1. Характеристика понятий число и счет и их развитие в истории человечества Число
 Скачать 368.5 Kb.
|
|
1. Характеристика понятий “число” и “счет” и их развитие в истории человечества Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры .Числа это неотъемлемое орудие современной цивилизации, используемое для упорядочения сферы ее деятельности. В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счёте возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества.. Число, важнейшее математическое понятие. Счёт — действие по значению глагола «считать»; вычисление, определение каких-либо количественных показателей или перечисление элементов последовательности чисел. На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т.п. Такой вид счета носит название унарной системы счисления, т.е. система счисления, в которой для записи числа применяется только один вид знаков. На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа Число и счет являются продуктом человеческой культуры, своим появлением они в большой мере обязаны развитию торговли, земледельческим работам. История развития счета началась с умения устанавливать соответствие между количеством предметов (или частей предмета), нуждающихся в пересчете, и количеством пальцев на руке. Десять пальцев на руках явились самым первым и естественным орудием и средством счета. Позже в качестве орудия счета стали использоваться зарубки на дереве, камешки и т.д. Слово служило обозначением соотношения между группами предметов: объектов счета и орудий счета равно меньше больше. 2. Системы счисления и история развития письменных нумераций. Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. Непозиционной системой счисления называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа. Непозиционные, например Единичные, Алфавитные, Римская, Древнеегипетская. . Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления. В основе римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1. Позиционные - количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра. Первая позиционная система счисления была придумана еще В Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная , шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание. Цифр, как и правил арифметики, никто сразу не выдумал, не изобрел. Мысли и слова выражались, при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках. Далее естественно стали обозначать число один одной черточкой, два — двумя, три — тремя черточками и т. д. В Древнем Египте около 4000 лет назад имелись другие значки и иероглифы для обозначения чисел. дальнейшем появляются особые обозначения отдельных звуков, то есть буквы. Было время, когда буквами пользовались и в качестве цифр. Так поступали древние греки, славяне и другие народы. Чтобы отличить буквы от чисел, славяне ставили над буквами, изображающими числа, особый знак "—" , названный «титло». Арабы заимствовали у индийцев цифры и позиционную десятичную систему, которую европейцы в свою очередь заимствовали у арабов. Поэтому наши цифры, в отличие от римских, стали называть арабскими. Правильнее было бы их называть индийскими. Эти цифры употребляются в нашей стране начиная с XVII в. Римские же цифры применяются лишь в исключительных случаях. 3. Геометрические фигуры и становление представлений об эталонах формы предметов в истории человечества. Возникновение геометрических понятий или понятий о геометрических фигурах произошло в глубокой древности при изготовлении скребков в форме дисков, круглых сосудов, конусойдных зданий и пр. Большинство общепринятых в настоящее время в геометрии названий геометрических фигур является греческими, обозначающими различные предметы той или иной формы, с которыми люди сталкивались в своей практической деятельности. в геометрии сначала появились геометрические эталоны: мяч - для шарообразных предметов, сосновая шишка - для остроконечных и т.д., а впоследствии названия этих эталонов стали названиями абстрактных геометрических фигур. В более позднее время в геометрических орнаментах появились и числовые отношения, Так, На развитие геометрического мышления существенно повлияло и развитие зарождающейся астрономии. Уже первобытные племена кочевников-скотоводов наблюдали за движением звезд и пользовались звездами как ориентирами. Становление обмена и мореплавания привили к дальнейшему развитию астрономических знаний. “Но астрономические знания немыслимы без развития знаний математических. Вначале случайное, а впоследствии все более и более систематические наблюдения небесного свода привело к ознакомлению со свойствами шара, круга и угловых направлений Исходным содержанием понятия о форме являются реальные предметы окружающей действительности. Форма — это основное зрительно и осязательно воспринимаемое свойство предмета, которое помогает отличать один предмет от другого. Человечеством создана система эталонов для обозначения форм конкретных предметов. Это система геометрических фигур. Группировка геометрических фигур может быть представлена следующим образом: плоские и объемные, имеющие углы и не имеющие их, т. е. округлые, различающиеся по внешним признакам. Таким образом, геометрические фигуры выступают образцами, эталонами формы реальных предметов или их частей. 4 характеристика понятия «величина» и история развития способов и единиц измерения протяженностей массы и объема веществ Величина-одно из основных математических понятий,возникшее в древности и подвергшееся в процессе длительного развития ряду обобщений. Общее понятие величины-непосредственное обобщение более конкретных понятий:длины,площади,объма,массы,скорости и т.д.каждый конкретный род величин связан с определенным способом сравнения соответствующих свойств с определенным способом сравнения соответствующих свойств объектов. потребность в измерении всякого рода величин так же как потребность в счете предметов возникла в практической деятельности человека на заре человеч.цивилизации.. Эти сравнения еще не были измерениями.далее процедура сравнения была усовершенствована.одна какая нибудь величина принималась за эталон,а другие величины того же рода (длины. площади, объема, массы )сравнивались с эталоном. Когда люди овладели знаниями о числах и их свойствах величине-эталону приписывалось число 1 и этот эталон стал называться единицей измерения. Цель измерения стала-оценить сколько единиц содержиться в измеряемой величине.результат измерения стал выражаться числом. При сооружении жилищ людям приходилось выполнять разные измерения. требовалось измерять длины при строительстве жилищ, при изготовлении различных орудий труда, на охоте, рыбной ловле… Вначале для измерения длины (так же как и при счете) люди пользовались руками, пальцами. Например, чтобы измерить длину стрелы, ее сравнивали с длиной руки от локтевого сустава до конца среднего пальца, в результате появилась единица длины – локоть. . Расстояние, на котором надо было вбить в землю колья при постройке хижины, человек измерял шагами или длиной ступни своей ноги. Отсюда произошла единица длины, которая в одних местностях называли лапоть, в других фут (в переводе с английского означает «нога»). У древних египтян за много веков до начала нашего летоисчисления за единицу длины был принят локоть. У них было установлено соотношения локтя и других единиц: 1 локоть равен 6 ладоням, 1 ладонь содержит 4 пальца, в 1 локте 24 пальца, Это уже целая система единиц длины.Более крупная единица длины была установлена в Вавилоне следующим образом. Человек с появлением солнечного луча, отметив начало пути, шел по прямой линии. Когда весь солнечный диск выходил из-за горизонта, человек останавливался и отмечал конец пути. Такая единица длины впоследствии была принята и в Древней Греции. Ее назвали стадия. Отсюда и название стадион. Подобно тому, как в Вавилоне была установлена стадия, в Древнем Риме была определена единица измерения площадей – югер. Этой единицей служила площадь, которую можно было вспахать на паре волов за один день работы. У арабов за мельчайшую единицу длины был принят поперечник круглого макового зернышка. 7 таких единиц составляли длину поперечника горчичного зерна. 7 горчичных зерен равнялись длине ячменного зерна. 7 зерен ячменя по длине укладывались на отрезки, равном суставу большого пальца. Предполагают, что длина сустава большого пальца послужила прообразом единицы, впоследствии названной дюймом. В 1101 г. Король Англии Генрих 1 приказал измерить расстояние от кончика его носа до кончика среднего пальца вытянутой руки. По этой мерке был изготовлен образец ярда, который стал официальной единицей длины в Англии. В одном из сочинений 16 в. сказано: «Нужно, чтобы 16 человек высоких и низких, когда они, например, выходят из церкви, поставили свои ботинки один перед другим; эта длина должна быть законной мерой, которой надлежит мерить поля». Шестнадцатая доля этой меры была названа футом. Древними русскими мерами в 16в. были пядь (ладонь), локоть (позже аршин), сажень, верста, или поприще. пользовались мерой лапоть. В России пользовались двумя видами саженей – маховой и косой. Маховая сажень – это расстояние между концами пальцев, раздвинутых на полный мах рук. Косая сажень – расстояние от концов пальцев поднятой вверх правой руки до конца пальцев левой ноги. На Руси также употреблялась мера для измерения объемов, но применялись и другие единицы: бочка, или кадь (40 ведер), ведро. Десятую долю ведра составлял штоф, а сотую часть ведра называли чаркой. С ведением метрической системы мер за единицу жидкости и сыпучих тел принят литр и декалитр. О более древних единицах объема сведения до нас не дошли. Древние вавилоняне для определения массы создали свою систему единиц. У них за мельчайшую единицу массы принимался шекель, или сикля. Более крупные единицы – шестьдесят шекелей – составляли мину (ману). Шестьдесят мин составляли билту, а у некоторых народов ее называли талант. Первые образцы единицы массы (фунт) и единицы длины (аршин) были изготовлены на Руси в 1747 г. при этом было установлено, что 40 фунтов составляют пуд, а десять пудов составляют берковец. Однако последняя единица употреблялась редко. До установления этих мер у славян единицей массы была гривна, представляющая собой слиток серебра весом около 400 г. ). Серебряная гривна одновременно служила и денежной единицей, подобно вавилонскому шекелю. 5 характеристика понятия «время» и история развития представлений человечества об измерении времени. Все календари можно разделить на следующие типы: солнечные, лунные и лунно-солнечные. Все эти календари используют естественные периодические процессы - сутки, то есть смену дня и ночи, смену фаз Луны, которые происходят на протяжении месяца, или смену времен года между двумя весенними равноденствиями, то есть период так называемого тропического года. На ранних этапах развития человечества представление о В. носило циклический характер (циклическое В.), что было вызвано исключительной важностью для человеческого существования циклических процессов: годичного и суточного циклов, цикла обращения Луны и, возможно, внутренних биоритмов организма и смены поколений. Реликтом такого циклического понимания В. является восточный календарь. В привычном нам календаре продолжительность года примерно равна времени, которое затрачивает наша планета, чтобы совершить оборот вокруг Солнца. Продолжительность месяцев связана с движением Луны, а дни - это обороты Земли вокруг собственной оси. Но бывали календари, время в которых делится по куда более странной логике. В основе календаря индейцев майя лежал период продолжительностью в 260 дней. О происхождении такого календаря историки до сих пор спорят. Согласно одной из теорий, всё дело в цифрах: числа 13 и 20 имели особое значение для майя. Другие учёные полагают, что такой календарь изобрели повитухи, чтобы предсказывать, скоро ли закончится беременность. Справедливости ради, стоит заметить, что майя использовали и другие методы учёта времени, в том числе и похожие на распространённый сейчас 365-дневный календарь. Вдобавок, у индейцев был и так называемый "долгий счёт", с помощью которого они измеряли протяжённые отрезки времени в смешанной 20, 18 и 13-ричной системе. Общий цикл данного счёта заканчивается 21 декабря 2012 года. Некоторые почему-то считают, что вместе с концом счёта должен прийти и конец света. Тысячелетние" часы. Первый прототип "тысячелетних" часов построил в 1986 году Дэнни Хилис. Сейчас это устройство находится в лондонском Музее науки, и оно уже однажды прозвонило. Это произошло, когда годовая стрелка часов сдвинулась с деления 1999 на деление 2000. Следующего раза придётся ждать 993 года. При создании таких часов приходится учитывать множество факторов. Отсутствие частей из дорогостоящих металлов очень важно, иначе велик шанс, что когда-нибудь устройство сломают мародёры. Простота в эксплуатации необходима, чтобы обслуживание часов не превратилось в проблему для будущих поколений. Естественно, рабочие части механизма должны быть на виду, иначе для изучения, починки и усовершенствования его придётся разбирать. И самое главное: часы должны показывать точное время все десять тысяч лет. Десятичное время. Хотя для счёта люди давно используют десятичную систему счисления, следы древней двенадцатеричной системы сохраняются в единицах измерения времени. Все мы знаем, что в сутках у нас 24 часа (то есть, 2*12), в каждом часе 60 минут (5*12), а в каждой минуте - 60 секунд. Несколько раз в истории человечества применялось десятичное время. Согласно этой системе измерения времени, в сутках 10 часов, разделённых на 100 минут, состоящих из 100 секунд. Её активно использовали в древнем Китае. День у древних китайцев состоял из ста частей под названием "кэ", а месяц - из 10 дней, называемых "сюнь". Десятичное счисление времени было введено и во Франции после французской революции. Бедных французов заставляли переходить на него с 1795. Через десять лет от десятичного времени отказались. Была, правда, попытка восстановить десятичный счёт времени в 1897 году, но она провалилась. 6 Сущность монографического метода обучения арифметике и его влияние на методику развития математических представлений у дошкольников. Становление методики формирования элементарных математических представлений в XIX—начале XX в. происходило под непосредственным воздействием основных идей школьных методов обучения арифметике. В то время единой методики преподавания арифметики не существовало. Шла длительная борьба между двумя направлениями, с одним из которых связан так называемый метод изучения чисел, или монографический, а с другим — метод изучения действий, который называли вычислительным Монографический метод - это метод, по которому изучали числа с помощью графических изображений, т.е. метод целостного восприятия чисел. Монографический метод получил определение метода, описывающего число. Д.Л. Волковский «Детский мир в числах», включил систему освоения чисел на основе монографического метода. Согласно методу изучения чисел в разработке немецкого методиста А. В. Грубе преподавание арифметики должно идти (в пределах. 100) от числа к числу. Каждое из этих чисел, якобы доступное «непосредственному созерцанию», сравнивается с каждым из предыдущих чисел путем установления между ними разностного и кратного отношения. Действия должны как бы сами вытекать из знания наизусть состава чисел. В процессе изучения каждого числа материалом для счета служили пальцы на руках, штрихи на доске или в тетради, палочки. Например, при изучении числа 6 предлагалось разложить палочки по одной. 1.Задавались вопросы: «Из скольких палочек составилось наше число? Отсчитайте по одной палочке, чтобы получилось шесть. Во сколько раз шесть больше одного? Какую часть шести составляет одна палочка? Сколько раз одна палочка заключается в шести?» И т. д. 2.Потом изучаемое число точно так же сравнивалось с числом 2, предлагалось разложить шесть палочек по две и отвечать на вопросы: «Сколько двоек в шести? Сколько раз два содержится в шести?» И т. д. Так данное число сравнивалось со всеми предшествующими (3, 4, 5). После каждой группы таких упражнений действия записывались в виде таблицы, результаты которой заучивались наизусть, с тем чтобы в дальнейшем по памяти производить все арифметические действия, не прибегая к вычислениям. В 90-х годах под влиянием критики монографический метод обучения арифметике был несколько видоизменен немецким дидактом и психологом В. А. Лаем. Книга В. А. Лая «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов» была переведена на русский язык. обучение по Лаю Детям показывали числовую фигуру. Они ее рассматривали, а затем описывали с закрытыми глазами расположение точек. Например, фигура, обозначающая число 4: один кружок — в левом верхнем углу, один кружок — в левом нижнем углу, один кружок — в правом верхнем углу и один кружок — в правом нижнем углу. В. А. Лай считал, что, чем отчетливее, яснее и живее наблюдение вещей, тем отчетливее, яснее и живее возникают числовые представления. За описанием следует зарисовка данной числовой фигуры и составление ее на счетах. После работы над образом числа дети переходили к изучению его состава. Педагог закрывал три кружка из четырех (дети воспринимали один верхний левый), затем он закрывал и этот кружок, а первые три открывал или закрывал два кружка. Результаты каждого действия описывались и объяснялись: один да три будет четыре; три и один будет четыре; два и два будет четыре. После этого на изученный состав числа 4 решались задачи. Ответ давался без вычислений, на основе запоминания состава числа. По этому методу дети воспринимали и запоминали числа, предлагаемые им в виде квадратных числовых фигур. Последовательность обучения по монографическому методу состояла в следующем: а) описание, наблюдение и составление некоторой числовой фигуры; б) изучение состава числа и запоминание числа; в) упражнение в арифметических действиях Однако уже в 70-х годах XIX в. стали появляться противники монографического метода. В 1874 г. в журнале «Отечественные записки» (№ 9) критике его подверг Л. Н. Толстой. «В этих немецких приемах,— писал он в статье «О народном образовании»,— была еще и та большая выгода для учителей... что при них учителю не нужно... работать над собою и правилами обучения. Большую часть времени по этой методе учитель учит тому, что дети знают, да, кроме того, учит по руководству, и ему легко». недостатки монографического метода: Во-первых, критиковалось исходное положение метода, согласно которому число в пределах 100 можно якобы наглядно представить себе как группу единиц. Такой способности не существует, говорили критики. Мы наглядно можем представить себе группу из двух — четырех предметов. А при большем количестве всегда приходится прибегать к счету. Поэтому изучать числа и их состав путем разложения числа бессмысленно. В пределах 100 таких разложений свыше 5000, запомнить которые невозможно. Во-вторых, монографический метод критиковали за томительную скуку и крайнее однообразие приемов обучения, при котором дети не осмысливали значения каждого арифметического действия, не дифференцировали их: обучение сводилось лишь к тренировке памяти и определенных навыков. Механическое заучивание начал арифметики при однообразии методических приемов отбивало желание у учащихся заниматься дальше. Несмотря на критику монографического метода, непризнание его в русских школах, поклонник этого метода Д. Л. Волковский издал книгу «Детский мир в числах» (1912). Книга иллюстрировалась числовыми фигурами В. А. Лая, карточками и чертежами. Она была предназначена не только для начальной школы, но и для приготовительных классов женских гимназий, детских садов и домашнего обучения. Монографический метод проник в детский сад, и по нему сравнительно долго (вплоть до настоящего времени) строилось обучение детей счету |