анализ данных ответы на экзмен. анализ данных ответы на экзамен. 1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая фция распределения. Полигон и гистограмма

• Название: 1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая фция распределения. Полигон и гистограмма
• Анкор: анализ данных ответы на экзмен
• Дата: 17.11.2019
• Размер: 74.77 Kb.
• Имя файла: анализ данных ответы на экзамен.docx
• Тип: Документы; #95587
• страница: 6 из 7

9. Сравнение 2 дисперсий нормальных генеральных совокупностей (распределение Фишера)
На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т.д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, к. обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.
Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными n₁ и n₂, извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии S_X² и S_Y². Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:
Н₀:D(X)=D(Y).
Учитывая, что исправленные дисперсии явл. Несмещенными оценками генеральных дисперсий, т.е.
M[S_X²] =D(X), M[S_Y²]=D(Y),
нулевую гипотезу можно записать так:
Н₀: M[S_X²]= M[S_Y²].
Таким образом, требуется проверить, что мат. Ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Такая задача ставится потому, что обычно исправленные дисперсии оказываются различными.
Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.
Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалось значимым, то точность приборов различна.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем отн-е большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину F=S_б²/S_м².
Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1, где n₁ – объем выборки, по к. вычислена большая исправленная дисперсия, n₂ – объем выборки, по к. найдена меньшая дисперсия.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
1) Нулевая гипотеза Н₀: D(X)=D(Y). Конкурирующая гипотеза Н₁: D(X)> D(Y).
В этом случае строят одностороннюю (правостороннюю) критическую обл., исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия А в эту обл. в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:
P[F>F_кр(α;k₁,k₂)]=α
Критическую т. F_кр(α;k₁,k₂) находят по табл. Крит. т. Распределения Фишера-Снедекора, и тогда правосторонняя крит. обл. определяется неравенством F>F_кр, а область принятия нулевой гипотезы – неравенством Fкр.
Обозначим отн-е большей исправленной дисперсии к меньшей, вычисленное по данным наблюдений, через F_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н₀:D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе D(X)> D(Y), надо вычислить отн-е большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. F_набл=S_б²/S_м², и по табл. Критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁ – число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку F_набл(α;k₁,k₂).
Если F_наблкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл> F_кр – нулевую гипотезу отвергают.
2) Нулевая гипотеза Н₀:D(X)=D(Y). Конкурирующая гипотеза Н₁:D(X)≠D(Y).
В этом случае строят двустороннюю критическую обл., исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту обл. в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α.
Наибольшая мощность (вероятность попадания критерия в критическую обл. при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической обл. равна α/2.
Таким образом, если обозначить через F₁ левую границу критической обл. и через F₂ – правую, то должны иметь место соотн-я:

P(F1)=α/2, P(F>F₂)=α/2.
Мы видим, что достаточно найти крит. точки, чтобы найти саму крит. обл.: F1, F>F₂, а также область принятия нулевой гипотезы F12.
Правую критическую т. F₂= F_кр(α/2;k₁,k₂) находят непосредственно по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости α/2 и степеням свободы k₁,k₂.
Левых критических точек эта таблице не содержит и поэтому найти F₁ по таблице невозможно.
Для того, чтобы обеспечить попадание критерия F в двустороннюю критическую обл. с вероятностью, равной принятому уровню значимости α, достаточно найти правую критическую т. F₂ при уровне значимости, вдвое меньшем заданного. Тогда не только вероятность попадания критерия в «правую часть» критической обл. (т.е. правее F₂) равна α/2, но и вероятность попадания критерия в «левую часть» критической обл. (т.е. левее F₁) также равна α/2. Т.к. эти события несовместны, то вероятность попадания рассматриваемого критерия во всю двустороннюю критическую обл. будет равна α/2+α/2=α.
Таким образом, в случае конкурирующей гипотезы Н₁:D(X)≠D(Y) достаточно найти критическую т. F₂= F_кр(α/2; k₁, k₂).
Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н₁:D(X)≠D(Y), надо вычислить отн-е большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. F_набл=S_б²/S_м² по табл. Критических т. распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости α/2 (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы k₁,k₂ (k₁ – число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку F_кр(α/2;k₁,k₂).
Если F_наблкр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если F_набл> F_кр – нулевую гипотезу отвергают.
10. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической дисперсией нормальной совокупности (распределение «хи-квадрат»)
Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению σ₀². На практике σ₀² устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S² с k=n-1 степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению σ₀².
Учитывая, что S² является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так: Н₀:M(S²)= σ₀².
Итак, требуется проверить, что мат. Ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению ген. Дисперсии. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.
На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая хар-ка рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная σ₀², а найденная по выборке окажется значимо больше σ₀², то станок требует подналадки.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случ. Величину (n-1) S²/ σ₀². Эта величина случайная, потому что в разных опытах S² принимает различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение χ² с k=n-1 степенями свободы, обозначим ее через χ².
Итак, критерий проверки нулевой гипотезы χ²=(n-1) S²/ σ₀²
Критическая обл. строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
1) Нулевая гипотеза Н₀: σ²=σ₀². Конкурирующая гипотеза Н₁: σ²> σ₀²
В этом случае строят правостороннюю критическую обл., исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:
P[χ²>χ_кр²(α;k)]=α.
Критическую т. χ_кр²(α;k) находят по табл. Критических точек распределения χ², и тогда правосторонняя критическая обл. определяется неравенством χ²>χ_кр², а область принятия нулевой гипотезы – неравенством χ²<χ_кр².
Обозначим значение критерия, вычисленной по данным наблюдений, через χ_набл² и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
1) Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: σ²=σ₀² о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н₁: σ²> σ₀², надо вычислить наблюдаемое значение критерия χ_набл²=(n-1) S²/ σ₀² и по таблице критических т. распределения χ², по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую т. χ_кр²(α;k)
Если χ_набл²<χ_кр² – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если χ_набл²>χ_кр² – нулевую гипотезу отвергают.
2) Нулевая гипотеза Н₀: σ²=σ₀². Конкурирующая гипотеза Н₁: σ²≠σ₀².
В этом случае строят двустороннюю критическую обл., исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту обл. в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости α.
Критические точки – левую и правую границы критической обл. – находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждой из 2 интервалов критической обл. была равна α/2:
P[χ²<χ_лев.кр.²(α/2;k)]=α/2
P[χ²>χ_{прав.кр.}²(α/2;k)]=α/2
В таблице критических т. распределения χ² указаны лишь «правые» критические т., поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической т. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события χ²<χ_лев.кр.² и χ²>χ_{прав.кр.}² противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна 1:
P(χ²<χ_лев.кр.²)+ P(χ²>χ_{прав.кр.}²)=1
Отсюда
P(χ²>χ_лев.кр.²)=1- P(χ²<χ_лев.кр.²)=1-(α/2)
Левую критическую т. можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой т. была равна 1-(α/2).
Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии σ² нормальной совокупности гипотетическому значению σ₀² при конкурирующей гипотезе Н₁: σ²≠σ₀², надо вычислить наблюдаемое значение критерия χ_набл²=(n-1)s²/ σ₀² и по табл. найти левую крит. т. χ_кр²(1-α/2;k) и правую крит. т. χ_кр²(α/2;k).
Если χ_лев.кр²<χ_набл²<χ_{прав.кр}² – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если χ_набл²<χ_лев.кр² или χ_набл²>χ_{прав.кр}² – нулевую гипотезу отвергают.
3) Конкурирующая гипотеза Н₁: σ²<σ₀²
Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁: σ²<σ₀² находят критическую т. χ_кр²(1-α; k).
Если χ_набл²>χ_кр²(1-α; k) – нет оснований отвергнуть

11. Сравнение 2 средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии к. неизвестны и одинаковы (распределение Стьюдента)

Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Например, по выборкам малого объема нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий. По этой причине метод сравнения средних применить нельзя.
Если дополнительно предположить, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой, то можно построить критерий (Стьюдента) сравнения средних. Например, если сравниваются средние размеры 2-х партий деталей, изготовленных на одном и том же станке, то естественно допустить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы.
Если же нет оснований считать дисперсии одинаковыми, то, прежде чем сравнивать средние, следует, пользуясь критерием Фишера-Снедекора, предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.
Предполагая, что генеральные дисперсии одинаковы, требуется проверить нулевую гипотезу Н₀: M(X)=M(Y). Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние , найденные по независимым малым выборкам объемов n и m.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину