Математическое описание. 1. Математическое описание. 1. Математическое описание непрерывных систем на макроуровне 1 Структура математического описания систем
 Скачать 0.56 Mb.
|
1. Математическое описание непрерывных систем на макроуровне1-1. Структура математического описания системВ общем случае непрерывная система содержит некоторое количество многополюсных компонентов, связанных между собой.  Для такой схемы можно записать следующие уравнения: а) компонентные уравнения б) уравнения схемных связей (топологические уравнения) Совместное решение компонентных уравнения уравнений и уравнений схемных связей позволяет получить математическое описание схемы, которое в матричной форме может быть записано в виде WX+S=0 где W-матрица схемы X- вектор переменных S – вектор задающих внешних воздействий  1-2. Компонентные уравнения10 . Линейный (линеаризованный) многополюсник Общая структура (n+1)- полюснника и 2n- полюсника приведена на рисунке  Для полюсов (n+1)-полюсника полюсное напряжение отсчитывается относительно (n+1)-го базисного узла. Полюса 2n-полюсника образуют так называемые порты, для которых можно выделить пару полюсов, относительно одного из которых отсчитывается полюсное напряжение каждого порта. Отличительной особенностью порта является равенство входного и выходного тока в соответствующей паре полюсов. Типичным примером порта является обмотка трансформатора, другим примером порта может служить вход дифференциального каскада на биполярных транзисторах, эмиттеры которых подключены к общему источнику тока. Будем полагать, что для каждого многополюсника зависимость между двумя переменными может быть записана уравнениями  , определяющими в явной форме для каждого полюса одну из полюсных переменных. Переменная  в общем случае может быть как последовательной, так и параллельной переменной. В зависимости от характера переменой все полюса многополюсников могут быть разделены на две группы: группу y-полюсов и группу z-полюсов. Группой y-полюсов обычно называются такие полюса, для которых зависимая переменная является переменной последовательного типа  , а группой z-полюсов – полюса, для которых зависимая переменная является переменной параллельного типа. Тогда для любого полюса, входящего в группу y-полюсов, полюсное уравнение может быть представлено в виде:  (1)Аналогично, для любого полюса, входящего в группу z-полюсов, полосное уравнение может быть представлено в виде:  (2).Проводя линеаризацию этих уравнений путем разложения их в ряд Тейлора в некоторой точке, можно представить уравнения (1) и (2) в виде:  , (3) . (4)Введем для линеаризованных неавтономных параметров обозначения  ,  ,  ,  .Кроме того, введем обозначения для автономных параметров y и z- полюсов  , .Тогда линеаризованные уравнения (3) и (4) могут быть записаны в виде  , (5)  . (6)В   ведем, далее, векторы полюсных переменных y-полюсовА   налогично, введем векторы полюсных переменных z-полюсов Кроме того, введем обозначения для матриц параметров многополюсников: Yм0=   , Bм0 =  , Jм0 = Mм0 =  ,Zм0 = ,Eм0 =  Тогда линеаризованные уравнения (5) и (6) можно записать в матричной форме Iy= Yм0Uy+ Bм0Iz+ Jм0 (7) Uz= Mм0Uy+ Zм0Iz+ Eм0 (8) где Iy, Uy, Iz, Uz – векторы токовых и потенциальных переменных y - полюсов и z - полюсов соответственно, Yм0 , Bм0 , Mм0 , Zм0 – матрицы линеаризованных неавтономных параметров компонента, Jм0, Eм0 – векторы линеаризованных автономных параметров многополюсного компонента Объединяя уравнения (7) и (8) совместно в одно матричное уравнение, получим
(9) Или, окончательно P = Wм0 Q + Sм0 (10) где
P = , Q = – векторы зависимых и независимых переменных многополюсного компонента,
Wм0 = , Sм0= –матрица и вектор автономных линеаризованных параметров многополюсного компонента. Объединяя компонентные уравнения всех многополюсников системы, получим объединенные матричные уравнения компонентов схемы. Пример  Скалярные уравнения многополюсника     Матричное уравнение многополюсника
20 . Объединенное уравнение компонентов схемы Пусть имеется схема, содержащая m компонентов произвольного типа, уравнения которых имеют вид P1 = (Wм0)1Q1 + (Sм0)1 ……. Pk = (Wм0)kQk + (Sм0)k ……. Pm = (Wм0)m Qm + (Sм0)m Объединяя эти уравнения в одно матричное уравнение, получим P = Wм0 Q + Sм0 (11) где  ,  , 
Wм0 = Объединенное уравнение совокупности всех многополюсных компонентов схемы (11) также имеет вид, совпадающий с уравнением (10), при этом матрица Wм0 будет иметь структуру диагональной блочной матрицы, в которой каждый блок описывает какой либо из компонентов схемы. Непременным условием для выбора вида компонентных уравнений является возможность представления их параметров в смешанной (гибридной) форме. Такая форма допускает использование как безразмерных, так и размерных параметров, при этом размерность параметров может быть различной для одного и того же компонента. Характер переменных в компонентных уравнениях зависит от физической природы объектов. В целях достаточной общности в настоящее время широко используется разделение переменных на две группы ‑ параллельных (продольных) и последовательных (поперечных) переменных. Помимо основных параллельных переменных  используются также интегральные параллельные переменные  Аналогично, помимо основных последовательных переменных  используются также интегральные последовательные переменные  В электротехнических системах основными параллельными переменными являются полюсные напряжения, а основными последовательными переменными являются полюсные токи  Интегральными параллельными переменными в электротехнических системах являются потокосцепления  , а интегральными последовательными переменными являются заряды  В табл.1 приводится перечень различных систем с указанием физического смысла используемых в них основных и интегральных переменных Таблица 1
30. Управляемые источники и эквивалентные схемы многополюсников В таблице приведены основные уравнения и эквивалентные схемы управляемых источников.
Запишем уравнение (5) для y - полюсов, выделив слагаемое при  =i в первой сумме и опустив для простоты верхний индексii=yiiui+  yikuk +  βilil + ji (для y - полюсов) (12)Очевидно, что уравнение (12) описывает цепь, представляющую собой параллельное соединение проводимости yii, k управляемых источников типа JU и l управляемых источников типа JI. Аналогично, запишем уравнение (6) для z - полюсов, выделив слагаемое при  =j второй сумме и опустив для простоты верхний индекс uj =zjjij+  μikuk +  zilil + ej (для z - полюсов) (13) Очевидно, что уравнение (13) описывает цепь, представляющую собой последовательное соединение сопротивления zjj, k управляемых источников типа EU и l управляемых источников типа EI. Таким образом, любой многополюсник может быть представлен эквивалентной схемой, содержащей некоторые двухполюсники и управляемые источники. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
