dx
)
x
(
f
l
a
l
l
n
l
l
n
l
l
2 1
1 1
1 Вопрос о разложимости функции вряд Фурье решается с помощью теоремы Дирихле.
У слови я Дирихле говорят, что функция удовлетворяет на отрезке
l
,
l
условиям Дирихле, если на этом отрезке функция
)
x
(
f
:
1)
кусочно-непрерывна, те. имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва I рода, в частности, функция может быть непрерывна на всем отрезке кусочно – монотонна, те. отрезок
l
,
l
можно разбить наконечное число отрезков, на каждом из которых
)
x
(
f
или возрастает, или убывает, или остается постоянной, в частности, функция может быть монотонной на всем отрезке
l
,
l
. Теорема Дирихле функция с периодом
l
2 , удовлетворяющая на отрезке
l
,
l
условиям Дирихле, разлагается вряд Фурье, сходящийся на всей числовой оси, причем в каждой точке x непрерывности функции
)
x
(
f
сумма ряда
)
x
(
S
равна значению
)
x
(
f
в этой точке в каждой точке
0
x
разрыва
)
x
(
f
сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов
)
x
(
f
в этой точке
2 0
0 0
0 0
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
S
.
3
Дирихле (1805
1859)
нем. математик.
4
При исследовании сходимости рядов Фурье можно рассматривать три типа сходимости поточечную сходимость, сходимость в пространстве L
2
(по норме в этом пространстве) и равномерную. Теорема Дирихле устанавливает условия поточечной сходимости. Самой сильной является равномерная сходимость. Из нее вытекают и поточечная сходимость и сходимость по норме в L
2
21 Необходимо учитывать, что концы отрезка
l
,
l
, в зависимости от задания периодической функции, могут оказаться как точками непрерывности функции, таки точками ее разрыва. Так как равенство между функцией
)
x
(
f
и ее рядом Фурье может нарушаться в точках разрыва, при записи разложения функции вряд Фурье будем вместо символа равенства «=» использовать символ «
»:
1 0
2
n
n
n
l
nx
sin
b
l
nx
cos
a
a
)
x
(
f
(6.1
*
) Разложение вряд Фурье четных и нечетных функций Определенный интеграл отчетной или нечетной функции обладает следующими свойствами
l
чет
l
l
чет
dx
f
dx
f
0 2
;
0
l
l
нечет
dx
f
Вследствие этих свойств, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы, а ряд Фурье нечетной функции – только синусы. Такие разложения называются соответственно разложениями по косинусами по синусам. Если
)
x
(
f
– четная функция, периодическая, удовлетворяющая условиям Дирихле на
l
,
l
, то ее разложение вряд Фурье имеет вид
1 0
2
n
n
l
nx
cos
a
a
)
x
(
f
(6.3)
3 2
1 0
2 2
0 0
0
,
,
n
,
b
,
dx
l
nx
cos
)
x
(
f
l
a
,
dx
)
x
(
f
l
a
n
l
n
l
(6.4) Если
)
x
(
f
– нечетная функция,
l
2
– периодическая, удовлетворяющая условиям Дирихле на
l
,
l
, то ее разложение вряд Фурье имеет вид
1
n
n
l
nx
sin
b
)
x
(
f
(6.5)
,
,
,
n
,
dx
l
nx
sin
)
x
(
f
l
b
,
a
,
a
l
n
n
3 2
1 2
0 0
0
(6.6)
22 ПРИМЕР. Разложить вряд Фурье функцию
x
)
x
(
f
,
3 3
x
, если период функции РЕШЕНИЕ. Построим график функции с учетом ее периодичности (рис. 6.1). Рассматриваемая функция удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому может быть разложена вряд Фурье.
Рис. 6.1. Рассматриваемая функция при
3 3
x
является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат 0. В формулах разложения следует положить
0
a
,
0
n
a
,
3 Найдем коэффициенты разложения
.
nx
cos
n
V
,
dx
du
,
dx
nx
sin
dV
,
x
u
dx
nx
sin
x
dx
l
nx
sin
)
x
(
f
l
b
l
n
3 3
3 3
3 2
2 3
0 0
.
n
nx
sin
n
n
cos
n
dx
nx
cos
n
nx
cos
n
x
n 1 3
0 2
3 0
3 0
1 6
3 3
9 3
2 3
3 3
3 3
2
Здесь использованы равенства
n
n
cos
1
,
0
n
sin
при
,
,
n
2 Используя формулу разложения нечетной функции
x
3
0
6
y
-3
-6
-3 3
23 1 nnlnxsinb)x(f , выпишем разложение заданной функции 1 1 3 ОТВЕТ Разложение вряд Фурье непериодической функции Непериодическую функцию, удовлетворяющую на отрезке условиям Дирихле, можно разложить на этом отрезке вряд Фурье общего вида, а также вряд по косинусам или по синусам, используя приведенные выше формулы. В этом случае сумма ряда Фурье )x(S и заданная функция будут совпадать только на отрезке разложения b,a в точках непрерывности функции )x(f. Вне этого отрезка сумма ряда Фурье )x(S, являющаяся периодической функцией, не будет совпадать с исходной непериодической функцией ПРИМЕР. Разложить функцию x)x(f 2 вряд Фурье общего видана отрезке 4 РЕШЕНИЕ. Для сходимости ряда Фурье к разлагаемой функции во всех внутренних точках отрезка 4 0 , нужно выбрать период разложения 4 2 ablT, где 4 0 b,a Найдем коэффициенты разложения badx)x(faba2 0 .xxdxx0 8 8 2 1 2 2 2 1 2 4 2 4 0 2 4 0 bandxabnxcos)x(faba2 2 badxnxcosx4 2 2 4 2 badxnxcosx2 2 2 1
24
.
cos
n
cos
n
nx
cos
n
dx
nx
sin
n
nx
sin
n
x
.
nx
sin
n
V
,
dx
du
,
dx
nx
cos
dV
,
x
u
0 0
2 2
2 4
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 4
0 2
2 4
0 4
0
b
a
n
dx
a
b
nx
sin
)
x
(
f
a
b
b
2 2
4 0
4 0
2 2
2 1
4 2
2 4
2
dx
nx
sin
x
dx
nx
sin
x
4 0
2 2
2 2
1 2
2 2
2
nx
cos
n
x
.
nx
cos
n
V
,
dx
du
,
dx
nx
sin
dV
,
x
u
.
n
nx
sin
n
n
n
cos
n
dx
nx
cos
n
4 2
4 4
2 4
2 1
2 2
4 0
2 2
4 Разложение вряд Фурье заданной функции имеет вид
1 2
1 Замечание. Ряд содержит только синусы, что означает нечетность его суммы. Решение могло быть короче, если бы изначально построили периодическое продолжение исходной, заданной на отрезке
4 0,
функции, и установили нечетность периодического продолжения. В этом случае можно было сразу воспользоваться формулами разложения нечетной функции (6.5)−(6.6). ОТВЕТ. Решение волнового уравнения методом разделения переменных Фурье
25 Метод разделения переменных или метод Фурье это наиболее распространенный метод отыскания решений уравнений математической физики в аналитическом виде. Рассмотрим этот метод применительно к краевой задаче (4.1) о свободных колебаниях ограниченной струны, закрепленной на концах. Пусть струна имеет длину l и расположена в состоянии покоя вдоль оси Ox. Постановка задачи включает однородное волновое уравнение, начальные и граничные условия 2 2 2 2 2 xuatu , lx 0 , 0 t, (7.1) x,xu 0 , xt,xu 0 , (7.2) 0 0 t,lut,u, Функция t,xu, описывающая колебательный процесс, определяет смещение точки струны с координатой x в момент времени t в направлении, перпендикулярном оси Ox. Функции x,x задают форму струны и скорости ее точек в начальный момент времени Однородные (нулевые) граничные условия 0 0 t,lut,u означают, что концы струны закреплены. Ключевым положением метода разделения переменных является отыскание решения в виде произведения двух функций tTxXt,xu , одна из которых зависит только от переменной x, а другая только от переменной t. Процесс нахождения решения состоит из нескольких этапов. Первый этап. Подставим выражение tTxXt,xu в уравнение (7.1) и разделим переменные 2 2 2 Последнее равенство отношений нужно приравнять константе, так как левая часть этого равенства зависит от переменной t, а правая часть − от переменной (переменные t,x являются независимыми. Из физических соображений эта константа неотрицательна, поэтому обозначим ее 2 : 2 2 XXTaT . |
Скачать 0.97 Mb.