Математическое описание. 1. Математическое описание. 1. Математическое описание непрерывных систем на макроуровне 1 Структура математического описания систем
 Скачать 0.56 Mb.
|
|
Очевидно, что переход к минимально-мерному базису позволяет существенно уменьшить число базисных переменных сравнительно с предыдущим случаем, так как число составляющих минимиально-мерного базиса определяется числом потенциальных у-ветвей дерева и числом токовых z-связей, что значительно меньше общего числа переменных компонентов схемы. Однако такой результат достигается ценой существенного усложнения процесса формирования уравнений, так как при этом необходимо многократно выполнять процедуры вычисления произведения матриц. 30. Расширенный базис узловых потенциалов Компромиссным вариантом может быть переход к расширенному базису узловых потенциалов. Такое описание можно получить из общего уравнения для минимального базиса (37) как его частный случай. Для этого следует дополнить полюсный граф совокупностью ветвей, отображающих фиктивные двухполюсники с нулевой проводимостью, каждый из которых связывает какой-либо узел схемы с ее базисным узлом, и включить эти ветви в лагранжево дерево. Кроме того, следует все ветви полюсного графа, отображающие токовые переменные, включить в дополнение дерева, т.е. в его связи. При такой топологической структуре матрица главных сечений Π будет совпадать с матрицей инциденций полюсного графа A = [Ay Az] и будут выполняться соотношения Uyд = V, Πyy = Ay, Πyz = Az , Γzz = Γzzt = 1, Izс = Iz . Тогда уравнение (37) примет вид
Полученное уравнение и является уравнением схемы в расширенном базисе узловых потенциалов. Формирование такого уравнения осуществляется гораздо проще формирования уравнения в базисе минимальной размерности, однако это достигается путем некоторого увеличения числа базисных переменных, поскольку теперь не выполняется вырождение токовых координат. Расширенный базис узловых потенциалов в целом представляет наиболее удобный способ математического описания задач автоматизации схемотехнического проектирования. 40. Модификация базиса для задания компонентных уравнений в неявной форме Необходимо провести дополните льную модификацию расширенного базиса узловых потенциалов базиса путем снятия ограничения на способ записи компонентных уравнений их нормальной формой явного представления pi=f(…, qi, …), когда для любого i-го полюса первого типа (для любого i-го порта) одна из переменных pi является зависимой, а другая qi – независимой. Такое ограничение ограничивает возможности программиста, так как очень часто приведение компонентных уравнений к явной форме оказывается неудобным, или вообще невозможным. Для проведения такой модификации дополним полученное ранее описание компонентов схемы в виде явной формы уравнений (1) и (2) уравнениями компонентов в неявной форме, которые могут быть записаны в виде f(um, im, uy, iz) = 0, где um, im – потенциальная и токовая переменные m-го полюса (m-го порта), входящего в группу D дополнительных полюсов, уравнения которых задаются в неявной форме. Проводя линеаризацию уравнения в некоторой точке 0 аналогично рассмотренному выше случаю для y и z-полюсов, получим Gd0 Ud + Hd0 Id + Gy0 Uy +Hz0 Iz + Sd0 = 0 (39) Здесь Ud, Id – векторы потенциальных и токовых переменных дополнительных компонентов, Gd0, Hd0, Sd0 – линеаризованные в точке 0 матрицы параметров дополнительных компонентов, Uy, Iz – векторы потенциальных и токовых переменных компонентов, заданных уравнениями в нормальной форме, Gy0, Hz0 – линеаризованные в точке 0 матрицы параметров, заданных уравнениями в нормальной форме. Топологические уравнения при этом запишутся в виде Ay Iy+ Az Iz+ Ad Id= 0 (40) Uy = Ayt V (41) Uz = Azt V (42) Ud = Adt V (43) Решив уравнения (39), (40), (41), (42) (43) совместно с компонентными уравнениями (7) и (8), получим модифицированное уравнение схемы в расширенном базисе потенциалов в виде
Уравнение (43) описывает моделируемую схему в модифицированном расширенном базисе узловых потенциалов, однако, отличается от полученного ранее уравнения (38) такого типа, поскольку в модифицированном базисе возможно использование неявной формы задания компонентных уравнений, что значительно расширяет область его применения. |