Учебник надежности. 2 Классические методы расчета надежности

• Название: 2 Классические методы расчета надежности
• Анкор: Учебник надежности
• Дата: 03.08.2022
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: Glava2.doc
• Тип: Документы; #639700
• страница: 1 из 3

Глава 2. Методы расчета надежности экономических
информационных систем на этапе проектирования
Методы расчета надежности сложных информационных систем применяются на этапе проектирования. Они относятся к схемно-конструкторским методам. Суть этих методов сводится к тому, что при известных показателях надежности отдельных элементов необходимо рассчитать надежность системы. Показатели надежности сложных информационных систем можно количественно оценивать, используя информацию о надежности отдельных элементов этих систем, для чего необходимо знать показатели элементов систем управления и математическую модель соединения этих элементов в систему. При этом не следует смешивать соединение элементов сложных информационных систем на технологических, принципиальных и других схемах с понятием “соединение элементов в виде математических моделей для решения задач надежности”. В общем случае, эти схемы соединений не совпадают. К наиболее перспективным методам расчета надежности систем управления можно отнести классические, топологические, логико-вероятностные, структурные.
2.1. Классические методы расчета надежности
К классическим методам относятся модели надежности с последовательным, параллельным, параллельно-последовательным соединениями элементов, их различные модификации.

Модель с последовательным соединением элементов (рис. 2.1). При расчетах надежности последовательным называется такое соединение элементов, при котором отказ хотя бы одного из них приводит к отказу всего соединения в целом. Последовательное соединение в указанном выше смысле не всегда совпадает с физическим последовательным соединением элементов. Отказы элементов предполагаются независимыми, то есть отказ любой группы элементов никак не влияет на вероятностные характеристики остальных элементов. Элемент понимается как один из самостоятельных участков последовательного соединения.



Рис. 2.1. Последовательное соединение элементов

В данном случае вероятность безотказной работы системы можно рассчитать по формуле:



где Р_с – вероятность безотказной работы системы; Р_i(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента системы

Модель с параллельным соединением элементов (рис. 2.2). При расчетах надежности параллельным (резервным) называется такое соединение элементов, при котором отказ всего соединения происходит при отказе всех элементов системы (элементы дублируют друг друга).



Рис. 2.2. Параллельное соединение элементов

В этом случае показатель надежности системы P_c определяется через вероятности отказа элементов q₁, q₂, …, q_n, которые связаны с вероятностью безотказной работы соотношениями вида
q_i(t) = 1 – P_i(t)
Вероятность отказа всей системы равна:


Тогда вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов q₁, q₂, …, q_n имеет вид

.
Модель с параллельно-последовательным соединением элементов. При расчетах надежности параллельно-последовательным называется такое соединение элементов, при котором можно составить структурные схемы участков как с последовательным, так и с паралелльным соединением элементов (рис. 2.3).


Рис. 2.3. Параллельно-последовательное соединение элементов

Для системы вначале рассчитывается вероятность безотказной работы участка 23:
P₂₃ = 1 - (1 - P₂(t))(1 – P₃(t)),
затем – участка 123:

P₁₂₃(t) = P₁(t)P₂₃(t) = P₁(t)(1 – (1 – P₂(t))(1 – P₃(t))).

Итоговая расчетная формула имеет вид
P_с(t) = 1 – (1 – P₁₂₃(t))(1 – P₄(t)).
Модели несводимые к параллельно-последовательным соединениям. К данному классу относятся системы с мостовыми и еще более сложными соединениями элементов (рис. 2.4).



Рис. 2.4. Пример мостового соединения элементов

Система является работоспособной, если работоспособны элементы:

• 
  1,3 ;
  
• 
  2,4;
  
• 
  ……….
  
• 
  1,5,4;
  
• 
  2,3,5;
  

Надежность систем данного класса целесообразно оценивать по логико-вероятностному методу, используя аппарат алгебры логики (см. раздел 2.3).

Модель с использованием марковских процессов. Модель задается в виде состояний, в которых система может находиться, и возможных переходов из одного состояния в другое (рис. 2.5).

При представлении ИС с помощью данной модели используется теория марковских процессов в том случае, если нахождение системы не зависит от того, в каком состоянии находилась ИС в прошлом.

Вероятностный граф состояний системы имеет следующие состояния:

1. Работают оба элемента системы.

2. Отказ одного из элементов.

3. Отказ двух элементов.


Рис. 2.5. Вероятностный граф состояний системы
Если заданы вероятности перехода системы из состояния iв состояние j _ij, то можно определить вероятности нахождения системы в i-м состоянии P_i(t), а значит и показатели надежности, составляя и решая уравнение Колмогорова – Смирнова.

Производная от вероятности нахождения системы в i-том состоянии равна алгебраической сумме произведений интенсивностей перехода на вероятности соответствующих состояний. Тем произведениям, которым соответствуют уходящие из данного состояния стрелки, приписывают знак "-", а входящим – "+".

Таким образом, для данного примера системы имеем:

(2.1)

Решив систему уравнений (2.1), мы определим вероятности нахождения системы в i-м состоянии P_i(t).

Функция вероятности безотказной работы системы в данном случае равна вероятности нахождения системы в 1-м состоянии:
P_c(t) = P₁(t).
2.2. Топологический метод расчета надежности
Метод основан на использовании математического аппарата марковских процессов (вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в будущем не зависит от прошлых состояний системы).

Обозначим Х как множество состояний системы:
,
где xi – i-е состояние, I – множество индексов всех возможных состояний системы, n – количество возможных состояний системы.

Разобьем множество Х на два подмножества:

• 
  подмножество работоспособных состояний системы Х_р;
  
• 
  подмножество неработоспособных состояний системы .
  

,

где X_р – подмножество работоспособных состояний системы, I_р – множество индексов работоспособных состояний системы.
,

где – подмножество неработоспособных состояний системы, J – множество индексов неработоспособных состояний системы.

Нахождение системы в том или ином состоянии обусловливает случайный процесс X(t)перехода системы в пространстве ее состояний. X(t) называют также траекторией системы.

Представим X(t) в виде вероятностного графа состояний G(X, W), где Х – множество вершин графа, соответствующих множеству состояний X; W – множество дуг, соединяющих вершины данного графа; P₁(t), ..., P_i(t), ..., P₆(t) – вероятности нахождения системы в i-м состоянии; d(w_ij) – вес дуги w_ij; a_ij – интенсивность перехода из состояния i в состояние j(рис. 2.6).

Если заданы интенсивности a_ij, то, составляя и решая систему уравнений Колмогорова, можно определить вероятности нахождения системы в i-м состоянии P_i(t), а значит и показатели надежности. Однако составление и решение системы уравнений Колмогорова является трудоемкой операцией, поэтому для решения подобных задач применяют топологический метод.

Рис. 2.6. Пример вероятностного графа состояний G(X,W)
Топологический метод использует аппарат теории графов применительно к решению задач надежности. Рассмотрим методику решения задач методом, который позволяет непосредственно по графу состояний G(X, W) без составления и решения уравнений Колмогорова вычислять показатели надежности. Для этого введем некоторые определения.

Прямой путь l^ij из вершины х_i в вершину х_j – цепь последовательно соединенных однонаправленных дуг, где каждая вершина имеет входящую и одну выходящую дуги, за исключением начальной и конечной, имеющих по одной дуге (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Определение прямых путей на графе
Вес k-го прямого пути из вершины i в вершину j
,

где - множество дуг, которые составляют k-ый прямой путь.

Замкнутый контур r – прямой путь, на котором начальная и конечная вершины совпадают (рис. 2.8). Вес замкнутого контура r
,
где – множество дуг, входящих в замкнутый контур r.


Рис. 2.8. Примеры замкнутых контуров
Частным случаем замкнутого контура является петля (рис. 2.9), в которой входящая и выходящие дуги сливаются в одну.



Рис. 2.9. Петля
Вес петли при вершине определяется как отрицательная сумма весов дуг, исходящих из этой петли:


где J_n – множество индексов вершин, которые связаны с i-ой вершиной выходящими из нее дугами.

Соединение графа S – это частичный граф, который образуют только замкнутые контуры. Частичный граф представляет собой все вершины, некоторые дуги и петли исходного графа, которые составляют независимые замкнутые контуры (то есть контуры, не имеющие общих вершин). Один граф может располагать несколькими соединениями (рис. 2.10). При образовании соединений следует помнить, что каждая вершина графа G (X, W) имеет петлю.