производные. Частные производные. 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики
 Скачать 0.97 Mb.
|
|
const u 0 только в промежутке 2 1 x , x : 2 2 2 x u a t u , . x , x x , , x , x x , u , x u 2 1 2 1 0 РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Пуассона d e t a t , x u t a x 2 2 4 2 1 d e t a u t a x x x 2 2 2 1 4 Сделаем замену переменной z t a x 2 , тогда и при i x i z t a x x i 2 2 В результате получим dz e u t , x u z t a x x t a x x 2 2 1 2 2 0 = t a x x z z t a x x dz e dz e u 2 0 2 0 0 2 2 Интеграл вида dz e x erf z x 2 0 2 (10.4) называется функцией ошибок или интегралом вероятностей Многие задачи из теории вероятностей и других областей сводятся к этому интегралу. Его значения при различных z можно найти в справочных таблицах. Решение в нашей задаче выражается через интеграл вероятностей следующим образом ОТВЕТ ГЛАВА 6 Обозначение erf(x) происходит от словосочетания «error functions». Кроме erf(x) применяется также обозначение Ф. 39 4. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 11. Решение задачи Дирихле для круга Рассмотрим решение задачи Дирихле (4.9) для круга методом разделения переменных Фурье. Постановка задачи включает уравнение Лапласа в полярных координатах , и граничные условия на границе круга 0 1 1 2 2 2 2 2 u u u , g u R (11.1) Здесь , u неизвестная функция g заданная на границе R (на окружности) функция R известный радиус окружности. Будем искать решение в виде произведения двух функций T X , u , одна из которых зависит только от переменной , а другая только от переменной . Подставим , u в уравнение и разделим переменные 0 1 1 2 2 2 2 2 T X X T X T , 0 Последнее равенство отношений нужно приравнять константе, так как левая часть этого равенства зависит от переменной , а правая часть − от переменной (переменные , являются независимыми. Из физических соображений эта константа неотрицательна, поэтому обозначим ее 2 : 2 2 X X X T T . X X X , T T 0 0 2 2 2 (11.2) Рассмотрим случаи 0 2 и 0 При 0 2 решения уравнений системы (11.2) B A T , Заметим, что коэффициент A равен нулю, поскольку , u как функция от является периодической с периодом 2 . Коэффициент С равен нулю, так как , u − гармоническая в круге, поэтому не может иметь разрыв при 0 . Таким образом, при 0 2 функция const , u 40 При 0 2 из первого уравнения системы (11.2) Решение второго уравнения системы (11.2) будем искать в виде n X . Подстановка этого выражения в уравнение позволяет определить множество собственных значений n 0 1 2 n n n , откуда n n , причем n , иначе функция , u как функция , не будет являться периодической. Следовательно, n n D C X . Кроме того коэффициент D равен нулю, так как в противном случае функция будет разрывна в центре круга 0 и не будет гармонической. Таким образом, находим множество собственных функций, являющихся частными решениями уравнения (11.1): n n n n n sin B n cos A , u , A u 2 В силу линейности и однородности исходного уравнения (11.1) сумма его частных решений , u n также удовлетворяет этому уравнению и граничному условию (принцип суперпозиции. В результате решение задачи записывается в виде ряда по системе собственных функций 1 0 2 n n n n n sin B n cos A A , u (11.3) Определим коэффициенты ряда из граничного условия g u R . Имеем 1 Из теории рядов Фурье находим , , n , d n sin g R B , d n cos g R A , d g A n n n n 2 1 1 1 1 0 (11.4) Совокупность формул (11.3)− (11.4) дает решение задачи Дирихле для круга. Подставим выражения для коэффициентов изв формулу (11.3): 41 d n cos R g , u n n 1 2 1 После преобразований получим решение задачи Дирихле для круга d cos R R R g , u 2 2 2 2 2 1 (11.4) Интеграл, стоящий в правой части равенства (11.4) называется интегралом Пуассона. ПРИМЕР, Решить краевую задачу, описывающую стационарный процесс теплопроводности в круге 0 2 2 2 2 y u x u , y y x u D 4 1 2 2 , если область D круг 4 2 2 y x , его граница. РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая задача является задачей Дирихле для круга. Сформулируем ее в полярных координатах. Связь декартовых и полярных координат дается формулами cos x , Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид 0 1 1 2 2 2 2 Радиус круга равен 2, поэтому граничное условие sin cos sin sin cos u 2 1 2 4 4 1 2 2 2 Подставим решение 1 в граничное условие, в результате чего получим тождество 1 0 2 2 2 1 2 Приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, в силу их линейной независимости найдем 1 2 4 2 2 2 A A ; 4 1 2 2 1 Остальные коэффициенты равны нулю. Следовательно, решение поставленной задачи, определяющее распределение температуры в круглой пластине, имеет вид |