шпора 2 курс выш мат. 1. Комплексное число в алгебраической форме записи

Название	1. Комплексное число в алгебраической форме записи
Анкор	шпора 2 курс выш мат
Дата	25.09.2020
Размер	152.53 Kb.
Формат файла
Имя файла	Matan_2_semestr.docx
Тип	Документы #139660
страница	4 из 4

1 2 3 4

Вычисление двойного интеграла В п\у координатах.

Область Д наз-ся правильным в направлении оси ОУ, если прямая, проходящая через внутренние точки этой области параллельная оси ОУ, пересекает её границу равно в 2х точках.

Границу такой области записывают уравнением:

y=ϕ1(x), y=ϕ2(x) (ϕ1(x)⩽ϕ2(x))

x=a, x=b(a
В таком случае дв.интеграл вычисляется по ф-ле:

(5)

Здесь

–внут.интеграл вычисляется в первую очередь. Переменная х считается постоянной.

Результатом яв-ся ф. F(x).

Далее вычисляется внешний интеграл от этой ф.

.

Результатом дв. Ин. Яв-ся число.

Пределы во внут.интеграле зависят от переменных внешнего интеграла.

Пределы во внешнем интеграле всегда постоянны.

Область Д наз-ся правильным в направлении оси ОХ, если прямая, проходящая через внутренние точки этой области параллельная оси ОХ, пересекает её границу равно в 2х точках.

Границу такой области записывают уравнением:

х=Ψ1(у), х=Ψ2(у) (Ψ1(у)⩽Ψ2(у))

у=с, у=d (с

Здесь внут.интеграл считается по х, при его вычислении у=const. результатом его вычисления яв-ся ф. F(y), кот. идет во внешний интеграл как подынтегральная ф.

Замечание : в более сложных случаях область надо делить на правильные части.

Двойной интеграл в полярных координатах.

Рассм. Интеграл

. Так как разбиение области Д на части проводится произвольно, применим след.подход.

Совместим начало коор-т с полюсом полярной системы координат, а полярную ось с осью ОХ.

Разбиение области Д будем проводить лучами, выходящими из точки О и составляющими друг с другом Δϕi, i=

и окружностями с центром в точке О и радиусами ri , i=

.

Рассм. Один из получившихся произвольных участков.

Он образовна двумя лучами составляющие угол Δϕi и 2 окружностями с радиусами ri и

. Площадь этого участка можно найти как разность секторов:

Проведем окружность с

.

Тогда площадь нашего участка, которую м. обозначит за ΔSi:

Возьмем на новой окр.произвольную точку Р(xi,yi). Её полярный радиус ri, а полярный угол обозначим за ϕi.

Используем связь между п\у и полярными координатами:

Xi=r’i*cosϕi

Yi=r’i*sinϕi

Тогда дв.интеграл от ф. f(x,y) по области Д можно записать:

(7)

Пусть область Д имеет границу, кот. Определяется ур-ниями в полярных координатах:

r=r1(ϕ) r=r2(ϕ) ( r1(ϕ) ⩽ r=r2(ϕ) )

ϕ=α ϕ=β (α<β)

(8)

Угол отсчитывается от оси против часовой стрелки.

Замечание 1.

Если начало координат лежит внутри области интегрирования то формула 8 примет вид:

Замечание 2.

Если начало координат лежит на границе области интегрирования, то фоомула 8 примет вид:

Приложения двойного интеграла.

Вычисление площадей

Площадь ограниченная замкнутой областью Д на пл-ти ХОУвычисляется по формуле:

Вычисление объема

Объем области ограниченной сверху поверхностью z=f(x,y) , снизу замкнутой областью Д, а по бокам -цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны OZ, а направляющие яв-ся областью Д, вычисляется по формуле:

V=

Замечание .

Если тело ограничено снизу поверхностью z=ϕ(x, y), но проецируется на пл-ть ХОУ как область Д то его объем равен:

V=

Площадь поверхности в пространстве

Пусть в пространстве дана поверхность z=f(x,y), кот.проецируется в ограниченную замкнутую область Д.

Пусть ф. f(x,y) и её частные производные 1го порядка

непрерывны в каждой точке области Д.

Тогда площадь:

S=

Координаты центра тяжести плоской пластины.

Статистическим моментом относительно OХ мат.т., имеющая массу m, наз-ют произведение её ординаты на массу.

Ix=y*m

Статистическим моментом относительно OY мат.т., имеющая массу m, наз-ют произведение её абциссы на массу.

Iy=x*m

Если тело состоит из нескольких точек, то за её статистический момент принимают сумму моментов всех точек.тогда для ограниченной замкнутой области Д на ХОУ стат.момент равен:

Ix=

Iy=

ƍ-ф., определяющая плотность области Д.

Координаты центра тяжести огран.замкнт.области Д определяются:

48. Определение тройного интеграла.

Пусть дана ограниченная замкнутая область Ω в пространстве, в каждой точке кот-ой определена и непрерывна ф. f(x,y,z)

Произведем след.действи:

Разобьем область произвольно на n частей с объемами

. В каждой из этих частей выберем произвольно точку Pi(xi,yi,zi), i=

. И составим сумму вида:

(1), которую будем наз-ть интег.суммой. рассм.предел суммы (1):

(2)

Если сущ-ет конечный предел 2 интег.суммы 1, независящей ни от способа разбиения области на части, ни от выбора в них промежуточных точек, то

Тот предел наз-ся тройным интегралом от ф. f(x,y,z) по области Ω и обозначается:

(3)

Теорема о сущ-нии тройного интеграла.

Для всякой ф. f(x,y,z) непрерывной в огран.замкн.области Ω сущ-ет тройной интеграл по этой области.

Так как разбиение области на части производится произвольно, осуществимо это с помощью плоскостей параллельных координатнм плоскостям. Тогда каждая часть будем параллепипедом с измерениями: Δxi, Δyi, Δzi.

Тогда объем этой части равен ΔVi=Δxi*Δyi*Δzi

dV=dxdydz

тогда интеграл 3 перепишется в 4

50. Вычисление тройных интегралов в п/у координатах.

Пространственная ограниченная замкнутая область Ω наз-ся правильной в направлении оси z, если выполняются след. Условия:

Прямая, проходящая через любую внут.т. области параллельно оси OZ пересекает границу области ровно в 2х точках
Область Ω проецируется на пл-ть ХОУ в правильную область Д
Любая из частей области Ω, отсеченная от неё пл-тями параллельными координатным, обладает 1м и 2м свойствами.

Область параллельная направлению OZ ограничена снизу z=z1(x,y), сверху-z=z2(x,y) и проецируется на ХОУ в правильную область Д

Тогда

-внут.интеграл, вычисляется в первую очередь. При его вычислении х и у постоянны. Результатом вычисления яв-ся ф. F(x,y), кот. Идет во внешний интеграл.

Если область Д правильная в направлении оси У имеет границы y=ϕ1(x), y=ϕ2(x), x=a, x=b, то тогда вычисление тройного интеграла можно расписать по формуле:

(5)

49. Свойства тройного интеграла.

Постоянный множитель выносится за знак дв.ин.

Интеграл от алгеб.суммы равен алгеб.сумме 3-х интегралов:

Если ф. f(x,y,z)⩾0 по области Д, то и 3 интеграл от этой ф. тоже

Если ф. f(x,y,z) и φ(x,y,z) удовлетворяют неравенству f(x,y,z)⩾ φ(x,y,z) в области Ω, то и 3 интегралы удовлетворяют такому же неравенству

Если область Ω можно представить или разбить на конечное число частей, то 3 Интеграл от ф. f(x,y,z) можно представить как сумму 3-х интегралов по каждой из этих областей.

Ω=Ω1+Ω2+Ω3+…+Ωn

Теорема о среднем

Если функция f(x,у, z) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области Ω, то сущ-ет по крайней мере одна точка Р0(х0, у0, z0) в области Ω, что имеет место равенство: