производные. Частные производные. 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики
 Скачать 0.97 Mb.
|
|
, y , x , при этом тип уравнения сохраняется. Каждый тип уравнения характеризуется своим каноническим видом. 7 Для приведения уравнения (3.1) или (3.1 ) к каноническому виду нужно составить соответствующее ему уравнение характеристик 0 2 2 2 dx c bdxdy dy a , далее найти его общие интегралы. Эти интегралы затем используются в формулах замены переменных y , x , y , x . Рассмотрим алгоритм приведения уравнения к каноническому виду в каждом из трех случаев. 1 случай Если исходное уравнение (3.1 ) относится к гиперболическому типу, то его уравнение характеристик имеет два независимых общих интеграла 1 C y , x , 2 C y , x . Замена переменных y , x , или, приводит исходное уравнение к одной из двух возможных канонических форм u , u , u , , F u или u , u , u , , F u u ( канонический вид уравнения гиперболического типа, где F известная функция своих аргументов. 2 случай Если исходное уравнение (3.1 ) относится к параболическому типу, то его уравнение характеристик имеет один общий интеграл C y , x . В замене переменных y , x , выбирают y , x , а в качестве берут (из соображений простоты) любую функцию, удовлетворяющую условию 0 x y y x . Это условие независимости функций y , x , y , x . В результате указанной замены исходное уравнение приводится к каноническому виду u , u , u , , F u ( канонический вид уравнения параболического типа. 3 случай Если исходное уравнение (3.1 ) относится к эллиптическому типу, то его уравнение характеристик имеет комплексный интеграл Замена переменных y , x , приводит исходное уравнение к каноническому виду u , u , u , , F u u ( канонический вид уравнения эллиптического типа. ПРИМЕР. Определить тип уравнения и привести его к канонической форме 0 РЕШЕНИЕ) Определим тип уравнения. В уравнении 3 1 1 c , b , a , 0 4 2 ac b . Следовательно, уравнение относится к гиперболическому типу. Составим уравнение характеристик, преобразуем и решим его 0 3 2 2 2 dx dxdy dy 0 3 2 2 x x y y 1 3 x x y , y , 1 3 3 3 C x y dx dy y x , 2 Таким образом, найдено два независимых интеграла уравнения характеристик 3 C x y , Запишем формулы замены переменных для приведения уравнения к каноническому виду x y 3 , x y 3) Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным u u u u u x x x 3 , u u u u u y y y , u u u u u u u u xx 6 9 3 3 3 , u u u u u u u u xy 2 3 3 , u u u u u u u u yy 2 4) Подставим найденные частные производные в исходное уравнение, приведем в нем подобные, в результате чего получим его каноническую форму 0 2 3 2 3 2 6 9 u u u u u u u u u u u 0 16 1 u u u исходное уравнение в канонической форме. ОТВЕТ при x y 3 , В приведенных выше канонических уравнениях независимые переменные обозначены как , , что вовсе необязательно. Примерами уравнений указанных трех типов, имеющими каноническую форму, являются волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа. Запишем их в принятых обозначениях. Волновое уравнение 9 2 2 является уравнением гиперболического типа. Уравнение теплопроводности 2 является уравнением параболического типа. Уравнение Лапласа 0 2 2 является уравнением эллиптического типа. Замечание. Определение типа ДУ в частных производных и приведение его к каноническому виду имеет большое значение ввиду следующего 1) типом уравнения определяются основные свойства решений 2) определение типа уравнения определяет тип физического процесса волновой, диффузионный или стационарный, который описывает это уравнение 3) методы решения канонических уравнений хорошо изучены 4) для канонических уравнений разработаны численные методы решения. 4. Основные уравнения математической физики и краевые задачи для них Каждое уравнение в частных производных допускает бесчисленное множество решений. Для нахождения единственного решения к уравнению нужно добавить дополнительные условия, называемые начальными и граничными краевыми условиями. Начальные условия задают поведение решения уравнения в начальный момент времени, а граничные условия его поведение на границе рассматриваемой области. Совокупность уравнения, начальных и/или граничных условий представляет собой краевую задачу Заметим, что в зависимости от вида уравнения и области, в которой ищется решение, в задаче могут быть только начальные условия или только граничные условия или и то и другое вместе. Краевая задача, в которой есть только начальные условия, называется задачей Коши по аналогии с обыкновенными Под краевыми условиями в разных источниках подразумевают либо только граничные условия [1 Тихонов, либо совокупность начальных и граничных условий Владимиров. Мы будем пользоваться толкованием, как в [1]. 10 дифференциальными уравнениями).Краевые задачи являются основным объектом исследования в теории уравнений математической физики. Краевая задача считается корректно поставленной, если ее решение существует, оно единственно и непрерывно зависит отданных задачи. Каждый тип уравнения порождает множество краевых задач. Это связано, во-первых, с постановкой задач разной размерности. Например, существует волновое уравнение, описывающее одномерные процессы, и волновое уравнение, описывающее двумерные (трехмерные) процессы. Во-вторых, в рамках задачи одной размерности возможны различные типы краевых условий. Каждое из уравнений, будь то волновое уравнение, уравнение теплопроводности или Лапласа, связано с конкретными физическими явлениями или процессами. Вывод этих уравнений основываются на физических законах, описывающих эти процессы [1,2]. В качестве примера ниже рассматривается вывод волнового уравнения. Волновое уравнение Волновое уравнение связано с процессами колебаний. В одномерном случае уравнение имеет вид 2 2 2 Это уравнение является однородным гиперболического типа, оно описывает малые свободные поперечные колебания струны, продольные колебания стержня, пружины, крутильные колебания вала, акустические, электрические колебания и др. Независимые переменные t , x в уравнении имеют соответственно смысл продольной координаты точки струны (стержня, вала и др) и времени. Смысл функции зависит от вида рассматриваемой задачи. Для задачи о колебаниях струны функция t , x u определяет смещение точки с координатой x в момент времени t в направлении, перпендикулярном оси Ox . Параметр a зависит от физических свойств материала, из которого сделана струна T a 2 , где T сила натяжения, плотность материала. Для других задач (о колебаниях стержня, вала, электрических колебаниях) функция t , x u и константа имеют свой физический смысл. Например, при рассмотрении электрических колебаний функция t , x u характеризует напряжение или ток в сети. Рассмотрим вывод уравнения колебаний струны. Для этого введем ряд допущений. 11 Будем под струной понимать гибкую нерастяжимую (упругую) нить. Предположения гибкости и упругости означают, что напряжения (сила натяжения T ), возникающие в струне, направлены по касательной к мгновенному профилю струны и неизменны по всей длине струны истечением времени. Понятие "нить" означает, что мы пренебрегаем толщиной струны. Будем рассматривать только поперечные колебания струны, полагая, что движение происходит водной плоскости, и все точки струны движутся перпендикулярно оси Ox . В этом случае процесс колебания струны может быть описан одной скалярной функцией t , x u , которая характеризует вертикальное смещение точки струны с координатой x в момент времени Будем рассматривать малые колебания струны, те. будем считать, что смещения t , x u , а также деформации t , x u x столь малы, что квадратами этих величин по сравнению с 1 можно пренебречь. Рис. 4.1. Пусть струна имеет длину l и закреплена на концах 0 x и l x . (Рис. 4.1). В положении равновесия струна направлена вдоль оси Ox . Если струну отклонить от ее первоначального положения и отпустить, то она начнет совершать движение. Это аналогично тому, что в начальный момент времени ее точкам придали некоторую скорость. Задача состоит в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения любой точки струны в любой момент времени. На основании принятых допущений можно считать, что длина дуги | MM | 1 приближенно равна ее проекции на ось x , те. x | MM | 1 Рассмотрим движение элемента струны 1 MM . Сумма проекций на ось Ou сил, действующих на элемент 1 MM , будет равна sin ) sin( T T . В силу малости угла можно считать u x x x x M 1 M T T 12 tg sin . С учетом геометрического смысла производной получаем x t , x u x t , x x u T Ttg tg T sin T sin T , t , x u t , x x u x T t , x u x T x x t , c u T 2 Последний переход выполнен на основании теоремы Лагранжа x x t , c u t , x u , где с- абсцисса промежуточной точки элемента дуги, Согласно закону Ньютона, сумма всех действующих на движущийся объект сил равна произведению массы на ускорение. Если − линейная плотность струны, тогда масса ее элемента − x m , а ускорение − 2 2 t u . В результате для элемента струны длины x получаем уравнение x x t , c u T t t , c u x 2 2 2 Если разделить обе части на x и перейти к пределу при 0 x , x c , получим уравнение (колебаний струны или волновое уравнение, которому удовлетворяет каждая точка струны 2 2 2 2 2 x u a t u , где Для полного определения движения струны одного уравнения мало. Необходимо задать начальные и граничные условия. Краевая задача для ограниченной струны, закрепленной на концах, формулируется в виде совокупности волнового уравнения, начальных и граничных (краевых) условий 2 2 2 2 2 x u a t u , l x 0 , 0 t , x , x u 0 , x t , x u 0 , (4.1) 0 0 t , l u t , u , где функции x , |