анализ данных ответы на экзмен. анализ данных ответы на экзамен. 1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая фция распределения. Полигон и гистограмма

• Название: 1. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая фция распределения. Полигон и гистограмма
• Анкор: анализ данных ответы на экзмен
• Дата: 17.11.2019
• Размер: 74.77 Kb.
• Имя файла: анализ данных ответы на экзамен.docx
• Тип: Документы; #95587
• страница: 1 из 7

1.Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и дисперсия ряда. Эмпирическая ф-ция распределения. Полигон и гистограмма.
Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями).

При изучении вариационных рядов наряду с понятием частоты используется понятие накопленной частоты (обозначаем n_i^нак). Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим х. Отношение на копленной частоты к общему числу наблюдений n назовем накопленной частостью w_i^нак.

Накопленные частоты (частости) для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот (частостей) всех предшествующих интервалов, включая данный.

Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты (частости) или накопленные частоты (частости).

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и - непрерывным (интервальными), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая:

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков прямой имеют координаты (x_i,n_i), i = 1, 2,..., m.

Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака k_i=x_i+1-x_i, i = 1, 2, ..., m, и высотами, равными частотам (частостям) n_i (w_i) интервалов. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.

Кумулятивная кривая (кумулята) - кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (x_i,n_i^нак) или (x_i,w_i^нак), i = 1, 2, ..., m. Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса к-ой равна началу первого интервала, а ордината - накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов.

Эмпирической функцией pacпpeдeлeнuя F_n(x) называется относительная частота (частость) того, что признак (случайная величина х) примет значение, меньшее заданного х, т.е.

F_n(x)=w(Xx^нак

Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частость: w_x^нак=n_x^нак/n.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины Х).

Вариационный ряд содержит достаточно полную информацию об изменчивости (вариации) признака. Однако обилие числовых данных, с помощью которых он задается, усложняет их использование. В то же время на практике часто оказывается достаточным знание лишь сводных характеристик вариационных рядов: средних или характеристик центральной тенденции; характеристик изменчивости (вариации) и др.

Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот:

,

где x_i - варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда; n_i- соответствующие им частоты; m - число неповторяющихся вариантов или число интервалов;.

Очевидно, что , где w_i=n_i/n - частости вариантов или интервалов.

Основные свойства средней арифметической.

1. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:

.

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число:

.

4. Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю:

.

5. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:

.

6. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:

,

где - общая средняя (средняя арифметическая всего ряда); - групповая средняя i-й группы, объем которой равен n_i; l- число групп.

Дисперсией s² вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:

.

Формулу для дисперсии вариационного ряда можно записать в виде:

Где w_i=n_i/n.

Для несгруппированного ряда n_i=1:
.

Дисперсию s² часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она (в отличие от дисперсии СВ) находится по опытным или статистическим данным.

Вычисление средней арифметической и дисперсии s² вариационного ряда можно упростить, если использовать не первоначальные варианты x_i (i = 1, 2, ..., m), а новые варианты:

u_i=(x_i-c)/k, (1)

где с и k - специально подобранные постоянные.

Согласно свойствам 2 и 3 средней арифметической и дисперсии:

, (2)

(3)

Откуда
(4)

(5)

Затем, получим (6)

Теперь, заменяя в (4) и (5) и их выражениями и через варианты u_i, получим

(7)
(8)

где u_i определяются по (1).

Формулы (7) и (8) дадут заметное упрощение расчетов, если в качестве постоянной k взять величину (ширину) интервала по x, а в качестве с - середину серединного интервала. Если серединных интервалов два (при четном числе интервалов), то в качестве с рекомендуется взять середину одного из этих интервалов, например, имеющего большую частоту.