепи

U_r=rI_r; U_L=jxI_L; U_с = — jХ_СIс (2.42д)

Следовательно, уравнения (2.42в) и (2.42г) можно записать в виде

jx_LI_L+ jx_cI_c = Ё; (2.42е)

rI_r - jx_cI_c = 0. (2.42ж)

4. 
   Решив совместно систему четырех алгебраических уравнений (2.42а), (2.426), (2.42е) и (2.42ж) с четырьмя неизвестными токами, определим их комплексные значения:
   

Для найденных комплексных значений тока запишем соответствую­щие им мгновенные значения:
Комплексные значения напряжения определяются по <2.42д), а мгновенные значения записываются аналогично мгновенным зна­чениям токов.

Для линейных электрических цепей синусоидального тока, так же как и для линейных электрических цепей постоянного тока, справед­лив принцип наложения (см. § 1.15). Поэтому для упрощения анализа линейных цепей синусоидального тока можно применять различные методы расчета, которые были рассмотрены при анализе линейных цепей постоянного тока: метод преобразования цепей (см. § 1.12), метод двух узлов (см. § 1.13), метод контурных токов (см. § 1.14), метод эквивалентного генератора (см. § 1.17) и др. Для анализа ли­нейных цепей синусоидального тока рассмотренные в гл. 1 методы расчета применяются в сочетании с комплексным методом. При этом математические формулировки различных методов расчета цепей постоянного тока остаются справедливыми и для расчета цепей сину­соидального тока . Нужно только все ЭДС, напряжения и токи заменить комплексными значениями соответствующих синусоидальных величин, а сопротивления элементов — комплексными сопротивлениями.

В дальнейшем для понятий комплексные значения ЭДС, напря­жения, токи и т. д., а также соответствующих им векторов комплек­сных значений будем пользоваться и сокращенными терминами, нап­ример комплексный ток или просто ток.
2.10 НЕРАЗВЕТВЛЕННАЯ ЦЕЛЬ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА



В неразветвленной цепи (рис. 2.24) при действии источника сину­соидальной ЭДС


ток также синусоидален:




и напряжения на резистивном, индуктивном и емкостном элементах:

Для расчета режима неразветвленной цепи синусоидального тока применим комплексный метод. Представим все синусоидальные вели­чины соответствующими комплексными значениями по (2.21):




На рис. 2.24 стрелками изображены положительные направления тока, ЭДС и напряжений.




Выберем направление обхода контура по направлению движе­ния часовой стрелки и запишем уравнение по второму закону Кирхгофа (2.41):
здесь учтен закон Ома для резистивного (2.29), индуктивного (2.32) и емкостного (2.36) элементов.

Из (2.43). найдем комплексный ток в цепи:








напряжение между выводами неразвет­вленной цепи (рис. 2.24).




Величина, стоящая в знаменателе выражения для комплексного тока (2.44), называется комплексным сопротивлением(неразветвленной цепи):




Каждому значению комплексного сопротивления 2, т. е. комплекс­ному числу, соответствует точка на комплексной плоскости. Ее поло­жение однозначно определяется вектором на комплексной плоскости (рис. 2.25). Этот вектор является геометрической интерпретацией комплексного сопротивления и имеет такое же обозначение 7,.

Слагаемые комплексного сопротивления изображены на рис. 2.25 также в виде векторов для двух случаев: х_Lxс (рис. 2.25,о) и х_Lxс (рис. 2.25, б). В первом случае комплексное сопротивление имеет индуктивный характер, во втором — емкостный. Геометрическая ин­терпретация комплексного сопротивления позволяет легко перейти от алгебраической формы записи комплексного сопротивления (2.45 а) к тригонометрической и показательной формам:







модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление, ф = агс1§ -^ - ^ — аргумент комплекс-

ного сопротивления. В зависимости от знака величины аргумент комплексного сопротивления может быть либо положитель­ным (индуктивный характер), либо отрицательным (емкостный характер),







Подставим значение комплексного сопротивления в показательной форме (2.45в) в (2.44). При этом ток в цепи будет определен по закону Ома для неразветвленной цепи:

Если значения параметров резистивного, индуктивного и емкост­ного элементов известны и задано напряжение между выводами нераз­ветвленной цепи (рис. 2.24), то по закону Ома для неразветвленной цепи (2.46) однозначно определяется комплексный ток в цепи. При известном комплексном токе в цени комплексные напряжения на ре-зистивном, индуктивном и емкостном элементах рассчитываются соот­ветственно по (2.29), (2.32), (2.36).

На рис. 2.26 приведены векторные диаграммы тока и напряжений неразветвленной цепи (рис. 2.24) для двух случаев: (рис. 2.26, а) (рис. 2.26, б) при одинаковом заданном напря­жении. Если комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер, то ток / отстает по фазе от напряжения U, так как ф > 0 (рис. 2.25, а) к по (2.47) ¥_i <¥_u. Если комплексное сопротивление цепи имеет ем­костный характер, то ток в цепи опережает но фазе напряжение, та к как Ф<0 (рис. 2.25, 6) и по (2.47) ¥_i <¥_u. На векторной диаграмме положительное значение угла ф отсчитывается против направления движения часовой стрелки от вектора комплексного значения тока /, а отрицательное значение — по направлению движения часовой стрелки.

При нескольких последовательно соединенных резистивных индук­тивных и емкостных элементах комплексное сопротивление

где Я — активное сопротивление и реак­тивное сопротивление этой неразветвленной цепи. В активном соп­ротивлении происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а в реактивном сопротивлении не про­исходит.




Введенные здесь понятия об активном и реактивном сопротивлениях неразветвленной цени применяются и для характеристики более сложных цепей. В общем случае можно говорить об активном и реак­тивном сопротивлениях любой пассивной цепи синусоидального тока, имеющей два вывода.

Напряжение на элементах схемы замещения, соответствующих активному или реактивному сопротивлению цепи, называется падением напряжения.

Выражению (2.48) соответствуют треугольники сопротивлений на комплексной плоскости (рис. 2.27). На рис. 2.27, а построен тре­угольник сопротивлений при х > 0, т. е. при индуктивном характере комплексного сопротивления, а на рис. 2.27, б — при х <0, т. е. при емкостном характере комплексного сопротивления. Там же показаны схемы замещения соответствующих электрических цепей. Из треуголь­ников сопротивлений наглядно определяются тригонометрическая и показательная формы комплексного сопротивления неразветвленной пассивной цепи, совпадающие с выражениями (2.45), причем полное сопротивление г и аргумент ф комплексного сопротивления (2.48) будут:



2.14 ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ВЕТВЕЙ

На рис. 2.33 представлена схема электрической цепи, состоящей из параллельного соединения резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Будем считать заданными проводимость резистивного элемента комплексные проводимости ипдуктив и емкостного И элементов и одинаковое напряжение на каждом из элементов







о первому закону Кирхгофа определим комплексное значение общего тока, равного току источника ЭДС:




где учтено, что по [закону Ома I_г = qU; I_ь =-jb_lU комплексы токов в резистивиом, индуктивном и емкостном элементах. Сумма комплексных проводимостей всех параллельных ветвей в выражении (2.61) равна комплексной проводимости данной цепи (в алгебраической форме):




Обратная величина комплексной проводимости 1/Y = Z = Rе-это комплексное сопротивление. Поэтому в показательной форме комплексная проводимость







и в тригонометрической форме





где

цепи или 'полная проводимостьцепи;

На комплексной плоскости (рис. 2.34) слагаемые комплексной про-,_Мост1 цепи изображены в виде векторов для двух случаев: Ь, >• Ь_с (рис2 34 а) Ь, >• Ь (рис. 2.34, б). В первом случае комплексная проводимость цепи индуктивный характер, во втором емкостный.




Подставив значение комплексной проводимости цепи в показа­тельной форме (2.63а) в (2.61), получим комплексное значение тока в виде







Из (2.64) следует, что действующее значение тока в неразветвленной части цепи






На рис. 2.35 приведены векторные диаграммы напряжения и токов рассматриваемой цепи дли двух случаев: Ь,. > Ь_с (рис. 2.35, и) и. (рис. 2.35, 6) при одинаковом напряжении 0 . Если комплексная проводимость цепи имеет индуктивный характер, то общий ток (в неразветвленной части цепи) отстает по фазе от напря­жения, так как гр;. Если комплексная проводимость цепи имеет емкостный характер, то общий ток опережает по фазе на­пряжение, так как Заметим, что, как и ранее, положительные значения угла ф отсчитываются против направления Движения стрелки часов от вектора комплексного значения тока I. Комплексная мощность анализируемой цепи







|Если электрическая цепь содержит несколько резистивных, индуктивных и емкостных элементов, включенных параллельно, то комплекс-

ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было. Поэтому




Откуда






Подставим эти значения в (5.32а) а учтем, что по формуле Эйлера (2.25}





В результате получим зависимость изменения напряжения на емкостном эле­менте от времени в виде







Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций можно заменить одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение w₀/ б =tqф т.е.- будем считать, что wи б — катеты прямоугольного треугольника (рис. 5.7), гипо­тенуза которого







Разделив и умножив (5.33) на 1/LC, получим:







и по (5.27) разрядный ток







Зависимости (5.34) и (5.35) показывают, что напряжение емкостного элемента И разрядный ток можно рассматривать как синусоидально изменяющиеся во вре­мени величины, но с амплитудами, умень­шающимися по экспоненциальному закону при постоянной времени т= 1/6= 21./г.

Для построения соответствующих за­висимостей можно сначала построить вспомогателыне экспоненты







Рис. 5.7.

Кривые изменения напряжения и тока (рис. 5.И) должны вписаться в пределы, ограниченные указанными вспомогательными экспонентами. Для нахождения ха­рактерных точек кривой изменения напряжения на емкостном элементе, таких как и_с(0) = Е и «_с (0 = 0, на рисунке показана точками вспомогательная кривая —

синусоида.

Рассмотрим теперь случай действительных отрицательных корней р_1Лхаракте­ристического уравнения (5.29).

Если г²/ 4L² > 1/LС, то действительные корни имеют различные значения, причем р₂ < р₁< 0. Для нахождения А₁ к А₂ в общем решении (5.30) восполь­зуемся аналогично предыдущему законами коммутации для емкостного и индук­тивного элементов:










Подставив найденные значения постоянных интегрирования в (5.30), получим

зависимости напряжения на ёмкостном эле­менте:







тока разрядки:






Кривые изменения напряжения и тока "по-

казаны на рис. 5.9, где пунктиром нанесены также вспомогательные экспоненты. В течение всего переходного процесса напряжение и ток не изменяют знака, т. е. разрядка емкостного элемента апериодическая.

Для предельного случая апериодического процесса, если г²/ 4L²=1/LС, ха­рактеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня р1=р₂=р= —г/2L (кратные корни). При кратных корнях общее решение диффе­ренциального уравнения (5.28) отличается от (5.30) и имеет вид:


где постоянные А₁ и А₂определяются на основании законов коммутации. Зависи­мости напряжения на емкостном элементе и тока для предельного апериодического процесса разрядки









5.6. ПОДКЛЮЧЕНИЕ НЕРАЗВЕТВЛЕННОИ ЦЕПИ С ИНДУКТИВНЫМ, РЕЗИСТИВНЫМ И ЕМКОСТНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ К ИСТОЧНИКУ ПОСТОЯННОЙ ЭДС
Для неразветвленной цени с индуктивным, резистнвным и емкостным элемен­тами и источником постоянной ЭДС (рис. 5. 10, а) дифференциальное уравнение цепи неодно родное. Поэтому переходный процесс можно рассматривать как наложе­ние у ста но вившегося и свободного процессов. Так, для напряжения на емкостном элементе






где составляющая свободного процесса совпадает с (5.30), а составляющая уста­новившегося процесса и_с = Е, т. е. общее решение для напряжения
а зарядный ток






До замыкания ключа напряженения на емкостном элементе и тока в цепи не было. Поэтому в соответствии с законами ком­мутации получим для момента включения ключа (t= 0) два уравнения для опреде­ления двух постоянных А_{ и А_а:







откуда




Ограничимся здесь анализом колеба- Рис. 5.10. тельного (5.31) процесса зарядки. Выпол-

нив преобразования, аналогичные переходу от (5.33) к (5.34), получим зависимости изменения во времени напряжения на емкостном элементе и зарядного тока (рис. 5.10,6):













Напряжение на емкостном элементе достигает наибольшего значения в момент времени Оно тем больше, чем постоянная времени т = 1/6 больше периода собственных колебаний Т_й = 2л/и₀, и в пределе может превышать почти в 2 раза установившееся напряжение. Такое перенапряжение может быть опасно для изо­ляции высоковольтных установок. Чтобы исключить перенапряжение, нужно осу­ществить апериодический режим зарядки, например включить последовательно в цепь добавочный резистор.
1.7. ПОДКЛЮЧЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ ИНДУКТИВНОГО И РЕЗИСТИВНОГО ЭЛЕМЕНТОВ К ИСТОЧНИКУ СИНУСОИДАЛЬНОЙ ЭДС



В цепи, состоящей из последовательно соединенных индуктивного элемента I. и резистивного элемента с сопротивлением г (рис. 5.11, а) и подключенной к источ­нику синусоидальной ЭДС при установившемся ре­жиме синусоидальной ток (см. § 2.11)

где амплитуда тока аргумент ком­плексного сопротивления цепи; — начальная фаза ЭДС источника.


Дифференциальное уравнение цепи первого порядка такое же, как (5.3):




Поэтому свободная составляющая тока 1_СВ = АеР' и общее решение!

На основании закона коммутации для индуктивного элемента (5.1) а момент коммутации (1= 0)





Откуда





Подставив значение постоянной в общее решение, найдем зависимость тока от времени:
где т=L/r— постоянная времени цепи.

Таким образом, во время переходного процесса ток в цепи состоит из синусои­дальной составляющей и свободной составляющей, убывающей экспоненциально

(рис. 5.11,6). Практически через ин­тервал времени Зт после замыкания ключа свободной составляющей можно пренебречь.






Если момент коммутации (/= 0) выбран так, что начальная фаза на­пряжения источника >|>_н = ф, то сво­бодная составляющая тока равна ну­лю, т. е. переходного процесса нет и в цепи сразу устанавливается" сину­соидальный ток.

Ток в цепи во время переходного процесса может достигнуть максимального значения, почти в 2 раза превышающего амплитуду 1_т синусоидаль­ной составляющей. Если постоянная времени велика по сравнению с периодом синусоидальной составляющей

тока и начальная фаза напряжения источника, то примерно наибольшее значение свободной составляющие тока равно /„, и в момент времени /=в Т/2 значение тока близко к 2/_ш.

Аналогично рассчитывается переходный процесс при подключении источника синусоидального напряжения к цепи с последовательно соединенными резистивлым и емкостным элементами и в других случаях. И здесь переходный процесс зависит от начальной фазы напряжения источника: он отсутствует при, где, и выражен наиболее сильно при % = ф, когда максимальное напряжение на емкостном элементе может почти н 2 раза превысить амплитуду установившегося напряжения. Такое перенапряжение может привести к пробою изоляции в высоковольтных установках.
5.8. ГЕНЕРАТОР ПИЛООБРАЗНОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Переходный процесс служит основным рабочим режимом электрической цепи во многих электротехнических устройствах, например в генераторах пилообразного напряжения. Такие генераторы применяются, например, в электронных осциллографах для раз­вертки осциллограммы вдоль оси абсцисс— оси времени. На рис. 5. 12, а приведена простейшая схема генератора пилообразного напряжения. При замыкании ключа К в момент времени (₀=0 к цепи, состоящей из последовашльно соединенных резистивного т и емкостного С







эле­ментов. подключается источник постоянного на­пряжения Е. Ветвь с резистивным элементом К отключена, так как нет разряда между электро­дами газоразрядной лампы. В цепи возникает переходный процесс (см. рис. 5.4б), при котором напряжение на емкостном элементе нарастает по закону (5.22)

В момент времени t=t₁, напряжение на емкостном элементе достигает значе­ния U_заж — напряжения зажигания газоразрядной лампы и емкостный элемент начинает разряжаться (рис. 5.12, б)

Если время зарядки емкостного элемента значительно меньше постоянной времени т = гС, то можно приближенно считать, что скорость измене­ния напряжения ы_с постоянная и равна;



т. е. зависимость и_с (I) в интервале времени &( близка к линейной: Параметры элементов разрядной цепи (т. е. сопротивление и) подбираются такими, при которых длительность разрядки емкостного элемента значи­тельно меньше времени зарядки . К моменту времени 4 напряжение на емкост­ном элементе уменьшается до значения напряжения гашения при котором разряд между электродами в лампе прекратится. Начиная с этого момента емкост­ный элемент вновь начнет заряжаться от источника постоянной ЭДС. Напряже­ние и_с снова увеличивается по закону, близкому к линейному, до тех пор, пока не до­стигнет значения и_заж. В дальнейшем периодический процесс зарядки и разрядки емкостного элемента продолжается до тех пор, пока не будет разомкнут ключ К.

Изменяя значения параметров г и С зарядной цепи, можно регулировать пара­метры пилообразных импульсов, т. е. линейность нарастания напряжения н_с и дли-

тельность импульсов.