производные. Частные производные. 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики

• Название: 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики
• Анкор: производные
• Дата: 30.11.2022
• Размер: 0.97 Mb.
• Имя файла: Частные производные.pdf
• Тип: Документы; #820254
• страница: 5 из 7

T
a
T
,
X
X
0 0
2 Выпишем общие решения каждого из уравнений полученной системы
 
x
sin
D
x
cos
C
x
X




,
 и решение уравнения в частных производных (7.1):

26
  Второй этап. Найдем собственные значения
n

и соответствующие им собственные функции
 
t
,
x
u
n
, являющиеся частными решениями уравнения (7.1), удовлетворяя граничным условиям
(7.3). Из условий
   
0 0


t
,
l
u
t
,
u
следует, что Си
0


l
sin
. Из последнего уравнения находим собственные значения Обозначая
n
n
n
n
n
n
N
D
B
,
M
D
A




, получим систему собственных функций
 
x
l
n
sin
t
l
na
sin
B
t
l
na
cos
A
t
,
x
u
n
n
n











,
,...
,
n
2 Значения
,...
,
,
n
2 не рассматриваем из условия линейной независимости системы функций
 В силу линейности и однородности исходного уравнения (7.1) сумма его частных решений
 
t
,
x
u
n
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (7.3) (принцип суперпозиции. В результате решение задачи записывается в виде ряда по системе собственных функций
 














1
n
n
n
x
l
n
sin
t
l
na
sin
B
t
l
na
cos
A
t
,
x
u
(7.4) Третий этап. Удовлетворим начальным условиям (7.2)
 







1 0
n
n
x
l
n
sin
A
)
x
(
,
x
u
,
 










1 Полученные ряды являются разложениями вряд Фурье по синусам функций
)
x
(
),
x
(


. Коэффициенты этих разложений вычисляются по формулам (6.6):
 
xdx
l
n
sin
x
l
A
l
n




0 2
,
 
xdx
l
n
sin
x
na
B
l
n





0 2
(7.5)

27 Таким образом, решение краевой задачи (7.1)

(7.3) для ограниченной струны, закрепленной на концах, задается формулами
(7.4)

(7.5) при условии сходимости полученного ряда. С физической точки зрения решение (7.4) представляет собой суперпозицию стоячих волн, совершающих колебания с частотами
l
na
n



, называемыми собственными частотами колебаний. Стоячей волной называется движение, описываемое функцией
 


x
l
n
sin
t
cos
t
,
x
u
n
n
n
n






, где
n
n
n
n
n
A
B
arctg
,
B
A






2 Точки
 
l
,
x
0

, в которых
0


x
l
n
sin
и
1



x
l
n
sin
, называются соответственно узлами и пучностями стоячей волны
 
t
,
x
u
n
. Самый низкий тон, который может создавать струна, определяется самой низкой собственной частотой и называется основным тоном струны. ПРИМЕР. Решить краевую задачу для волнового уравнения, описывающего процесс колебаний ограниченной струны, закрепленной на концах
2 2
2 2
16
x
u
t
u





,
 
 
0 0
3 2
10 1
0





t
,
x
u
,
x
sin
,
x
u
,
   
0 Определить узлы и пучности стоячей волны, соответствующей основному тону, а также форму струны в момент времени
8 1

t
, сделать чертеж. РЕШЕНИЕ. В нашем случае
3 4


l
,
a
,
 
 
0 3
2 10 1





x
,
x
sin
x
. По методу разделения переменных решение задается формулами (7.4)

(7.5), которые после подстановки данных задачи приобретают вид
 














1 3
3 4
3 4
n
n
n
x
n
sin
t
n
sin
B
t
n
cos
A
t
,
x
u
, где


,...
,
n
B
,
dx
x
n
sin
x
sin
A
n
n
2 1
0 3
3 2
10 1
3 2
3 Так как функции
x
sin
3 2

и
x
n
sin
3

ортогональны на отрезке
 
3 0,
, то интеграл поэтому отрезку от их произведения равен нулю при

28 всех
n
кроме
2

n
, при котором эти функции совпадают. Значит, при всех
2

n
. Вычислим коэффициент ряда при
2

n
:








dx
x
sin
dx
x
sin
x
sin
A
3 0
2 3
0 2
3 2
15 1
3 2
3 2
10 1
3 2
10 1
3 4
4 3
30 1
3 4
1 30 1
3 0
3 Таким образом, в ряде остается только одно слагаемое, соответствующее
2

n
, и решение записывается в виде
 
x
sin
t
cos
t
,
x
u
3 2
3 8
10 Замечание. Решение поставленной задачи можно было найти быстрее, если не пользоваться готовыми формулами для коэффициентов
(7.5), а применять непосредственно формулу общего решения (7.5). Подстановка функции (7.5) в граничное условие дает





























1 0
0 3
2 10 или
...
nx
sin
A
...
x
sin
A
x
sin
A
x
l
n
sin
A
x
sin
n
n
n














3 3
2 3
3 2
10 1
2 Последнее равенство − тождество относительно
x
, которое выполняется, если
10 1
2

A
, а все остальные коэффициенты равны нулю. Это следует из линейной независимости системы тригонометрических функций, стоящих в правой части тождества. Физический смысл решения. Процесс колебаний в рассматриваемой задаче состоит из одной стоячей волны с основным тоном или частотой колебаний
3 Узлы стоячей волны найдем из условия
 
3 0
0 3
2
,
x
,
x
sin



:
2 1
0 2
3 3
2
,
,
k
,
k
x
k
x






или
3 2
3 0
,
,
x


29 Пучности стоячей волны, соответствующие точкам колебания с максимальной амплитудой, найдем из условия
 
3 0
1 3
2
,
x
,
x
sin




:
4 9
4 3
2 2
3 При
8 1

t
струна имеет форму, определяемую функцией
x
sin
x
sin
cos
,
x
u
3 2
20 1
3 2
3 10 1
8 Ее график изображен на рис. 7.1. ОТВЕТ узлы
3 2
3 0
,
,
x

; пучности
4 9
4 Рассмотрим общую краевую задачу для неоднородного волнового уравнения, описывающего вынужденные колебания ограниченной струны
 
t
,
x
f
x
u
a
t
u






2 2
2 2
2
,
l
x


0
,
0

t
,
(7.6)
   
x
,
x
u


0
,
 
 
x
t
,
x
u




0
,
 
 
 
 
t
t
,
l
u
,
t
t
,
u
2 Решение общей задачи сложнее, чем рассмотренное выше решение однородного уравнения с однородными граничными условиями. Решение уравнения (7.6) можно представить в виде суммы четырех функций
y
O
3 Рис. 7.1 9/4 3/4 3/2 1/20
x

30
 
 


t
,
x
u
t
,
x
u
1
 

t
,
x
u
2
 

t
,
x
u
3
 
t
,
x
u
4
, каждая из которых является решением некоторой вспомогательной краевой задачи. Функции
     
t
,
x
u
,
t
,
x
u
,
t
,
x
u
3 должны удовлетворять уравнению (7.1), а функция
 
t
,
x
u
4

уравнению (7.6), при этом начальные и граничные условия для вспомогательных задач следующие
   
x
,
x
u


0 1
,
 
 
x
t
,
x
u




0 1
,
 
 
0 0
0 1
1


t
,
l
u
,
t
,
u
 
0 0
2

,
x
u
,
 
0 0
2



t
,
x
u
,
 
 
 
0 0
2 1
2



t
,
l
u
,
t
t
,
u
 
0 0
3

,
x
u
,
 
0 0
3



t
,
x
u
,
 
 
 
t
t
,
l
u
,
t
,
u
2 3
3 0
0



 
0 0
4

,
x
u
,
 
0 0
4



t
,
x
u
,
 
 
0 0
0 Первая вспомогательная задача для функции
 это по сути, та задача, которая была рассмотрена нами впервой части этого параграфа, и ее решение определяется по формулам (7.4)

(7.5). Рассмотрим решение второй вспомогательной задачи в следующем примере. ПРИМЕР Используя метод разделения переменных, найти решение краевой задачи для волнового уравнения с неоднородным граничными условием на правом конце струны
2 2
2 2
2
x
u
a
t
u





,
 
 
0 0
0 0




t
,
x
u
,
,
x
u
,
 
 
t
sin
t
,
l
u
,
t
,
u



0 РЕШЕНИЕ. Будем искать решение задачи в виде суммы двух функций
     
t
,
x
w
t
,
x
v
t
,
x
u


, где функции
w
, определяется из решения двух краевых задач
2 2
2 2
2
x
w
a
t
w





,
 
 
t
sin
t
,
l
w
,
t
,
w



0 0
; первая задача
2 2
2 2
2
x
v
a
t
v





,
 
 
 
 
t
,
x
w
t
,
x
v
,
,
x
w
,
x
v








0 0
0 0
,
 
 
0 вторая задача)
1) Найдем методом разделения переменных решение первой задачи
 
   
t
T
x
X
t
,
x
w














,
T
a
T
,
X
X
0 0
2 2
2
  

x
sin
D
x
cos
C
t
,
x
w






at
sin
B
at
cos
A




31 Из условий
 
 