электроразведка. ЭЛЕКТ. 5 Метод отражений

• Название: 5 Метод отражений
• Анкор: электроразведка
• Дата: 07.03.2020
• Размер: 239.87 Kb.
• Имя файла: ЭЛЕКТ.docx
• Тип: Документы; #111167
• страница: 1 из 6

5 4. Метод отражений
Идея метода отражений состоит в том, что влияние плоских границ раздела учитывается введением мнимых источников, зеркально отраженных относительно этих границ. При этом интенсивность мнимых источников подбирается таким образом, чтобы удовлетворялись соответствующие граничные условия. Покажем суть метода на примере простейшей модели, содержащей только одну поверхность раздела.
Электрическое поле в среде с одной плоской границей
Рассмотрим модель среды, состоящую из двух полупространств с сопротивлениями

ρ₁, и ρ₂, разделенных плоской границей (рис.9).
ρ1 ^ρ2 _x

	y
M(x,y,z)		z

r r'

A(x₀,y₀,z₀ ) A'(-x₀,y₀,z₀)
Рис.9. Метод отражений для модели, содержащей только одну границу
Введем декартову систему координат XYZ так, чтобы плоскость совпала с границей раздела. В точке А (Х₀ , Y₀, Z₀ ), находящейся в среде с сопротивлением ρ₁, расположен точечный источник, питаемый током J. Необходимо найти электрическое поле и его потенциал в произвольной точке М (X, Y, Z).
Потенциал электрического поля в такой модели должен удовлетворять следующим условиям:

I) уравнению Пуассона ∆U  − Jρ1 δ (x − x0 , y − y0 , z − z0 ),

(2.1)

2) граничным условиям U1

 U 2

,

1

⋅

∂U1



1

⋅

∂U 2

,

(1.23).

ρ1

∂ n

ρ2

∂ n

3. 
   условию на бесконечности
   

U→0 при r→∞, где r  (x − x0 )2  ( y − y0 )  (z − z0 )2

(2.2)

Будем искать потенциал в первой среде в виде:

22

U₁=U₀+U', (2.3)
где U₀ - потенциал поли точечного источника тока силы J , расположенного в точке А однородного пространства с сопротивлением ρ₁ (потенциал первичного поля), т.е.

U 0	J ρ1	,	(2.4)
	4π r

a U' - дополнительный потенциал,отражающей влияние границы раздела.Представим U ввиде потенциала точечного источника силы J', расположенного в точке А' (-x₀ , y₀ ,z₀), которая является зеркальным отражением точки А относительно границы раздела. Таким образом,

U '	J 'ρ1	,	(2.5)
	4π r '

где r ^'  (x − x₀ )²  ( y − y₀ )  (z − z₀ )² . Проверим справедливость представления потенциала U₁ в виде (2.3). Заметим, что ∆U₁=∆U₀+∆U'. Нетрудно убедиться, что




∆U ₀− Jρ₁δ(x − x₀, y − y₀, z − z₀),
Поскольку точка А находится во второй среде, а точка М в первой среде, тo ∆U'=0. Таким образом, условие (2.1) выполняется. Очевидно , что потенциал U₁ удовлетворяет и условиям на бесконечности. Следовательно, остается найти J' таким образом, чтобы выполнялись граничные условия (1.23). Потенциал электрического поля во второй среде будем искать в виде:

U 2	J ''ρ2	,	(2.6)
	4π r

Очевидно, что U₂ удовлетворяет уравнению (2.1) и условию (2.2). Запишем граничные условия при x = 0:

 U ' U 2

1

∂U

0

∂U '

1

∂U

2

U 0

,

⋅





⋅

,

(2.7)

ρ1

∂ x

ρ2

∂ x

∂ x

Подставляя (2.4)-(2.6) в (2.7) и решая эту систему относительно неизвестных J' и J",
находим J'=K₁₂ J, J''=(1-K₁₂) J, где K₁₂ =(ρ₂-ρ₁) / (ρ₂+ρ₁). Величину K₁₂ называют коэффициентом отражения тока, а величину 1- K₁₂ =2ρ₁ / (ρ₂+ρ₁) - коэффициентом пропускания тока. В итоге имеем следующие выражения для потенциала в первой и второй среде

J ρ1

1

K

J ρ

1 − K

.

U

1





12

,

U



2

(2.9)

4

π

r '

4 π r

r

2

12

_rС помощью операции grad из (2.9) можно найти напряженность электрического поля E .
Таким образом, с помощью метода отражений получено простое и наглядное аналитическое решение.

Остановимся на нескольких частных случаях задачи о поле точечного источника в среде, содержащей одну плоскую поверхность раздела.

1. 
   Пусть расстояние от источника до границы много меньше расстояния до точки наблюдения, т.е. x₀/r→0. Тогда из (2.9) с учетом того, что r'→r, имеем:
   

J ρ1⋅ρ2

J ρ

⋅ ρ

U1



,

U 2



2

1

.

(2.10)

2

π r (ρ2

ρ1 )

2

π r (ρ

2  ρ1 )

Из (2.10) видно, что в случае, когда источник находится на границе или вблизи нее (как со стороны ρ₁, так и со стороны ρ₂), потенциал электрического поля в первой и во второй среде вычисляется по одной и той же формуле, совпадающей с формулой для потенциала точечного источника в однородном пространстве с удельным сопротивлением

23

2 ρ₁ ⋅ ρ ₂ / (ρ₁  ρ ₂ ) . Отсюда можно заключить, что при переходе питающего электрода через контакт горных пород с разным УЭС разрыва электрического поля не происходит.

2. 
   Среда с источником граничит с изолятором (ρ₂→∞). Тогда коэффициент отражения тока K₁₂=1, т.е. интенсивность отраженного источника равна интенсивности первичного источника. Электрический ток не проникает в среду ρ₂ и у границы с изолятором электрическое поле содержит только тангенциальные компоненты (E_x= 0) (рис.10а). На больших расстояниях r от источника поле в среде ρ₁ совпадает с полем в однородной среде точечного источника удвоенной интенсивности.