производные. Частные производные. 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики
 Скачать 0.97 Mb.
|
|
1 ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛИНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Уравнения математической физики это раздел математики, в котором изучаются математические модели реальных физических явлений или процессов, представляющие собой дифференциальные уравнения (ДУ) в частных производных. Дифференциальные уравнения в частных производных могут содержать как одну неизвестную функцию многих переменных, таки несколько функций, тогда эти уравнения объединяются в систему ДУ с частными производными. Примерами уравнений в частных производных могут быть уравнения Пуассона или Лапласа, описывающие стационарные процессы, волновое уравнение, описывающее колебательные явления, уравнение теплопроводности. Примерами систем ДУ в частных производных являются системы уравнений Ньютона в механике, уравнений Максвелла в электродинамике, уравнений Эйлера в гидродинамике. 1. Основные понятия для уравнений в частных производных Дифференциальным уравнением в частных производных (с частными производными) называется уравнение, связывающее неизвестную функцию y , x u , независимые переменные y , x и ее частные производные по независимым переменным. Оно имеет вид 0 k k k k y u , x u ,..., y u , x u , u , y , x F , (1.1) где заданная функция своих аргументов, порядок дифференциального уравнения совпадающий с порядком старшей производной, входящей в уравнение. Область y , x D R 2 , в которой левая часть уравнения имеет смысл, называется областью определения уравнения. Решениемдифференциального уравнения в частных производных (1.1) называется такая дифференцируемая раз функция y , x u , которая обращает уравнение в тождество попеременным Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых совпадает сего порядком. Например, общее решение уравнения В общем виде неизвестная функция ) ,..., , ( 2 может зависеть от независимых переменных. 2 второго порядка 0 2 y y зависит от двух произвольных постоянных и имеет вид x sin C x cos C y 2 Для ДУ в частных производных дело обстоит иначе их общее решение зависит от произвольных функций, число которых совпадает с порядком уравнения. ПРИМЕР. Показать, что функция x y u , 0 x , где произвольная дифференцируемая функция, является общим решением уравнения РЕШЕНИЕ. Найдем частные производные, подставим их в уравнение и убедимся, что получается тождество относительно y , x : 2 x y x y x u , x x y y u 1 0 1 2 x x y y x y x y x при ОТВЕТ. Функция x y u , 0 x , зависящая от одной произвольной функции , является общим решением заданного дифференциального уравнения первого порядка. В отдельных частных случаях общее решение дифференциального уравнения в частных производных удается найти, основываясь на методах решения обыкновенных ДУ. Рассмотрим такой пример. ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения 2 y u a y x u , РЕШЕНИЕ. Обозначим y , x v y u , где y , x v вспомогательная функция, тогда исходное уравнение перепишется как уравнение первого порядка относительно этой функции, 0 y , x av x y , x v , и будет представлять собой обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными v и. Разделяя переменные и интегрируя, получим 3 adx v dv ax y C ln v ln adx v dv Обратите внимание, что множитель y C является произвольной функцией от y , а непроизвольной константой. Подставив найденную функцию y , x v в уравнение y , x v y u , получим ax e y C y u Если обозначить dy y C y , тогда общее решение исходного уравнения с частными производными второго порядка будет зависеть от двух произвольных функций и . Оно записывается в виде, указанном в ответе. ОТВЕТ Замечание. Как видно из приведенных примеров, общее решение ДУ в частных производных имеет слишком общий вид. Из него только в простых случаях можно выделить частное решение, удовлетворяющее дополнительным условиям (граничными начальным, которые обычно задаются при решении уравнений в частных производных. В теории уравнений математической физики большое место занимает рассмотрение методов, позволяющих находить частные решение, удовлетворяющие заданным дополнительным условиям, минуя нахождение общего решения. Однако в некоторых случаях для получения ответов на качественные вопросы, бывает полезным отыскание общего решения. 2. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными го порядка Однородным линейным уравнением с частными производными го порядка называется уравнение вида 0 z u z , y , x c y u z , y , x b x u z , y , x a , 0 2 2 2 c b a , (2.1) где неизвестная функция, заданные непрерывно дифференцируемые в области определения z , y , x D функции. Длярешения уравнения (2.1) составляется соответствующая ему система обыкновенных уравнений в симметричной форме 4 z , y , x c dz z , y , x b dy z , y , x a dx , далее находятся два независимых общих интеграла 1 C z , y , x , 2 C z , y , x этой системы и затем по ним в явном виде выписывается общее решение уравнения (2.1): z , y , x , z , y , x F u , где F произвольная непрерывно дифференцируемая функция от Если неизвестной функцией является функция от двух независимых переменных y , x z , и однородное линейное уравнение с частными производными го порядка имеет вид 0 y z y , x b x z y , x a , 0 2 2 b a , (2.2) то соответствующее ему обыкновенное дифференциальное уравнение записывается в форме Оно имеет один общий интеграл, по которому общее решение уравнения (2.2) выражается соотношением Применяемый метод нахождения решения имеет геометрическое истолкование общему решению соответствует семейство поверхностей y , x F z , которые ищутся из условия касания линиями уровня этих поверхностей векторов b , a p поля направлений в каждой точке из области определения Неоднородным линейным уравнением с частными производными го порядка называется уравнение вида z , y , x f y z z , y , x b x z z , y , x a , (2.3) где y , x z неизвестная функция. Это уравнение называют также квазилинейным, так как в уравнение входят линейно только частные производные, сама же функция y , x z , вообще говоря, входит нелинейно. Метод решения этого уравнения аналогичен разобранному выше. Для нахождения общего решения уравнения составляется соответствующая ему система обыкновенных уравнений 5 В результате ее решения находятся два независимых общих интеграла 1 C z , y , x , 2 C z , y , x , а затем строится общее решение уравнения (2.3) в виде 0 z , y , x , z , y , x F , которое, в отличие от предыдущих случаев, имеет неявную форму. ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения РЕШЕНИЕ. Это неоднородное линейное уравнение с частными производными первого порядка. Соответствующая ему система имеет вид Первый интеграл системы находится без затруднений в результате решения первого уравнения системы x dy y dx ydy xdx 1 Для отыскания второго интеграла воспользуемся свойством простых дробей если t b a b a b a 3 3 2 2 1 1 , то t rb qb pb ra qa pa 3 2 1 3 2 1 , где r , q , p произвольные коэффициенты, не обращающиеся одновременно в нуль. В нашем случае t y x dz x dy y dx t y x x y dz dy dx 1 1 1 1 1 Так как в знаменателе получился 0, требуемое равенство возможно только при равенстве нулю числителя дроби 0 dz dy dx , следовательно, второй интеграл равен 2 C z y x . Общее решение исходного уравнения, выраженное в неявной форме, запишем в ответе. ОТВЕТ. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными го порядка Подавляющее большинство уравнений, описывающих широкий спектр физических явлений, являются линейными уравнениями с 6 частными производными го порядка. Вследствие своей практической значимости этот вид уравнений оказался наиболее изученным. Весь последующий материал пособия посвящен именно этим уравнениям. Линейным уравнением с частными производными го порядка называется уравнение вида y , x f gu y u e x u d y u c y x u b x u a 2 2 2 2 2 2 , 0 2 2 2 c b a (3.1) где неизвестная функция заданные функции от y , x , которые в частном случае могут быть константами y , x f заданная функция, называемая правой частью уравнения. Если правая часть уравнения тождественно равна нулю в его области определения D , то уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным. Наряду с приведенными в уравнении (3.1) обозначениями производных, используются также другие обозначения, в которых уравнение записывается более компактно y , x f gu eu du cu bu au y x yy xy xx 2 , (3.1 ) В дальнейшем мы будем пользоваться и теми и другими обозначениями. Выражение называется дискриминантом уравнения (3.1) или (3.1 ). Все множество ЛДУ го порядка в зависимости от знака дискриминанта может быть разбито натри типа. Предположим дискриминант рассматриваемого уравнения сохраняет знак в некоторой области из его области определения, тогда в этой области уравнение относится к гиперболическому типу, если 0 2 ac b , параболическому типу, если 0 2 ac b , эллиптическому типу, если 0 Уравнение относится к смешанному типу, если в разных частях области определения уравнения тип его различный. Если в уравнении (3.1) или (3.1 ) коэффициенты постоянны, то его тип один и тот же в любой рассматриваемой области плоскости Линейное уравнение с частными производными го порядка всегда может быть приведено к каноническому (более простому) виду с помощью замены независимых переменных y , x |