анализ данных ответы на экзмен. анализ данных ответы на экзамен. 1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая фция распределения. Полигон и гистограмма
 Скачать 74.77 Kb.
|
|
6. Выборочная дисперсия как точечная оценка генеральной дисперсии, ее смещенность и состоятельность. Несмещенная оценка генеральной дисперсии На первый взгляд, наиболее подходящей оценкой для генеральной дисперсии σ2 является выборочная дисперсия s2. Следующая теорема свидетельствует о том, что s2 не является «наилучшей» оценкой. Теорема. Выборочная дисперсия s2 повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии σ2. Δ Принимая без док-ва состоятельность оценки s2, докажем, что она - смещенная оценка. В соответствии с 4 свойством дисперсии:  . На основании свойства 3 средней арифметической и дисперсии, если все значения признака уменьшить на одно и то же число С, то средняя уменьшится на это число, т.е.  , а дисперсия не изменится: .Полагая  , получим  .а) Выборка повторная Для повторной выборки выборочные значения рассматриваем как независимые случайные величины X1,X2,…,Xk,…,Xn, каждая из к. имеет один и тот же закон распределения, что и у оценки генеральной средней с числовыми характер-ми (1) и (2), т.е.  ,  , k = 1,2,...,n.Найдем мат. ожидание оценки s2:  .Первый член в правой части  .Второй член с учетом того, что  есть несмещенная оценка  , т.е. , .Поэтому  .б) Выборка бесповторная Для бесповторной выборки X1,X2,…,Xn - зависимые случайные величины. Можно показать, что  (т.к. объем генеральной совокупности N, как правило, большой и N≈N-1).Итак, и для повторной выборки, и для бесповторной  , т.е. s2 - смещенная оценка σ2. ▲Т.к.  и  , то выборочная дисперсия (в n среднем, полученная по разным выборкам) занижает генеральную дисперсию. Поэтому, заменяя σ2 на s2, мы допускаем систематическую погрешность в меньшую сторону. Чтобы ее ликвидировать, достаточно ввести поправку, умножив s2 на  . Тогда с учетом  получим «исправленную» выборочную дисперсию: .Очевидно, что  .Т.е.  является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии σ2. |