производные. Частные производные. 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики

• Название: 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики
• Анкор: производные
• Дата: 30.11.2022
• Размер: 0.97 Mb.
• Имя файла: Частные производные.pdf
• Тип: Документы; #820254
• страница: 3 из 7

x


определяют соответственно форму струны и скорости ее точек в начальный момент времени.

13 Возможны разные типы граничных условий. Согласно классификации [1] существуют три основных типа граничных условий города заданный режим (смещение города заданная сила города упругое закрепление. В соответствии с этой классификацией
   
0 отсутствие смещений на концах однородные условия города концы струны свободны от действия сил однородные условия города упруго закрепленные концы струны
(однородные условия города заданный закон смещения концов струны неоднородные условия города) Краевые задачи, в которых ставятся граничные условия го, го, города называют соответственно первой, второй и третьей краевыми задачами. Возможны также смешанные краевые задачи, когда на разных концах используются условия разного рода. Если струна неограниченна (имеет такую длину, что влиянием ее концов можно пренебречь, то краевая задача для нее называется задачей Коши.
Задача Коши для неограниченной струны состоит из совокупности уравнения и начальных условий (граничные условия отсутствуют
2 2
2 2
2
x
u
a
t
u





,





x
,
0

t
,
(4.2)
   
 
 
x
t
,
x
u
,
x
,
x
u






0 Задача (4.2) ставится для длинных струн, в том случае, когда влиянием концов можно пренебречь. Смешения точек струны в любой момент времени определяются только смещениями в начальный момент времени. Поэтому в задачах такого типа струну можно считать бесконечной Вынужденные колебания описываются неоднородным волновым уравнением
 
t
,
x
f
x
u
a
t
u






2 2
2 2
2
, где функция
 
t
,
x
f
определяет воздействие внешних сил.
1
Коши Огюстен (1789−1857) − фр. математик.

14 Свободные колебания в двумерной области (колебания мембраны) описываются двумерным волновым уравнением














2 2
2 2
2 2
2
y
u
x
u
a
t
u
или
u
a
u
tt


2
, где
2 2
2 2
y
x








оператор Лапласа в двумерном случае. Уравнение теплопроводности Уравнение теплопроводности связано с процессами теплопроводности и диффузии в средах. В одномерном случае оно имеет вид
2 и описывает процесс распространения тепла в стержне, боковая поверхность которого теплоизолированна. Независимые переменные имеют смысл координаты и времени. Функция
 определяет температуру в сечении
x
в момент времени
t
;
2
a

коэффициент температуропроводности. Краевая задача для ограниченного стержня формулируется в виде совокупности уравнения теплопроводности, начального условия и граничных условий
2 2
2
x
u
a
t
u





,
l
x


0
,
0

t
,
   
x
,
x
u


0
,
(4.3)
 
 
t
t
,
u
1 0


,
 
 где
l

длина стержня функция
 
x

характеризует начальное распределение температуры в стержне функции
 
t
1

,
 законы изменения температуры на левом и правом концах стержня. Возможны разные типы граничных условий в зависимости от температурного режима на концах стержня города заданная температура города заданный тепловой поток города теплообмен с окружающей средой. В соответствии с этой классификацией
 
 
t
t
,
u
1 0


,
 
 заданные температуры на концах стержня неоднородные условия города заданные тепловые потоки на концах стержня неоднородные условия города теплоизоляция концов однородные условия города на конце
l
x

задан теплообмен с внешней средой, температура которой
 
t

(неоднородное условие города) Если стержень неограничен, то соответствующая краевая задача называется задачей Коши.
Задача Коши для бесконечного стержня, состоит из совокупности уравнения и начального условия (граничные условия отсутствуют
2 2
2
x
u
a
t
u





,





x
,
0

t
,
(4.4)
   Задача (4.4) ставится для очень длинных стержней, для которых главное влияние на распределение температуры внутри стержня в любой момент времени оказывает начальное распределение температуры, а концы стержня практически не влияют на это распределение. Поэтому в задачах такого типа стержень можно считать бесконечным Процесс теплопроводности в двумерной области определяется уравнением теплопроводности














2 2
2 2
2
y
u
x
u
a
t
u
или
u
a
u
t


2
,
(4.5) где
2 2
2 2
y
x








оператор Лапласа. Неоднородное уравнение теплопроводности в двумерном случае


t
,
y
,
x
f
y
u
x
u
a
t
u















2 2
2 2
2
или


t
,
y
,
x
f
u
a
u
t



2
(4.6) описывает процесс распространения тепла в области
D
при наличии тепловых источников, характеризуемых функцией Уравнение Лапласа Уравнение Лапласа

связано со стационарными процессами теплопроводности, диффузии, колебаний, и др. В двумерном случае оно имеет вид

Лаплас Пьер Симон (1749

1827)

фр. математик, физик, астроном.

16 0
2 2
2 2






y
u
x
u
или
0


u
,
y
,
x

координаты точки на плоскости


y
,
x
u

неизвестная функция. Для стационарного процесса теплопроводности функция определяет температуру в точке


y
,
x
двумерной области. Функция, имеющая непрерывные вторые частные производные по всем аргументами удовлетворяющая уравнению Лапласа в некоторой области
D
, называется гармонической в этой области. Уравнение Лапласа получается из однородного уравнения теплопроводности (4.5) в стационарном случаете. при
0

t
u
. Если процесс теплопроводности характеризуется наличием источников, то уравнение теплопроводности (4.6) при
0

t
u
переходит в уравнение Пуассона
 
y
,
x
f
y
u
x
u







2 2
2 В зависимости от типа граничных условий различают первую и вторую краевые задачи для уравнения Лапласа (Пуассона. Пусть уравнение Лапласа решается в замкнутой области




y
,
x
D

с границей Впервой краевой задаче (задаче Дирихле) на границе задаются значения искомой функции
u
; во второй краевой задаче (задаче Неймана
4
) на границе
D

задаются значения производной
n
u
от искомой функции по внешней нормали к границе области
D
: задача Дирихле
0 2
2 2
2






y
u
x
u
,
D
D
g
u



1
(4.7) задача Неймана:
0 2
2 2
2






y
u
x
u
,
D
D
g
n
u





2
(4.8) где


y
,
x
g
1
,


y
,
x
g
2

известные на границе области функции. Одной из самых простых краевых задач является задача Дирихле для круга. Эта задача ставится в полярных координатах

,

. Оператор Лапласа в полярных координатах выводится с помощью из
2
Пуассон Симеон Дени(1781

1840)

фр. механик, физик, математик Дирихле (1805

1859)

нем. математик.
4
Нейман (1798

1895)

нем. физик, математик.

17 соотношений



cos
x
,



sin
y
, связывающих декартовы и полярные координаты, и имеет вид
2 2
2 1
1





















или
2 2
2 2
2 Сформулируем Задачу Дирихле для круга :
0 1
1 2
2 2
2 2














u
u
u
,
 




1
g
u
R
,
(4.9) где
 


,
u

неизвестная функция
 

1
g
заданная на окружности функция
R

известный радиус окружности. ГЛАВА 2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
5. Решение волнового уравнения методом Даламбера Рассмотрим решение краевой задачи (4.2) для неограниченной струны, расположенной в состоянии покоя вдоль оси
Ox
. Постановка такой задачи, называемой также Задачей Коши, включает волновое уравнение и начальные условия (граничные условия отсутствуют
2 2
2 2
2
x
u
a
t
u





,





x
,
0

t
,
   
 
 
x
t
,
x
u
,
x
,
x
u






0 Функция
 
t
,
x
u
, описывающая колебательный процесс, определяет смещение точки струны с координатой
x
в момент времени
t
в направлении, перпендикулярном оси
Ox
. Функции
   
x
,
x


задают соответственно форму струны и скорости ее точек в начальный момент времени Решение поставленной задачи может быть найдено методом Даламбера или методом характеристик. Рассмотрим основные положения этого метода.
Для отыскания решения нужно составить уравнение характеристик
0 2
2 2


dt
a
dx
, далее найти два его общих интеграла
2 1
C
at
x
,
C
at
x




. С помощью замены переменных
at
x
,
at
x






волновое уравнение

Даламбер)

фр. математик, механики философ.

18 приводится к канонической форме со смешанными производными
0


u
, общее решение которого имеет вид
 




at
x
f
at
x
f
t
,
x
u




2 После удовлетворения начальным условиям получается окончательный вид решения
 

 



 













at
x
at
x
d
a
at
x
at
x
t
,
x
u
2 1
2 1
(5.1) формула Даламбера) С физической точки зрения решение (5.1) представляет собой результат наложения двух бегущих со скоростью
a
в противоположных направлениях вдоль оси
Ox
волн. ПРИМЕР. Решить задачу Коши для волнового уравнения, описывающего процесс колебаний неограниченной струны
2 2
2 2
4
x
u
t
u





,
 
 
 
1 Определить и форму струны в момент времени


t
, сделать чертеж. РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Даламбера (5.1), положив в ней
2

a
,
 
x
cos
x


,
 
x

=1:
 















t
x
t
x
d
t
x
cos
t
x
cos
t
,
x
u
2 2
4 1
2 2
2 Выполняя тригонометрические преобразования и вычисляя интеграл, получаем решение, описывающее процесс колебаний неограниченной струны
 


t
x
t
x
t
sin
x
sin
t
cos
x
cos
t
sin
x
sin
t
cos
x
cos
t
,
x
u
2 2
4 1
2 2
2 2
2 или
 В момент времени


t
струна имеет форму
 




x
cos
,
x
u
, рис. 5.1).

19 ОТВЕТ. Понятие о рядах Фурье Рассматриваемые в этом параграфе ряды Фурье широко применяются для изучения периодических процессов в различных областях естествознания и техники. Разложение функции вряд Фурье позволяет сложное периодическое явление представить в виде суммы простых гармонических колебаний (гармоник. Представление функции в виде суммы (конечной или бесконечной) гармоник называют гармоническим анализом. Разложение функции вряд Фурье на отрезке Рядом Фурье
2
функции
)
x
(
f
, определенной на отрезке


l
,
l

и имеющей период l
2 , называется тригонометрический ряд





1 0
2
n
n
n
l
nx
sin
b
l
nx
cos
a
a


(6.1) коэффициенты которого
n
a
и
n
b
, называемые коэффициентами Фурье, определяются по формулам
2
Фурье Жан Батист (1768−1830) − фр. Математик.
x
y
O Рис. 5.1

20

,
,
n
,
dx
l
nx
sin
)
x
(
f
l
b
,
dx
l
nx
cos
)
x
(
f
l
a
,