9_факторный анализ. 9 факторный анализ
 Скачать 0.79 Mb.
|
Сущность факторного анализаПусть для каждого конкретного объекта измерены четыре характеристики, которые обусловлены действием двух факторов  и  . Фактор действует на все четыре характеристики объекта, а фактор действует лишь на два признака  и  .  Рисунок 9.2 Схема модели факторного анализа Значит, значения признаков  и  определяются только фактором , а признаки и определяются совокупным действием фактором и . Но вначале неизвестно ни количество действующих факторов, ни их взаимосвязь с измеренными признаками. Необходимо исследовать интенсивность влияния факторов и на признаки  и выделить в значениях те части, которые обусловлены действием каждого из факторов и в отдельности. Для решения этой задачи предполагают, что линейно зависят от   . Для рассматриваемого случая имеем где  (1) - коэффициенты, называемые факторными нагрузками.Если рассмотреть метод на основании приведенного выше примера, когда имеется  рассматриваемых объектов, для каждого из которых определено значение четырех признаков, то в четырехмерном графическом пространстве с осями координат  это может быть представлено как облако из точек. Для Если это четырехмерное пространство рассечь плоскостью, в которой находятся координатные оси, отвечающие признакам и , то в сечении мы увидим облако точек, которое в условиях взаимосвязи признаков и друг с другом представляет собой эллипс рассеяния.Перед проведением факторного анализа исходные значения признаков выборочной совокупности необходимо стандартизировать (центрировать и нормировать) с помощью преобразования  где  - исходное значение j-го признака t-того объекта;  -среднее значение j-ого признака;  –стандартное отклонение j-ого признака. Центр эллипса рассеяния стандартизированных значений будет находиться в точке начала координат, как показано на рисунке 9.3.  Рисунок 9.3 Эллипсы рассеянья в пространстве двух стандартизированных переменных Форма этого эллипса (сжатость – вытянутость) будет определяться величиной коэффициента корреляции с , т.е.  , Чем больше  , тем более вытянут эллипс и при  он превращается в прямую линию, а при  - в круг. Если провести оси эллипса и , то по мере увеличения происходит уменьшение степени разброса точек наблюдений вдоль одной оси эллипса (на рисунке – ось ) и увеличение разброса вдоль другой оси эллипса (на рисунке – ось ). Если перейти от исходной координатной системы , к новой , , оси которой ориентированы вдоль осей эллипса рассеяния, то, очевидно, что в новой системе координат значения переменной  вдоль оси будут иметь меньшую дисперсию, чем в исходной системе вдоль оси , а значения этой переменной вдоль оси , наоборот, будут иметь большую дисперсию, чем в исходной системе вдоль оси .Поэтому переменная несет в себе больше информации о выборке, чем . При этом, чем сильнее связаны между собой признаки и , тем большим становится удельный вес той из новых переменных, которая ориентируется вдоль главной оси эллипса рассеяния.Следовательно, в случае многомерного пространства появляется возможность ранжирования переменных (признаков) по их дисперсии в соответствии с их вкладом (значимостью) в общую характеристику изучаемого объекта, т.е. по уменьшению дисперсии значений признаков вдоль новых координатных осей  .Трудно представить, как выглядит в многомерном пространстве облако точек выборочной многомерной совокупности. По аналогии с рассмотренным выше двумерным случаем можно предполагать, что оно представляет собой эллипсоид с несколькими разновеликими ортогональными осями. Поэтому в условиях взаимозависимости признаков для более компактного представления информации переходят к новой ортогональной системе координат (ориентированной по главным осям этого эллипсоида). Переменные этой новой системы – главные компоненты  ( и  ) – концентрируют в себе основную информацию об исходной выборке и снижают размерность исходного признакового пространства ( ). Эта процедура перехода к новой системе координат ().Указанный переход не затрагивает геометрической структуры взаимного расположения точек наблюдений  . Характер их распределения сохраняется. Поэтому суммарная дисперсия остается прежней, т.е. или в общем, виде  Факторные нагрузки  в уравнении  представляют собой коэффициенты корреляции между исходными и новыми переменными  . |