производные. Частные производные. 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики

• Название: 1 глава дифференциалиные уравнения в частных производных. Краевые задачи уравнения математической физики
• Анкор: производные
• Дата: 30.11.2022
• Размер: 0.97 Mb.
• Имя файла: Частные производные.pdf
• Тип: Документы; #820254
• страница: 6 из 7

t
sin
t
,
l
w
,
t
,
w



0 0
находим
0

C
и
 
l
sin
t
,
l
w




t
sin
at
sin
B
at
cos
A





(полагаем
1

D
)
 
l
a
sin
t
sin
x
a
sin
t
,
x
w
A
,
l
a
sin
B
,
a












0 в предположении, что
0


l
a
sin
2) Решение второй краевой задачи определяется формулами
(7.4)

(7.5), в которых нужно положить
 
0


x
,
 Вычисление коэффициентов дает
0

n
A
,









xdx
l
n
sin
x
a
sin
l
a
sin
na
B
l
n
0 2
 
  

2 2
1 0
2 В результате находим
 
 
  













1 2
2 1
1 Окончательно решение записывается в виде суммы двух функций
     
t
,
x
w
t
,
x
v
t
,
x
u


, которое далее запишем в ответе. ОТВЕТ В предположении, что
0


l
a
sin
 
 
  

















1 2
2 1
1 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
8. Решение уравнения теплопроводности методом разделения переменных Фурье

32 Рассмотрим решение краевой задачи (4.3) для стержня длины
l
, расположенного вдоль оси
Ox
. Будем считать нулевой температуру на концах стержня. Постановка краевой задачи включает уравнение теплопроводности, начальное условие и граничные условия
2 2
2
x
u
a
t
u





,
l
x


0
,
0

t
,
(8.1)
   
x
,
x
u


0
,
(8.2)
 
0 0

t
,
u
,
 
0

t
,
l
u
(8.3) Функция
 
t
,
x
u
определяет температуру стержня в точке
x
в момент времени
t
. Функция
 
x

характеризует начальное распределение температуры в стержне граничные условия
 
0 0

t
,
u
,
 означают, что на левом и правом концах стержня температура равна нулю. Для нахождения решения воспользуемся методом разделения переменных Фурье. Этот метод уже применялся при отыскании решения задачи Коши для волнового уравнения (см. параграф 7). Здесь поступим аналогично. Будем искать решение в виде произведения двух функций
 
   
t
T
x
X
t
,
x
u

, одна из которых зависит только от переменной
x
, а другая

только от переменной
t
. Процесс нахождения решения состоит из трех этапов. Первый этап. Подставим выражение
 
   
t
T
x
X
t
,
x
u

в уравнение (8.1) и разделим переменные






2 Последнее равенство отношений нужно приравнять константе, так как левая часть этого равенства зависит от переменной
t
, правая часть − от переменной
x
, а переменные
t
,
x
являются независимыми. Из

33 физических соображений эта константа неотрицательна, поэтому обозначим ее
2

:






2 2
X
X
T
a
T











.
T
a
T
,
X
X
0 0
2 Выпишем общие решения каждого из уравнений полученной системы
 
x
sin
D
x
cos
C
x
X




,
 
t
a
Me
t
T
2 2



, и решение уравнения в частных производных (8.1):
  

x
sin
D
x
cos
C
t
,
x
u




t
a
Me
2 Второй этап. Найдем собственные значения
n

и соответствующие им собственные функции
 
t
,
x
u
n
, являющиеся частными решениями уравнения (8.1), удовлетворяя граничным условиям
(8.3). Из условий
   
0 0


t
,
l
u
t
,
u
следует, что Си
0


l
sin
. Из последнего уравнения находим собственные значения
l
n
n



,
,...
,
n
2 Обозначая
n
n
n
M
D
A


, получим систему собственных функций
 
x
l
n
sin
e
A
t
,
x
u
t
l
a
n
n
n




2 2
2 2
,
,...
,
n
2 Значения
,...
,
,
n
2 не рассматриваем, так как система функций
 
t
,
x
u
n
должна быть линейно независимой. В силу линейности и однородности исходного уравнения (8.1) сумма его частных решений
 
t
,
x
u
n
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (8.3) (принцип суперпозиции. В результате решение задачи записывается в виде ряда по системе собственных функций

34
 
x
l
n
sin
e
A
t
,
x
u
t
l
a
n
n
n







2 2
2 2
1
(8.4) Третий этап. Удовлетворим начальному условию (8.2):
   







1 Этот ряд является разложением вряд Фурье по синусам функции Коэффициенты разложения вычисляются по формулам (6.6), следовательно.
 
xdx
l
n
sin
x
l
A
l
n




0 2
(8.5) Таким образом, решение краевой задачи (8.1)

(8.3) для стержня с нулевыми температурами на концах, задается формулами (8.4)

(8.5). С физической точки зрения наличие в решении множителя
t
l
a
n
e
2 2
2 2


, стремящегося к нулю при


t
, означает стечением времени остывание стержня до нулевой температуры (температуры концов стержня. ПРИМЕР. Решить краевую задачу для уравнения теплопроводности, описывающего процесс изменения температуры в ограниченном стержне, на концах которого постоянно поддерживается нулевая температура. Найти приближенно распределение температуры в момент времени
1 0
1
,
t

:
2 2
25
x
u
t
u





,
 
 
 







.
,
x
,
,
,
x
,
,
x
u
2 1
0 2
1 20 1
0
   
0 РЕШЕНИЕ В нашем случае
4 5


l
,
a
,
 
 
 








.
,
x
,
,
,
x
,
x
2 1
0 2
1 20 По методу разделения переменных решение задается формулами
(8.4)

(8.5), которые после подстановки данных задачи приобретают вид
 
x
n
sin
e
A
t
,
x
u
t
n
n
n
4 16 25 1
2 2







, где
 


,...
,
n
dx
x
n
sin
x
A
n
2 1
4 4
2 Так как функция
 
0


x
только на промежутке
 
2 1,
, при вычислении коэффициентов
n
A
останется только интеграл поэтому промежутку













4 2
10 1
4 4
40 1
4 20 1
2 1
2 1
2 Окончательно решение запишем в виде
 
x
n
sin
e
n
cos
n
cos
n
t
,
x
u
t
n
n
4 4
2 1
10 1
16 25 1
2 Найдем приближенное распределение температуры в стержне в момент времени
1 0
1
,
t

, ограничиваясь одним членом ряда


x
sin
,
x
sin
e
cos
,
;
x
u
4 005 0
4 4
10 1
1 0
16 ОТВЕТ. Решение задачи Коши для уравнения
теплопроводности методом интегральных преобразований Рассмотрим решение краевой задачи (4.4) для неограниченного стержня, расположенного вдоль оси
Ox
. Постановка задачи Коши включает уравнение теплопроводности и начальное условие
2 2
2
x
u
a
t
u





,





x
,
0

t
,
(10.1)
   Функция
 
t
,
x
u
определяет температуру стержня в точке
x
в момент времени
t
. Функция
 
x

характеризует начальное распределение температуры в стержне. Для нахождения решения применим к обеим частям уравнения преобразование Фурье (см. параграф 9) попеременной Предполагается, что функция
 
t
,
x
u
и ее частные производные попеременной удовлетворяют всем условиям применения преобразования Фурье. Обозначим
 
 







dx
e
t
,
x
u
t
,
u
ˆ
x
i
− преобразование Фурье функции
 
t
,
x
u
, тогда
 
 
t
t
,
uˆ
t
t
,
x
u







;
 
 
t
,
u
ˆ
dx
t
,
x
u
d





2 В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции
 
t
,
u
ˆ

:
 
 
t
,
u
ˆ
a
t
t
,
u
ˆ







2 2
,
(10.2) Общим решением уравнения
(10.2) является функция
 
 
t
a
e
C
t
,
u
ˆ
2 Применим к этой функции обратное преобразование Фурье

37
 
 










d
e
t
,
u
ˆ
t
,
x
u
x
i
2 1
В результате найдем общее решение уравнения (10.1) в виде интеграла
 
 С 2
2 Из граничного условия
   
x
,
x
u


0
определим коэффициент
 С как преобразование Фурье функции
 
x

:
   
 
 
 С Окончательно найдем решение в виде интеграла Фурье
 
 






















d
e
d
t
,
x
u
x
i
t
a
2 2
2 Внутренний интеграл может быть преобразован следующим образом
 




t
a
x
x
i
t
a
e
t
a
d
e
t
,
x
u
2 2
2 2
4 2
1 В итоге решение задачи Коши представится формулой, называемого называемой формулой Пуассона
5
:
 
 














d
e
t
a
t
,
x
u
t
a
x
2 2
4 2
1
(10.3) Функция




t
a
x
e
t
a
t
,
,
x
g
2 2
4 2
1






удовлетворяет уравнению теплопроводности (10.1) и называется фундаментальным решением этого уравнения. Она имеет физический смысл, связанный с понятием теплового импульса. Решение (10.3) может рассматриваться как результат суперпозиции температур, возникающих в точке
x
в момент времени вследствие непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов интенсивности
 


в точках

, приложенных в момент ПРИМЕР. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности, описывающего процесс изменения температуры в неограниченном
5
Пуассон Симеон Дени(1781

1840)

фр. механик, физик, математик

38 стержне. Известно, что в начальный момент времени стержень имеет ненулевую температуру

1   2   3   4   5   6   7